Un método eficiente para la simulación de curvas de tasas de interés

Transcripción

1 BANCO DE MEXICO Un étodo eficiente para la siulación de curvas de tasas de interés Javier Márquez Diez-Canedo Carlos E. Nogués Nivón Viviana Vélez Grajales Febrero-3

2 Resuen El objetivo de este trabajo es presentar una etodología para siular con un ínio de paráetros, estructuras teporales de tasas de interés que conserven la fora de las curvas que se construyen a partir de datos históricos observados. Esto se logra aprovechando la parsionia del odelo de Nelson y Siegel, que puede captar la ultiplicidad de foras de las curvas de tasas que se observan coúnente en la realidad, ediante solaente cuatro paráetros. Así, el proceso solo requiere uestrear de fora aleatoria, ocurrencias de los valores de estos cuatro paráetros, y cualquier otro punto sobre la curva se obtiene directaente de la fórula de Nelson y Siegel. Para lograr lo anterior, se obtienen las series históricas de los paráetros que generan dichas estructuras y su distribución de probabilidad conjunta. A partir de esta, se pueden generar series aleatorias de paráetros que se coporten de acuerdo a la distribución histórica y las curvas de estructuras de tasas de interés por plazos correspondientes. I. Introducción La edición del riesgo de ercado de un portafolio de activos financieros se estia a partir de los cabios en el valor del portafolio ocasionados por oviientos en los factores de riesgo. En el caso de instruentos de deuda, el factor de riesgo ás iportante es la tasa de interés. Adeás, la tasa de interés es un factor de riesgo iportante en la valuación de otros instruentos, coo pueden ser las opciones, los futuros y los forwards. Tratándose de bonos, el étodo de valuación usual es el de descontar a valor presente los flujos futuros que generan, para lo cual es necesario conocer los flujos y sus fechas de pago así coo los factores de descuento que se les debe aplicar a esos flujos. Sin ebargo, ientras que los flujos y las fechas en las que se generan se especifican por contrato, los factores de descuento son el resultado de un consenso de ercado, respecto a la estructura teporal de tasas de interés futura que aplique a la valuación del bono. Coo esta estructura es incierta, para propósitos de Nelson, C. R. and A. F. Siegel. Parsionious Modeling and Yield Curves, Journal of Business 6 (October 987),

3 análisis de riesgo de carteras de bonos, con frecuencia se recurre a la siulación Monte Carlo, para generar una ultiplicidad de estructuras teporales de tasas y obtener así el perfil de riesgo de la cartera y su VaR. Sin ebargo, es coún que dicha siulación se haga fijando de anteano el núero de puntos (plazos) de la curva, y siulando punto por punto. Adeás de que esto puede ser difícil, y producir resultados incongruentes, generalente resulta en código coplicado y un esfuerzo coputacional exagerado. En este artículo, se exaina la utilización del odelo de Nelson y Siegel que perite generar curvas de tasas, uestreando aleatoriaente solaente cuatro paráetros; que es un núero significativaente enor a los puntos sobre la curva que se requieren siular 3. II. Tasas Spot y Tasas Forward 4. Antes de entrar foralente en ateria, en esta sección se revisan las expresiones algebraicas que relacionan a las tasas spot con las tasas forward. Debido a que el anejo algebraico de las tasas anualente copuestas es ás coplejo, a lo largo de esta sección se anejarán tasas copuestas en fora continua. Los estudios de tasas de interés a distintos plazos se realizan noralente a partir de la inforación contenida en instruentos de deuda, o bonos. En teoría, en un ercado copleto y sin ipuestos, el precio de un bono es el valor presente de los cupones que paga ás el valor presente del principal. Las tasas de descuento a distintos plazos utilizadas en el cálculo, corresponden a una estructura teporal de tasas spot; es decir: La estructura de tasas a una fecha dada t se representa por una gráfica de la tasa spot para cada fecha de venciiento. 5 Valor en Riesgo. 3 Alrededor de treinta. 4 Svensson Lars E. O., Estiating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden , Working Paper No. 487, National Bureau of Econoic Research, Las tasas spot a cierto plazo corresponde a la tasa de interés pagada por un bono cupón-cero a dicho plazo.

