ESTUDIO DE ALGUNAS VARIABLES QUE INFLUYEN EN LA RESPUESTA SÍSMICA DE EDIFICIOS CON TORSIÓN EMPLEANDO ANÁLISIS PUSH-OVER RESUMEN

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1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural ESTUDIO DE ALGUNAS VARIABLES QUE INFLUYEN EN LA RESPUESTA SÍSMICA DE EDIFICIOS CON TORSIÓN EMPLEANDO ANÁLISIS PUSH-OVER Austreberto Mora Castillo y Jaime De la Colina Martínez RESUMEN Este trabajo presenta resultados obtenidos de aplicar el análisis pushover a modelos de edificios a base de marcos susceptibles de torsión sísmica. Se estudia el efecto que tiene en la respuesta la excentricidad y los factores que la modifican para el diseño. Los parámetros de respuesta que se consideran incluyen a los desplazamientos laterales de los centros de masa y de los principales marcos del edificio, así como las distribuciones de comportamiento inelástico y las energías plásticas disipadas. Los resultados indican que el análisis pushover puede ser empleado de manera efectiva para el diseño y evaluación de edificios susceptibles de torsión sísmica. ABSTRACT This work presents pushover analysis results obtained from low-rise frame building models with twist. The effect of both natural eccentricity and design torsion factors on the structural response is evaluated. Response parameters include: ) center of mass lateral displacements, ) frame lateral displacements, ) distributions of nonlinear behavior, and ) plastic energies. Results indicate that pushover analysis can be an effective tool for seismic design and evaluation of buildings with twist. INTRODUCCIÓN La perspectiva de mejorar las prácticas de diseño sísmico está llevando al desarrollo de la ingeniería basada en el criterio de desempeño. El futuro de ésta última depende en gran parte de la aplicabilidad de los procedimientos de análisis inelástico disponibles. La mejor manera de determinar la respuesta de un edificio hasta las etapas últimas de carga es utilizando procedimientos de análisis dinámico no lineal, los cuales son complejos en su uso y requieren considerable juicio y experiencia. Además son necesarios recursos que sólo se justifican en proyectos especiales y de investigación. Surge como alternativa el método de análisis estático incremental no lineal o pushover, que parece ser una herramienta útil y razonablemente accesible al ingeniero de la práctica. Además sirve como base para los procedimientos de evaluación recomendados tanto por la Federal Emergency Managament Agency (FEMA-7) como por el Applied Technology Council (ATC-0). El análisis pushover es un procedimiento por el cual, el modelo analítico de un edificio es sujeto a un patrón de carga lateral estática, cuya forma se aproxima a la del primer modo de vibrar de la estructura y que intenta representar las fuerzas inerciales generadas en las zonas con concentración de masa significativa. La distribución de carga lateral generalmente mantiene su forma (modo fundamental de vibrar) durante todo el proceso de análisis hasta las etapas inelásticas. Aunque en algunas referencias se ha propuesto la posibilidad de que el patrón de cargas sea variable (Bracci et al, 997). La intensidad de la carga lateral se incrementa paulatinamente de manera monotónica, empujando la estructura hasta alcanzar un nivel de deformación predeterminado, usualmente en términos del desplazamiento máximo lateral de azotea. En los casos de diseño o evaluación sísmicos, se puede considerar que este desplazamiento lateral sea el esperado para un sismo en particular (Krawinkler H. y Seneviratna G., 997). La estructura progresivamente se degrada en la medida que sus componentes estructurales se van plastificando hasta que se alcanza un estado límite (deformación lateral máxima) o la condición de colapso. Estudiante de posgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma del Estado de México, Toluca, México. betomorac@yahoo.com.mx Profesor de posgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma del Estado de México, Toluca, México. jcolina@uaemex.mx