4 Sea r( t, T ) la tasa de interés copuesta continuaente de un bono cupón-cero que se negocia en el oento t y vence en el tiepo T > t. Sea = T t el tiepo que falta para el venciiento. El precio al tiepo t de este bono cupón-cero con principal igual a peso, denotará la función de descuento d( t, T ). Así, la función de descuento y la tasa spot se relacionan de la siguiente anera: r( t, T )( T t ) d( t, T ) = P( t, T ) = e Ahora considérese un bono con valor noinal de pesos que paga cupones anuales de c pesos y vence dentro de años. El valor presente en t del pago del cupón realizado el año k, k =,,...,, será c d( t, t + k) y el valor presente del principal que se pagará el año será d ( t, t + ). De tal anera que el precio del bono el día de la transacción será: P( t, t + ) = k = cd( t, t + k) + d( t, t + ) Sea f ( t, t', T ) la tasa forward continuaente copuesta de un contrato forward negociado en t y cuya operación subyacente inicia en T > t' > t. t' y vence en T donde Entonces la tasa forward se relaciona con la tasa spot de la siguiente anera: ( T f ( t, t', T ) = t) r( t, T ) ( t' t) r( t, t' ) T t' La tasa forward instantánea, es la tasa forward de un contrato que vence en un periodo infinitesial y se define coo sigue: f ( t, t' ) = li f ( t, t', T ) T t ' 3

5 La tasa forward f ( t, t', T ) es el proedio de las tasas forward instantáneas: f ( t, t', T ) = T u= t ' f ( t, u) du T t' De igual fora la tasa spot r( t, T ) al tiepo t y plazo T es el proedio de las tasas forward instantáneas: r( t, T ) = T u= t f ( t, u) du T t III. El Modelo de Nelson y Siegel. Nelson y Siegel desarrollaron un odelo de ajuste de estructuras teporales de tasas de interés que es lo suficienteente flexible coo para representar las distintas foras que generalente adoptan estas curvas: Monótonas Jorobadas En fora de S En el odelo paraétrico de Nelson y Siegel, se supone que la tasa forward instantánea es la solución de una ecuación diferencial de segundo orden con dos raíces iguales. Entonces siguiendo la isa notación que en la sección anterior, suponiendo que la fecha de negociación de un contrato forward es t =, y que el día de inicio de la operación subyacente es, la función de la tasa forward instantánea se define según: f ( ) = f (, ) = β + β exp + β exp donde, β, β, ) es el vector de paráetros que deterina la fora de la curva. ( β Coo se explicó en la sección anterior, la tasa spot r(, ) se obtiene integrando 4

6 las tasas forward instantáneas desde hasta y dividiendo entre. De esta anera se obtiene la función de la tasa spot: r( ) = r(, ) = β + ( β + β ) exp β exp Con el objeto de apreciar la flexibilidad que tiene este odelo para adaptarse a las foras que adoptan las curvas de estructura teporal de tasas que se observan coúnente, a continuación se exainan los coeficientes de la función. Nótese que dichos coeficientes denotan el peso que se les da a las coponentes de corto, ediano o largo plazo de la curva forward. En prier térino, el líite de r() cuando tiende a infinito es la constante β. Por lo tanto, el paráetro β denota el peso que se le da a la coponente de largo plazo. Análogaente, β denota el peso que se le da a la coponente de corto plazo y β es la iportancia relativa al ediano plazo en la estructura teporal de tasas. Coponentes de la curva forward. Figura.8.6 largo plazo corto plazo (exp(-)).4 En la figura anterior, se uestran las distintas coponentes de la curva forward.. La coponente de largo plazo es una constante que no cae a cero en el líite. La coponente de ediano plazo está asociada al único térino que epieza en ediano plazo (*exp(-)) plazo cero (por lo cual no es de corto plazo) y cae a cero (por lo cual no es de largo plazo). El térino de corto plazo es el único que cae onótonaente a cero. 5

7 A su vez, el paráetro deterina la rapidez con la que los térinos que lo incluyen en la ecuación tienden a su líite. Entonces con un valor pequeño de las aproxiaciones de la curva son ejores en los plazos cortos que en los largos. Análogaente, con valores de grandes, el ajuste es ejor en el largo plazo que en el corto. Esta característica de la variable se uestra en la siguiente gráfica. Para el ejeplo tratado, se observa que la curva ajustada con = 9 representa ejor la curvatura de los datos originales a corto plazo, a diferencia de la curva ajustada con = 5 que difiere ás de la curva real en el corto plazo, pero se ajusta ejor a los datos de largo plazo. Nótese que de no ser por el odelo es lineal en los deás paráetros. Niveles Datos y curvas ajustadas Datos originales Ajuste con tao = 9 Ajuste con tao = plazo en días Figura IV. Metodología para ajustar las estructuras teporales de tasas. Coo se describió en el apartado correspondiente, es necesario convertir las tasas a interés siple a distintos plazos observadas en un oento dado, a tasas continuaente copuestas. A estos datos originales se les ajusta una estructura de tasas correspondiente al odelo de Nelson y Siegel, por ínios cuadrados. 6

8 Aunque se puede sipleente tratar de estiar los paráetros utilizando alguna paquetería convencional de ínios cuadrados no lineales, se puede aprovechar con cierta eficiencia el hecho de que el odelo es lineal en todos los paráetros enos. La fora epleada por los autores, es la de iterar sobre el paráetro que representa la no-linealidad del odelo, resolviendo sucesivaente regresiones lineales sobre los paráetros restantes hasta obtener convergencia bajo el criterio de axiizar la R. Así, se utiliza algún procediiento de búsqueda unidiensional 6 en la parte no-lineal del odelo, y se aprovecha la eficiencia de estiación en la parte lineal. Por facilidad, para la búsqueda unidiensional, escogios el étodo de la Sección Dorada. 7 Precisando, priero se rescribe la ecuación de Nelson y Siegel según: r( ) = a + b exp + c exp donde r() representa la tasa continuaente copuesta al plazo. El proceso iterativo es el siguiente: Suponiendo que se tienen los datos de las tasas spot, copuestas de anera continua a distintos plazos,..., para un cierto valor del paráetro, los paráetros a, b y c se obtienen coo la solución de ínios cuadrados del sistea de ecuaciones que en fora atricial se escribe a continuación. Así, sean:, n, y 6 Sobre una sola variable. 7 En general, es ás fácil hacer búsquedas unidiensionales que resolver el problea de golpe. Adeás esto conduce a la necesidad de escoger buenos puntos de inicio del proceso iterativo, que es ás fácil con el étodo propuesto. 7

9 = ) ( ) ( ) ( n r r r X M, = n n n M exp exp exp exp exp exp M M M y = c b a C Entonces, el sistea de ecuaciones descrito sipleente por es: X = MC = c b a r r r n n n n exp exp exp exp exp exp ) ( ) ( ) ( M M M M Este corresponde a un problea de regresión lineal últiple y su solución está representada por las bien conocidas ecuaciones norales ; es decir:. Luego se calcula el vector de las tasas estiadas X M M M C T T * ) ( = Xˆ en los isos plazos de los datos originales con los valores obtenidos; es decir:. En seguida se calcula la sua de los cuadrados de los errores y ajustada R ondiente al odelo de Nelson y Siegel según: = MC Xˆ corresp ( ) ( ) = = X X X X e T n i i ˆ ˆ y ) ( X Var e R n i i = = y ) ( 3 R n n R ajustada =. Hecho lo anterior, fijando los paráetros a, b y c se optiiza sobre ediante el étodo de la sección dorada dentro de un intervalo. Con el [ v u, ] 8