2 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 El análisis pushover permite estimar la relación fuerza-desplazamiento de la estructura global. Conforme se empuja el modelo analítico del edificio incrementando paulatinamente la intensidad de las fuerzas laterales, pueden registrarse los desplazamientos laterales de azotea y de entrepiso, al tiempo que puede identificarse la secuencia de su desempeño a través de algunas características como la aparición de grietas, fluencia o rotaciones que derivan en la aparición de articulaciones plásticas en los componentes de la estructura, además de permitir la estimación de la energía disipada por el sistema global analizado. Al registro secuencial del comportamiento del edificio, graficando la fuerza lateral total contra el desplazamiento lateral de la azotea obtenidos a partir de un análisis pushover, se conoce como curva pushover y es considerada como una forma de apreciar la respuesta global del edificio a distintos niveles de carga. El análisis pushover convencional tiene algunas limitaciones, las cuales han sido comentadas en otros trabajos (Krawinkler et al, 99). La principal de ellas quizás se debe a que el patrón de carga lateral está asociado al primer modo de vibrar, por lo que su aplicación a edificios de mediana altura y altos se ha cuestionado. Por lo anterior, el método de análisis se ha extendido para la consideración de formas modales correspondientes a modos superiores (Chopra A. y Goel R., 00). Por otra parte, el uso del análisis pushover se ha dirigido principalmente a modelos planos, siendo contados los trabajos desarrollados en tres dimensiones (D), por lo que su aplicación extensiva a problemas con torsión requiere de un esfuerzo adicional al necesario para modelos planos. Es importante entonces, ver cómo resulta la aplicación del análisis pushover en problemas con torsión, y particularmente se vuelve interesante evaluar el efecto que algunas variables tienen sobre la respuesta de edificios susceptibles de torsión sísmica. El presente trabajo propone dicha evaluación a través del estudio de algunos modelos analíticos de edificios de cinco niveles, con tres marcos resistentes en cada dirección conectados por sistemas de piso que trabajan como diafragmas rígidos. Estos modelos son considerados como representativos de edificaciones medianas y han sido caracterizados asignando diferentes valores a las siguientes variables: excentricidad estructural (e s ), factor de amplificación por vibración dinámica (α ), factor de reducción del cortante por torsión (δ ) y la distribución de rigidez en planta del edificio. Para evaluar el efecto de las variables citadas, se han definido como parámetros de la respuesta estructural los siguientes conceptos: desplazamientos laterales de azotea, desplazamientos relativos de entrepiso, deformaciones inelásticas en los extremos de cada uno de los elementos estructurales, magnitudes y ubicaciones de giros plásticos, así como la energía disipada por el sistema estructural global. De esta manera, se comparan los resultados de la respuesta de cada modelo estudiado, con la idea de evaluar el grado de aplicabilidad del análisis pushover en diseños de sistemas estructurales con torsión. En este trabajo, el análisis pushover se realiza por medio de un programa simple (De la Colina, 00), el cual supone que el comportamiento lineal de columnas es uniaxial y por lo tanto desprecia el comportamiento triaxial (carga axial y flexión bidireccional) en la respuesta inelástica. Se basa en el modelo de una componente de Giberson (Giberson, 969). Sin embargo, resultados preliminares (De la Colina et al, 00) que comparan la respuesta calculada sin interacción (flexión biaxial y carga axial) y con interacción indican que con ambos análisis las tendencias en el comportamiento son similares aún y cuando pueda haber diferencias particulares en las magnitudes de las respuestas calculadas con las dos alternativas. Como en este trabajo sólo interesan las variaciones en el comportamiento originadas por cada una de las variables que se estudian, no es necesario observarlas a partir de valores precisos, la tendencia se observará a partir de resultados aproximados, los cuales de manera preliminar sugieren que el análisis pushover puede ser empleado de manera efectiva para el diseño y evaluación de edificios susceptibles de torsión sísmica. MODELOS ESTRUCTURALES Con el fin de obtener resultados que permitan evaluar el empleo del análisis pushover en edificios susceptibles de torsión sísmica, se estudia una serie de modelos analíticos que en este documento son considerados como representativos de edificios típicos. Este último criterio se deriva de la información disponible del proyecto denominado Evaluación y Mejoramiento de Procedimientos de Análisis Sísmico Inelástico (ATC-, 00) donde se encontró que el 9% de los edificios poseen entre tres y seis niveles.

3 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Por esto se han dispuesto modelos de cinco niveles formados por tres marcos en cada una de las dos direcciones ortogonales, resistentes a carga lateral y conectados por sistemas de piso que trabajan como diafragmas rígidos. Los modelos se han generado asignando diferentes valores a algunas de las características presentes en problemas de diseños con torsión, tales como: excentricidad estructural (e s ), factor de amplificación por vibración dinámica (α), factor de reducción del cortante por torsión (δ ) y la distribución de rigidez en planta del edificio. La disposición geométrica básica en planta se muestra en la Figura. La elevación, alturas de entrepiso y la variación de la carga lateral en los modelos, que resulta de seguir la recomendación de carga lateral vertical propuesta por el Uniform Building Code (ICBO,997) son ilustrados en la Figura. Las propiedades y características de las trabes y columnas se enlistan en la Tabla. Estas han sido agrupadas en tres conjuntos de acuerdo al entrepiso donde se ubican, toda vez que en la práctica cotidiana es costumbre diseñar grupos de elementos estructurales con el fin de simplificar la etapa constructiva. Las dimensiones propuestas obedecen a un prediseño que considera las limitaciones de desplazamiento relativo (drift) recomendadas por el Uniform Building Code (ICBO,997). 6 8 m. 8 m. 6 m. 0 m. 6 m. 0 m. 8 m. Vx 8 m. CM m. CM.6m. CM Vy Vy Vy a) Modelo cuadrado b) Modelo cuadrado a c) Modelo cuadrado a sin con excentricidad de masas y con excentricidad de masas y excentricidad. cambio de distribución de rigidez cambio de distribución de rigidez en planta, (e s = 0.67 m). en planta, (e s =.7 m). Figura. Planta de los modelos de estudio.