10 nuevo valor del paráetro se repite el proceso hasta que se establece convergencia en R. De esta anera se obtiene el vector de paráetros ( β, β, β, ) que representa la estructura de tasas ajustada a los datos. El étodo de la sección dorada para encontrar un áxio global, requiere que la función a optiizar sea uniodal y cuasicóncava 8. De no ser así, solo se puede garantizar convergencia a un óptio local. Cuando esto sucede, noralente son dos los óptios locales, están en los extreos del intervalo y la convergencia a uno u otro depende ucho del punto de inicio. Desgraciadaente, no se puede garantizar que la función a optiizar, que en el caso que nos concierne es la R ajustada a la función de Nelson y Siegel, sea uniodal y cuasicóncava con respecto al paráetro. 9 Para los cuatro casos exainados en este artículo, las curvas de Cetes, Udibonos, Libor y T-Bills, se encontraron patrones de concavidad/convexidad ezclados. Tapoco se encontró una fora general para elegir el intervalo de variabilidad de donde realizar la búsqueda. Por este otivo, se graficaron las funciones objetivo en algunos puntos equidistantes dentro de un intervalo aplio antes de realizar la optiización para elegir el doinio de la función. Dependiendo de la fora de las curvas y de los plazos de los datos originales se elige un intervalo inicial donde se encuentra el valor óptio de. A continuación se uestran gráficas del tipo de funciones encontradas en la investigación realizada..8 R cuadrada ajustada R cuadrada ajustada Véase: Márquez, Es necesario señalar, que el buen o al coportaient o d e R -.4 co o fu n c ión de tao, no tiene Tao nada que ver con el algota rit o o utilizado para optiizar Figuras 3 y

11 En las dos prieras, se tiene el caso en que la función de R contra son uniodales y cuasicóncavas y tienen su óptio global en el interior del intervalo. Al estar bien coportadas, no se necesita toar ninguna precaución adicional. En la siguiente, se aprecia una función que tabién es cuasicóncava, pero al ser onótona creciente en no es uniodal dentro del intervalo. Parecería que el óptio está en =, lo cual no tiene sentido práctico. Por lo tanto en este caso, se trunca el intervalo en el oento en que se tiene una buena precisión de la R y se escoge el extreo correspondiente coo el valor óptio de. No es recoendable alargar el intervalo deasiado ya que, aparte de que esto conduce a probleas de estabilidad nuérica, el odelo estaría ajustando bien a largo plazo pero a expensas de un al ajuste en el corto..5 R cuadrada ajustada Tao Figura 5 En la gráfica siguiente se uestra un caso en el que después del óptio local alrededor de = 5, la función cae para luego volver a crecer indefinidaente, pero parece que nunca rebasará el áxio local encionado. En este caso, se acotó el intervalo para que la búsqueda convergiera al óptio local encionado.

12 R cuadrada ajustada Tao Figura 6 Finalente, tabién se encontraron curvas que no eran cuasicóncavas y en donde los óptios locales estaban en los dos extreos del intervalo. En este caso se escoge el ayor de los dos; el de la izquierda, en el caso ostrado. R cuadrada ajustada Tao Figura 7 Por lo anterior, cada caso debe analizarse con cuidado para obtener un buen ajuste de los paráetros. Por ejeplo, para la curva de CETES, inicialente se corrió el algorito de la sección dorada dejando que variara en el intervalo (,) pero resultaban β negativas; es decir, a largo plazo las tasas estiadas toarían valores negativos, ientras que a plazos cortos las tasas eran

13 exageradaente altas. Después de varias pruebas se resolvió el problea acotando el intervalo a (,364), ya que 364 es el plazo ayor para el que se tienen datos históricos. Después de observar esto, se toó la decisión de correr el odelo hasta el plazo ayor para el que se tuvieran datos de cada uno de los instruentos restantes. V. Siulación de estructuras teporales. Para propósitos de evaluación de la técnica e ilustración, se presentan los resultados de los ajustes a las curvas de estructura teporal de tasas para Cetes, Udibonos, Libor y T-Bills, Se construyeron las cuatro series de los paráetros correspondientes a partir de datos diarios desde enero hasta enero. Para las cuatro series de paráetros, se obtuvo un histograa de frecuencias por paráetro y se calculó la atriz de varianzas-covarianzas de los cuatro paráetros, β, β, ) en ese orden, para después descoponerla con la ( β factorización de Cholesky A, de tal anera que = ΑΑ'. Los histograas de los paráetros se toan coo distribuciones de probabilidad epíricas para estos. El esquea de siulación es sipleente el de aplicar la fórula siguiente: β π = = µ + β β Aθ En esta relación, π denota el vector de paráetros siulado, µ es el vector de valores edios de los paráetros, A es la factorización de Cholesky de la atriz de varianza-covarianza de los paráetros y θ es un vector de uestras aleatorias