4 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., V b m 0.6 V b m 0.0 V b 0. V b m m 0.08 V b m 8 m 8 m Figura. Elevación y distribución de carga lateral vertical en los modelos de estudio. Tabla. Propiedades generales de los grupos de secciones que conforman los modelos de estudio. (Módulo de elasticidad inicial = E = 60,6 kg/cm ) Piso o nivel Grupo Dimensiones de Dimensiones de columnas (cm) vigas (cm) x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 0 x 0 0 x 0 En el inciso a) de la Figura se ilustra el caso a, el cual es un sistema donde el centro de masa y el centro de rigidez coinciden, no hay excentricidad y funciona como modelo de referencia. En los casos b y c de los incisos b) y c) en la Figura los centros de masa y rigidez no coinciden y presentan excentricidad estructural. El caso b presenta una primer variante respecto del caso desplazando el marco central hacia la izquierda (e s = 0.67 m), lo cual cambia la distribución de rigidez en planta;. El caso c consiste en mover el centro de masas hacia la derecha alejándolo aún más del centro de rigidez, una distancia adicional de.60 m que representa el 0% del ancho del edificio. DISEÑO ELÁSTICO Para estimar la capacidad de resistencia dentro del intervalo elástico de los modelos de estudio, es necesario determinar el momento de fluencia (M y ) de cada uno sus componentes. Es así que se sometieron a un análisis elástico lineal estático convencional haciendo las consideraciones correspondientes a la presencia de torsión, mediante la aplicación de las ecuaciones y, conforme a lo dispuesto en los reglamentos de construcción vigentes. Dicho análisis elástico se ha realizado empleando el programa RAM Advanse 6.0. excentricidad primaria: e d = αe s + βb () excentricidad secundaria: e d = δe s + βb ()

5 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural De las expresiones mostradas, α es un factor de amplificación dinámica por vibración generada por torsión, (e s ) la excentricidad estructural, (δ ) es un factor de reducción de cortante por torsión y (βb) es la excentricidad accidental cuyos efectos no participan en este trabajo. En la Tabla se muestran los valores más usuales de (α ) y (δ ) recomendados por los reglamentos de construcción. En el presente documento se estudian los valores de α =.0, α =.,, δ = 0. y δ =.0. Tabla. Factores para estimar la excentricidad de diseño. Reglamento de construcción α δ Uniform Building Code, National Building Code of Canada, De esta manera se establece que el momento de fluencia ( M y ) de cada elemento será el que se genera tras la acción simultánea del cortante de entrepiso y el momento torsional máximo calculado con cualquiera de las dos excentricidades anteriores (e d, e d ). Como se menciona anteriormente, los modelos son sometidos a un patrón de distribución de carga lateral dado por el Uniform Building Code (ICBO,997) y que se aproxima a la primer forma modal de vibrar del edificio. Los códigos de construcción lo consideran equivalente de la excitación sísmica de diseño para el desarrollo de análisis y diseño estático elástico lineal. El Uniform Building Code (ICBO,997) propone el método de la fuerza estática equivalente simplificada, que ha de aplicarse a una estructura para propósitos de diseño. A partir de estas fuerzas, se obtiene el patrón de distribución de carga lateral, el cual se ilustra en la Figura, reiterando que debe aproximarse a la primer forma modal de vibrar. PARÁMETROS DE RESPUESTA ESTRUCTURAL PARA ESTUDIO Como ya se expuso, la evaluación de la aplicabilidad del análisis pushover sobre edificios susceptibles de torsión sísmica, en este trabajo se hace a través de estimar el efecto que tienen algunas variables sobre la respuesta de un sistema estructural hasta el intervalo inelástico. Los parámetros de la respuesta evaluados en este estudio son los siguientes: los desplazamientos laterales de azotea, desplazamientos relativos de entrepiso, la magnitud y ubicación del giro plástico y la energía disipada por el sistema estructural global. El desplazamiento de azotea se considera representativo del desempeño del edificio bajo la acción de un sismo. El modelo analítico del edificio es empujado lateralmente hasta que el desplazamiento de azotea alcanza el desplazamiento objetivo preestablecido. El daño registrado en este nivel se considera representativo del daño posible de ocurrir sobre el edificio bajo el sismo de diseño. Esto permite forjar un criterio de aceptabilidad del comportamiento y respuesta de una estructura de nuevo diseño o determinar el nivel de daño de un edificio existente para propósitos de evaluación (Moghadam A.S. y Tso W., 996). Sin embargo el desplazamiento lateral normalizado con la altura del edificio, generalmente denominado desplazamiento relativo de entrepiso, puede ser un parámetro que refleje de mejor manera el desempeño del sistema. Se puede decir que el análisis pushover permite identificar la ubicación y magnitud del mecanismo de articulación plástica formado en cada uno de los componentes del sistema proveyendo una buena estimación de las demandas de deformación del sistema estructural global. Finalmente, a través del análisis pushover es posible determinar la energía histerética disipada por cada uno de los marcos y del sistema global, la cual frecuentemente se usa como un parámetro para estimar la cantidad y distribución del daño potencial que puede generar un movimiento sísmico sobre una estructura.

6 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 RESULTADOS DESPLAZAMIENTOS Y CAPACIDAD DE CARGA LATERALES Las Figuras y muestran los desplazamientos laterales de entrepiso en los marcos y respectivamente. Estos corresponden a los modelos generados con los valores de α =.0, α =., excentricidades e s = 0.67 m, e s =.7 m y δ = 0.. Estos valores se presentan para dos condiciones de carga lateral ortogonal: V x = 0.0 y V x = V y con un cortante basal V b =,000 kg. La finalidad de estas figuras es observar el efecto del factor α en la respuesta de los marcos. De dichas figuras se puede ver que el efecto de α está más relacionado con el marco (marco flexible) que con el marco (marco rígido). Los desplazamientos en el marco para el caso resultaron ser mayores o menores que los correspondientes para casos con excentricidad, mientras que para el marco los desplazamientos del modelo resultaron mayores que para los modelos excéntricos. La observación anterior correspondiente a los desplazamientos laterales del marco, parece estar relacionada con la magnitud del cortante basal ortogonal ( V x ). Estas Figuras muestran que cuando la componente ortogonal es cero ( V x = 0.0V y ) los desplazamientos del marco son menores para el caso a que para el. Cuando la componente ortogonal es grande ( V x = V y ) lo anterior no se cumple. Es claro que cuando α =. se reducen los desplazamientos respecto a aquellos calculados para un modelos similar pero diseñado con α =.0. Además, en los casos con excentricidad menor (e s = 0.67 m) la diferencia entre α =.0 y α =. es mínima, ya que las respuestas son muy semejantes entre si. En cambio cuando la excentricidad es grande (e s =.7 m) los desplazamientos correspondientes al modelo diseñado con α =. son notablemente menores que para el modelo diseñado con α =.0. Adicionalmente en todos los casos se observa que los desplazamientos del marco (marco rígido) son menores a los del marco (marco flexible) independientemente de los valores de α y δ empleados. Las Figuras y 6 muestran los desplazamientos laterales de entrepiso en los marcos y respectivamente. Estos corresponden a los modelos generados con los valores de α =.0, excentricidades e s = 0.67 m y e s =.7 m,, δ = 0. y δ =.0. Además se consideran dos condiciones de carga lateral ortogonal: V x = 0.0 y V x = V y con un cortante basal V b =,000 kg. La finalidad de estas figuras es observar el efecto del factor δ en la respuesta de los marcos. De estas figuras se puede ver que el efecto de δ está más relacionado con el marco (marco rígido) que con la respuesta del marco (marco flexible). Al igual que lo descrito en relación a las Figuras y también se observa en las Figuras y 6, i.e., los desplazamientos laterales del marco se reducen para valores crecientes de excentricidad, mientras que los del marco no solo dependen de la excentricidad, sino también de la magnitud de la componente ortogonal. En las Figuras y 6 también se observa que cuando se reducen los desplazamientos respecto a aquellos calculados para un modelos similar pero diseñado con δ =.0. Además, en el caso con excentricidad menor (e s = 0.67 m) la diferencia entre, δ = 0. y δ =.0 es mínima, ya que las respuestas son muy semejantes entre si. En cambio cuando la excentricidad es grande (e s =.7 m) los desplazamientos correspondientes al modelo diseñado con son notablemente menores que para los modelos diseñados con δ =.0. Adicionalmente comparando las gráficas de las Figuras y 6, en todos los casos se observa que los desplazamientos del marco (marco rígido) son menores a los del marco (marco flexible) independientemente de los valores de α y δ empleados. 6

7 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural marco modelos: (cb), (cb) δ = 0. vx = 0.0% modelos: (cb7)(cb8) δ = 0. vx = 00.0% α =.0 α =. α =.0 α = modelos: (cc), (cc) δ = 0. vx = 0.0% es =.7 m modelos: (cc7), (cc8) δ = 0. vx = 00.0% es =.7 m α =.0 α =. α =.0 α = Figura. Efecto del factor α graficando desplazamiento de entrepiso para el marco.