14 de las correspondientes distribuciones epíricas de los paráetros. Cabe señalar que para poder utilizar este proceso de siulación se tuvo que estandarizar la distribución epírica de los paráetros, restándole a cada intervalo su edia y dividiéndola entre la desviación estándar de la distribución, para que no se duplicaran los efectos de ultiplicar el vector por la atriz, con la factorización de Cholesky. Por edio de este proceso se pueden generar tantas curvas de estructuras teporales coo se desee. V.. Ejeplos del ajuste de curvas y de distribuciones de paráetros. A continuación se uestra el ajuste de la estructura teporal, el día 8 de enero de para los datos de Cetes. En los cuadros se observan los datos iniciales sobre los cuales se ajustó el odelo de Nelson y Siegel y los valores que toa la curva ajustada en algunos de los plazos. Se grafican los puntos originales y la curva que se fora al sustituir el valor óptio de los paráetros. Posteriorente, se presentan las proporciones observadas de las curvas generadas por las siulaciones y de las curvas originales para las que se ajustó el odelo agrupándolas de acuerdo a las foras que se observan ás coúnente en la realidad; a saber: Norales, Invertidas y Mezcladas. Esto se discute a continuación. Tipos de estructura de tasas Tipo Figura 8 Tipo Tipo 3 Esto se logra generando núeros aleatorios uniforeente distribuidos entre cero y uno (i.e. niveles ξ U[,]) y asociándolos con el intervalo correspondiente de la distribución acuulada epírica de cada uno de los paráetros, a la anera de Monte Carlo. 3 plazo en días

15 La estructura de Tipo, se conoce coo una estructura noral, donde la tasa es una función creciente del plazo, es decir, a ayor plazo ayor tasa ya que la incertidubre crece con el tiepo. La estructura de Tipo se conoce coo una estructura ezclada ; es creciente en el plazo hasta cierto punto y después se hace decreciente en el largo plazo. El últio tipo de curva se conoce coo una estructura invertida ya que la tasa es decreciente para todo plazo, indicando que las tasas de interés de corto plazo son uy altas y que la expectativa de los inversionistas es de que bajen en el futuro para regresar a niveles as norales. Posteriorente se ostraran sólo los resultados ás iportantes que se obtuvieron para los deás instruentos para los que se realizó el ajuste de las estructuras teporales de tasas, adeás de indicar el proceso que se siguió para realizar el ajuste y los resultados obtenidos por la siulación Monte Carlo. V.. Ejeplo: Cetes. V... Ajuste de las Curvas Para la curva de Cetes se decidió trabajar con los plazos generalente observados en el ercado, que por lo general corresponden a 8, 9, 8 y 364 días. El cuadro de la izquierda, uestra los datos de tasas de Cetes al cierre de operaciones del 8 de enero del. El vector de paráetros óptio para la curva de esta fecha, obtenido ediante la técnica descrita en el apartado IV es: Los datos se toaron del archivo de curvas de Valer; el proveedor de precios. En este archivo se uestran tanto las tasas observadas en el ercado coo las tasas estiadas por el proveedor 4

16 (, β, β, β ) = ( ) Tabla Datos Cetes para el 8// Ajuste Cetes plazo tasa siple tasa continua plazo tasa siple tasa continua El cuadro de la derecha y la gráfica siguiente, uestran nuérica y gráficaente el ajuste obtenido para el odelo de Nelson y Siegel. Tasa siple Cetes niveles plazo en días Datos Cetes Ajuste Cetes Figura 9 V... La distribución epírica de los paráetros. de precios. Es de notar que las estiaciones del proveedor para Cetes de largo plazo son uy siilares todos los días del año. 5

17 A partir de las series de los 4 paráetros, β, β y β se obtuvo el vector de edias y la atriz de Varianzas-Covarianzas. Para CETES, los resultados obtenidos son: = β =.9 β =.334 β = = La atriz A que resulta de la factorización de Cholesky de es la siguiente: Α = Tabién se hacen los histograas correspondientes a cada paráetro y se noralizan coo se describió. Las figuras siguientes uestran los histograas obtenidos para los paráetros de las curvas de tasas de CETES. Histograa del paráetro Cetes Histograa del paráetro β Cetes V..3. El proceso de siulación A continuación se presentan las gráficas tanto de las proporciones de las estructuras generadas por la siulación, Figuras coo y las estructuras originales a las que se ajustó el odelo, según el tipo de estructura de tasas. Se puede observar que