8 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 marco modelos: (cb), (cb) δ = 0. vx = 0.0% modelos: (cb7), (cb8) δ = 0. vx = 00.0% α =.0 α =. α =.0 α = modelos: (cc), (cc) δ = 0. vx = 0.0% es =.7 m modelos: (cc7), (cc8) δ = 0. vx = 00.0% es =.7 m α =.0 α =. α =.0 α = Figura. Efecto del factor α graficando desplazamientos de entrepiso para el marco. 8

9 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural marco modelos: (cb), (cb), (cb) α =.0 vx = 0.0% modelos: (cb), (cb7), (cb9) α =.0 vx = 00.0% δ = 0. δ =.0 δ = 0. δ = modelos: (cc), (cc), (cc) α =.0 vx = 0.0% es =.7 m modelos: (cc), (cc7), (cc9) α =.0 vx = 00.0% es =.7 m δ = 0. δ =.0 δ = 0. δ = Figura. Efecto del factor δ graficando desplazamiento de entrepiso para el marco.

10 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 marco modelos: (cb), (cb), (cb) α =.0 vx = 0.0% modelos: (cb), (cb7), (cb9) α =.0 vx = 00.0% δ = 0. δ =.0 δ = 0. δ = modelos: (cc), (cc), (cc) α =.0 vx = 0.0% es =.7 m modelos: (cc), (cc7), (cc9) α =.0 vx = 00.0% es =.7 m δ = 0. δ =.0 δ = 0. δ = Figura 6. Efecto del factor δ graficando desplazamiento de entrepiso para el marco. 0

11 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural La Figura 7 es una gráfica pushover (cortante basal V b contra desplazamientos de azotea en el centro de masas CM), calculando la respuesta de los modelos hasta un nivel de carga de,000 kg, independientemente del nivel de desplazamiento lateral que se alcance. Esta gráfica se emplea para observar el efecto de la excentricidad en la capacidad lateral de los modelos. Se puede observar que los desplazamientos laterales de los sistemas que alcanzan a este nivel de carga pueden resultar mayores que los mostrados en las figuras. Si se extendieran las curvas pushover hasta un mismo nivel de deformación en general, la proporción de los incrementos de carga se conservaría y serían aproximadamente los mismos entre cada uno de los sistemas para distintos niveles de desplazamiento. Puede notarse que la capacidad lateral, referida al centro de masa (CM), aumenta conforme se incrementa la excentricidad. Los modelos excéntricos han sido diseñados por torsión, por lo que aparentemente este diseño conduce a capacidades laterales que se incrementan conforme aumenta la excentricidad del sistema. Vb, cortante basal (kgs) m odelos: (ca0), (cb), (cc) vx = 0% α =.0 es = 0.0 m es =.7 m desplazam iento de azotea (m ) Vb, cortante basal (kgs) m odelos: (ca0), (cb), (cc) vx = 0% α =. es = 0.0 m es =.7 m desplazam iento de azotea (m ) Figura 7. Gráfica pushover para tres distintos valores de excentricidad estructural.

12 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 Revisando otro de los parámetros de evaluación de la respuesta sísmica de un edificio, el desplazamiento relativo de entrepiso normalizado respecto a la altura del entrepiso (drift), puede ser un parámetro que refleje de mejor manera el desempeño del sistema en comparación con el desplazamiento lateral total del marco. En la Figura 8 se puede observar que para el caso diseñado con mayor excentricidad (e s =.7 m) los desplazamientos relativos en el marco son menores que para el caso con e s = 0.67 m y disminuyen aún más en comparación al caso e s = 0.0 m. Esta conclusión sin embargo, se ha obtenido considerando V x = 0.0. Como se comentó para las Figuras,, y 6 esta observación puede dejar de ser cierta dependiendo de la magnitud de la componente ortogonal ( V x ). nivel marco α =.0 V x = 0.0 es = 0.0 m es =.7 m desplazamiento relativo de entrepiso Figura 8. Desplazamientos relativos de entrepiso en el marco. Similarmente, para el marco la respuesta es menor en el caso diseñado con mayor excentricidad (e s =.7 m) que para el caso con excentricidad e s = 0.67 m, y aún menor si se compara con el caso, como se ilustra en la Figura 9. De acuerdo con lo mostrado en las Figuras,, y 6 esta observación debiera mantenerse independientemente de la magnitud del cortante ortogonal. También se puede notar que los desplazamientos relativos son mayores en la planta baja del edificio, manteniéndose la tendencia tanto en el marco como en el marco. nivel marco α =.0 V x = 0.0 es = 0.0 m es =.7 m desplazamiento relativo de entrepiso Figura 9. Desplazamientos relativos de entrepiso en el marco.

13 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural PATRONES DE DESPLAZAMIENTO Y DE FUERZAS LATERALES. El método de análisis pushover se ha propuesto suponiendo que el edificio analizado responde fundamentalmente en el primer modo de vibrar ( φ ). De hecho la distribución de fuerzas laterales propuesta ( V b *F ) por algunos reglamentos, supone que éstas son ocasionadas principalmente por el primer modo de vibración. En esta sección se comparan al patrón de desplazamientos laterales con la forma del modo fundamental de vibrar y con la distribución vertical de fuerzas laterales. Para ello se presentan las Tablas, y siguientes. En la Tabla se muestra el patrón de fuerzas laterales ( F ) que se obtuvo empleando las recomendaciones del Uniform Building Code (ICBO,997). Este reglamento contempla no utilizar una fuerza adicional en el último piso del edificio ya que los modelos estudiados de cinco niveles cuentan con un periodo natural de vibración que no excede 0.7 segundos. También se muestra la forma del primer modo de vibrar, calculada con un análisis dinámico elástico ( φ ) y se puede notar que el valor modal del piso superior se ha hecho igual al factor F del último nivel (normalizado). Como se puede ver, el cociente (F/φ ) conduce a valores significativamente diferentes a la unidad. Por ejemplo para el primer nivel, el coeficiente para la fuerza lateral es % mayor que el valor correspondiente de φ. Es claro que el patrón de fuerzas que recomiendan los reglamentos, resulta significativamente diferente a la variación de la forma modal. Por esto se considera que los métodos de diseño y evaluación basados en el análisis pushover deben considerar diferentes patrones de carga lateral (Krawinkler H. y Seneviratna G., 997), o inclusive patrones de fuerza lateral adapatables (Bracci et al, 997). Esta diferencia entre la variación de F y de φ, seguramente conducirá a patrones de desplazamiento del edificio que no sean similares a la primer forma modal. Además debido a que la forma modal está asociada al comportamiento elástico de la estructura, en el intervalo no lineal puede haber variaciones adicionales entre el patrón de desplazamientos laterales y la variación de fuerzas. Tabla. Comparación del patrón de carga lateral y la primer forma modal. patrón de carga forma modal nivel F φ F / φ En la Tabla, además de mostrar nuevamente los coeficientes que definen el patrón de distribución de cargas laterales, se muestran los desplazamientos laterales del centro de masas (v) (en dirección de la carga), para tres valores de excentricidad (e s = 0.0, e s = 0.67 m, e s =.7 m). Estos coeficientes corresponden a un cortante basal (V b ) de.0 t para el cual la estructura se mantiene esencialmente elástica. Cuando estos valores de desplazamiento se dividen entre los factores F, y los cocientes se normalizan para que en el º nivel se obtenga un valor unitario, se obtienen las tres últimas columnas de la Tabla citada. Estos cocientes muestran que, también hay una diferencia apreciable entre el patrón de desplazamientos laterales y el patrón de fuerzas laterales, particularmente cuando se observa la relación para el nivel. Esta diferencia para los primeros niveles no se considera importante ya que para estos, las fuerzas laterales son menores que para los niveles superiores y, además, su efecto en la respuesta global del edificio también se ve limitada porque su altura es pequeña. En conclusión, se observa en este caso que el patrón de fuerzas laterales es congruente con el patrón de desplazamientos laterales a pesar de que se observan diferencias en los primeros niveles, que por lo expuesto anteriormente no se consideran importantes.