18 abas gráficas son uy parecidas, siendo el tipo de estructura que se observa con ayor frecuencia, es la estructura de Tipo. Tabién se uestra una gráfica ostrando sólo algunas de las estructuras generadas por la siulación. Histograa del paráetro β Cetes Histograa del paráetro β Cetes Figuras y 3 Fora de las curvas originales Fora de las curvas generadas por la siulación 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % Tipo Tipo Tipo 3 Tipo de curva 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % Tipo Tipo Tipo 3 Tipo de curva Figuras 4 y 5 Estructuras generadas por la siulación para Cetes % 7

19 V.3. Ejeplos: Udibonos, Libor y T-Bill V.3.. Resuen A continuación se presenta una tabla con el resuen de los Vectores de Medias y de las Matrices de Varianza-Covarianza y de Cholesky, provenientes de los paráetros que se estiaron, los cuáles fueron utilizados para sus respectivas siulaciones de estructuras. Los resultados copletos sobre los ajustes, los histograas y el proceso de siulación se presentan en los anexos. Tabla Cetes Udibonos β β β β β β Media Var-Covar β β β

20 V.3.. Obtención de los datos y estiación de los paráetros Udibonos Los datos para Udibonos se toaron del archivo vector de Valer. En este archivo se uestran tanto el rendiiento de los Udibonos observado en el ercado coo el rendiiento estiado por el proveedor de precios. A diferencia del archivo de Valer del cual se obtuvieron los datos de Cetes, en Udibonos no se sabe cuáles datos corresponden a transacciones hechas en el ercado y cuáles son estiados por Valer. Por esta razón, se trabajó con todos los plazos publicados. Los plazos de los datos publicados diariaente varían entre y 37 días. Valer es un vendedor de precios... 9

21 Se corrió el algorito de optiización dejando que variara en el intervalo (,37). Durante los prieros 6 eses del año, se publicaron rendiientos de Udibonos para plazos de 5 días en adelante. En el segundo seestre los plazos publicados epiezan a partir de los días aproxiadaente. Es decir, el odelo se ajusta con datos a partir de días y se usa para pronosticar tasas de corto plazo. Libor Los datos para la tasa Libor, se toaron de Blooberg. Las tasas publicadas corresponden a los plazos 7, 8, 9,8, 73 y 365 días. Si se corría el algorito dejando que variara en un intervalo uy grande, resultaban β negativas. Esto resultaba en valores negativos para las tasas estiadas de largo plazo, y en cabio, las tasas de corto plazo toaban valores uy altos respecto a los observados. Después de varias pruebas y de acuerdo con los resultados observados, el problea se resolvió acortando el intervalo a (,5). Coo consecuencia, el valor óptio de era en general, enor a. T-Bill Las datos para las tasas del T-Bill tabien se toaron de Blooberg. Es iportante notar que en general se tienen los datos a 9, 8, 365, 73, 85, 365 y 95 días. Hay tasas de uy largo plazo y la óptia es alta (la edia es 857). Esto significa que la curva se ajusta ejor en el largo plazo que en el corto. Es posible que si se desea ajustar el corto plazo debería reducirse el intervalo del paráetro, o bien, hacer la optiización de paráetros ignorando los datos de los plazos largos. Al principio se ajustó el odelo dejando que variara en el intervalo (,), con el resultado de que el paráetro toaba siepre su valor extreo de 999; es decir: el intervalo era deasiado corto. Al toar un intervalo ayor, de (5,6), en general, el paráetro encontraba valores óptios en el interior del intervalo.

22 V.3.3. Resultados obtenidos. Coo los histograas de los paráetros ajustados en los prieros casos resultaron en figuras uy regulares, se pensó en ajustar alguna distribución conocida a los paráetros que se estiaron, siplificando aún ás el proceso de Siulación Montecarlo. Sin ebargo este no es el caso general, ya que al revisar los histograas de los paráetros para instruentos coo LIBOR y Udibonos, ostrados en las figuras 7 y 8 y siguientes, no se observó el iso coportaiento suave del histograa. Por lo tanto, se optó por siular paráetros directaente de su distribución epírica. Histograa del paráetro β Udibonos Histograa del paráetro β Libor Figuras 7 y 8 Histograa del paráetro β T-Bill Histograa del paráetro β T-Bill