14 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 Tabla. Comparación de los patrones de desplazamiento lateral calculados con análisis pushover y el patrón de carga lateral, hasta un nivel de carga de.0 t. desplazamientos laterales del centro de masas de cada entrepiso, obtenidos de análisis pushover a un nivel de carga de.0 t. nivel e s = 0.0 m e s = 0.67 m e s =.7 m e s = 0.0 m e s = 0.67 m e s =.7 m F v v v (v / F) n (v / F) n (v / F) n En la Tabla se muestran resultados similares a los de la Tabla pero calculados para un cortante basal de V b =.0 t el cual ubica a la estructura en un comportamiento no lineal, próximo a una ductilidad de desplazamiento global cercano a. Las últimas tres columnas de esta tabla muestran que para los pisos superiores (exceptuando el último nivel con respecto al cual también se han normalizado los coeficientes al valor de.0) las diferencias respecto a la unidad son mayores que los correspondientes valores de la Tabla (ver áreas sombreadas en las Tablas y. Esto indica, como era de esperarse, que para el comportamiento no lineal el patrón de fuerzas laterales debe modificarse respecto al originalmente evaluado. Es interesante observar que se obtienen prácticamente los mismos cocientes para los tres valores de excentricidad calculados, lo cual refuerza la idea de que en un sistema con torsión los desplazamientos de los centros de masa son prácticamente los mismos que en los sistemas sin torsión. En estas Tablas se observa que los desplazamientos laterales de los centros de masa (CM) prácticamente se mantienen iguales, independientemente del valor de la excentricidad (menos del 0% de variación). Tabla. Comparación de los patrones de desplazamiento lateral calculados con análisis pushover y el patrón de carga lateral estudio, hasta un nivel de carga de.0 t. desplazamientos laterales del centro de masas de cada entrepiso, obtenidos de análisis pushover a un nivel de carga de.0 t. nivel e s = 0.0 m e s = 0.67 m e s =.7 m e s = 0.0 m e s = 0.67 m e s =.7 m F v v v (v / F) n (v / F) n (v / F) n

15 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural DISTRIBUCIÓN DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL Y ENERGÍA PLÁSTICA Continuando con la evaluación de los parámetros de respuesta, se puede ver en las Figuras 0, y las ubicaciones de los puntos donde se concentra el comportamiento no lineal y la energía disipada por los casos s e s = 0.0 m, con excentricidad e s = 0.67 m y excentricidad e s =.7 m; los tres diseñados con α =.0 y y Vx = 0.0. Lo primero que se observa es que en el caso la energía disipada por los marcos, y es la misma, como se esperaba. En los marcos, y 6 la energía disipada es cero puesto que no se consideró en estos casos la acción de la carga lateral perpendicular (Vx = 0.0Vy). Se observa que en el caso de e s = 0.67 m la energía disipada es menor que para el caso de e s = 0.0 m, y es mayor la reducción en el marco que en los marcos y para un mismo nivel de carga. Al incrementarse la excentricidad a e s =.7 m esta tendencia se mantiene. Esto es, la energía disipada por los tres marcos disminuye respecto al caso y respecto al caso e s = 0.67 m. Debe notarse que el marco es el que disipa la menor energía en los modelos as. De esta manera se confirma la idea de que los marcos con mayor excentricidad -y diseñados apropiadamente contra torsión- muestran menos comportamiento no lineal que aquellos con menor excentricidad o s. En estas mismas figuras, los círculos indican la ubicación del comportamiento no lineal, siendo su diámetro proporcional a la demanda de ductilidad de rotación (del extremo de la barra). Se aprecia que aun y cuando se reduce el comportamiento no lineal al pasar de un sistema a uno no, el patrón de comportamiento no lineal es el mismo. Prácticamente lo único que disminuye son las magnitudes de las demandas de ductilidad en los extremos de las barras. Archivo: ca0.scr Cortante basal = kg Marco, Ep = 6. kg-m Marco, Ep = 6. kg-m Marco, Ep = 6. kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco 6, Ep = 0.0 kg-m Figura 0. Distribución de articulaciones plásticas y energía disipada por cada marco con excentricidad estructural (e s = 0.0 m).

16 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 00 Archivo: cb.scr Cortante basal = kg Marco, Ep = 88.7 kg-m Marco, Ep = 0. kg-m Marco, Ep = 0.7 kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco 6, Ep = 0.0 kg-m Figura. Distribución de articulaciones plásticas y energía disipada por cada marco con excentricidad estructural (e s = 0.67 m). Archivo: cc.scr Cortante basal = kg Marco, Ep = 8.8 kg-m Marco, Ep = 66.7 kg-m Marco, Ep = 70.6 kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco, Ep = 0.0 kg-m Marco 6, Ep = 0.0 kg-m Figura. Distribución de articulaciones plásticas y energía disipada por cada marco con excentricidad estructural (e s =.7 m). 6

17 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural CONCLUSIONES Del estudio de los efectos de las principales variables que afectan el comportamiento a torsión a través del análisis pushover, se desprenden las siguientes conclusiones:. Los resultados del análisis pushover muestran que los desplazamientos laterales de los centros de masas (CM) de los casos as son prácticamente iguales ( ± 0%) que los desplazamientos del correspondiente modelo. Esto explica porqué el desplazamiento lateral del marco del lado rígido (marco ) resulta menor que el del correspondiente marco del caso (la torsión conduce a incrementos de desplazamiento del lado flexible y a reducciones del lado rígido). Así mismo, el hecho de que el centro de masa se desplace una cantidad prácticamente igual para los casos s, también explica por qué los desplazamientos del lado flexible pueden resultar menores, mayores o iguales que los calculados para el caso. Esto se observó en las Figuras y 6 y se ilustra en la Figura para diferentes excentricidades. giro giro CR CM CR CM CR CM CR CM CR es CM CR es CM Vb = 0.0 m. e s Vb e s = 0.67 m. Vb e s =.7 m. Figura. Desplazamiento de los marcos rígido () y flexible () asumiendo que el centro de masas (CM) de los casos excéntricos es prácticamente igual que para el caso.. Para los niveles superiores de los modelos en donde la magnitud de las cargas laterales es mayor, se observa que el patrón de distribución de esas cargas laterales es similar al patrón de desplazamientos laterales. A pesar de que se observan pequeñas discrepancias en la magnitud de las fuerzas de los niveles inferiores, la conclusión anterior se mantiene, ya que el efecto de estas fuerzas (en los niveles inferiores) es mínimo en el comportamiento global de la estructura, debido a su pequeña magnitud y a la posición respecto a la base del modelo.. Los resultados obtenidos del análisis pushover son congruentes con estudios analíticos dinámicos que concluyen que los edificios con mayor excentricidad (pero diseñados apropiadamente contra torsión) muestran menos comportamiento no lineal que aquellos que son s o que tienen excentricidad pequeña. Estos resultados también muestran que el patrón de concentraciones inelásticas no varía con la excentricidad del sistema. Lo único que cambia es la magnitud de las rotaciones plásticas.. Para modelos apropiadamente diseñados por torsión, la reducción del comportamiento inelástico citada en la conclusión, también se manifiesta en una reducción de las energías plásticas para valores crecientes de excentricidad.. Valores constantes de α y δ, favorecen más a modelos con mayor excentricidad que a los que tienen una de menor magnitud. En particular, valores de α =. y conducen a diseños conservadores.

18 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., Un análisis global de los efectos que tienen las variables de entrada en la respuesta de modelos de edificios sujetos a torsión, muestra congruencia con los resultados obtenidos de estudios efectuados con análisis dinámicos no lineales. Esto sugiere que el análisis pushover puede ser empleado de manera efectiva para el diseño y evaluación de edificios susceptibles de torsión sísmica, para cuando un análisis más elaborado (dinámico no lineal) no se justifica. REFERENCIAS Applied Technology Council-0 (ATC-0), (996), Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings, vol., Redwood City, CA. Applied Technology Council- (ATC-), (00), Evaluation and improvement of inelastic seismic analysis procedures, vol., Redwood City, CA. Bracci, et al, (997), Seismic performance and retrofit evaluation of reinforced concrete Structures, Journal of structural engineering, E.U.A. Chopra A. y Goel R., (00), A modal push-over analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthquake engineering and structural dynamics, vol., p.p. 6-8, Wiley and Sons, E.U.A. De la Colina J., (00), Programa pushover para edifcios a base de marcos, Memorias del XIV Congreso Nacional de ingeniería estructural 00, Acapulco Guerrero. De la Colina J. et al, (00), Column interaction effect on push over D análisis of irregular structures, th World conference on earthquake engineering, paper no. 6, Vancouver, B.C. Canada. Federal Emergency Management Agency-7, (997), Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-7, Washington, D. C., cap.,.9.. Giberson, M., (969), Two non-linear beams with definitions of ductility, Journal of Structural Division, ASCE, E.U.A. International Conference of Building Officials (ICBO), (997), Uniform Building Code, Whittier, CA. Krawinkler H. et al, (99), Nonlinear static pushover analysis - why, when and how, th U.S. National Conference on Earthquake Engineering, p.p. 8-9, Illinois, E.U.A. Krawinkler H. y Seneviratna G., (997), Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation, Engineering structures, vol. 0, Nos. -6, p.p. -6, Elsevier Science LTD, E.U.A. Moghadam A.S. y Tso W., (996), Pushover analysis for asymmetrical multistorey buildings, 6th U.S. National Conference on Earthquake Engineering. National Research Council of Canada, (99), National Building Code of Canada, Ottawa. 8