23 Tabién se puede observar que los paráetros ás probleáticos, fueron β, β y β ; es decir, los asociados a las coponentes de corto, ediano y largo plazo de la curva forward. VI. Conclusiones Coo se puede apreciar de lo anterior, coo suele suceder en este tipo de trabajos epíricos, se presentaron ciertas dificultades para la estiación de los paráetros, las cuales se resolvieron exainando los datos en cuestión y haciendo una utilización juiciosa del algorito de optiización de ínios cuadrados no lineales por parte del analista. Con el objeto de validar la etodología de siulación de curvas de tasas, en este trabajo solo fue necesario siular estructuras teporales para obtener convergencia en los paráetros de las distribuciones. Para efectos del cálculo del VaR de una cartera de instruentos financieros de deuda, ediante siulación Montecarlo, idealente se deben siular tantas coo se requieran para garantizar convergencia en los paráetros con algún nivel de precisión adecuado. Hasta la fecha, con carteras típicas de bancos Mexicanos, esto puede significar siular un núero de curvas en exceso de,. De aquí el interés en el

24 odelo de Nelson y Siegel, ya que iplica ahorros significativos al quedar copletaente especificada la curva con cuatro paráetros. Quizás el ayor defecto del odelo de Nelson y Siegel es que el ajuste puede dejar algo que desear en ciertos plazos, sobre todo en curvas que conteplan plazos uy largos. Esto porque coo se vio en la tercera sección, dependiendo del valor del paráetro, la curva o ajusta bien en el corto plazo o en el largo pero no en abos. Una conjetura interesante es la de eterle un nuevo térino a la ecuación que pueda arreglar el problea. Adeás, posibleente se pueda lograr que éste térino le de ejores propiedades de concavidad a la función para facilitar la optiización, pagando un precio pequeño auentando solaente un paráetro. Finalente, otro asunto que queda pendiente, es el de encontrar correlaciones entre los paráetros de curvas asociadas a diferentes instruentos. Esto redondearía el proceso, ya que aunque auente considerableente la diensión del proceso de siulación, peritiría siular conjuntos de curvas, todas congruentes entre sí, para lograr una ejor representación de escenarios de tasas de interés. Pero esto se reduce sipleente a obtener la atriz de covarianzas entre todos los paráetros y queda igual el esquea de siulación. 3

25 Apéndice. Método de la Sección Dorada. El étodo de la Sección Dorada es un étodo iterativo en el cual se va acortando el intervalo de búsqueda del óptio de una función de una variable. En el caso de axiizar la R para el ajuste de la ecuación de Nelson Siegel sobre,se hizo la búsqueda hasta obtener un intervalo de longitud enor o igual a. A continuación se explica el algorito de optiización para una iniización, toando [,] coo el intervalo de inicio, donde representa el plazo ayor para el que se pudieron obtener datos para cada una de las estructuras teporales de las tasas estudiadas. Sea [ u,v ] el intervalo inicial sobre el cual se hará la búsqueda del punto óptio. Los subíndices indican el núero de iteración en el que se encuentra la búsqueda. Denoteos por k el contador de iteraciones. Así que en esta priera iteración u ) y = a + α( v ) k =. Sean λ = + ( α )( v u µ donde α =. 68. u Se calculan las regresiones para = λ y para = µ y se repiten los siguientes pasos:. Si v k u < detenerse, la solución óptia está en el intervalo u, ]. De otro odo, si R ( µ ) > R ( λ ), ir la paso y si R ( µ ) R ( λ ), ir al paso 3. k. uk + = λk y v k = v k. Adeás sean k k + λ k = µ k ( k + Se calcula R µ ) e ir al paso u = y k + u k k k k k [ v k k + y k + = uk + + α( v k + uk + ) µ. v + = µ. Adeás sean µ k = λk λ k + = u k + + ( α )( v k + uk + ). Se calcula ( ) 4. Se sustituye k por k + e ir al paso. R λ e ir al paso 4. k + + y 4

26 Apéndice. Ajuste de las Estructuras de Tasas. 8// Udibonos Vector de paráetros, β, β, β ) ( = ( ) Datos Udibonos para el 8// Ajuste Udibonos plazo tasa siple tasa continua plazo tasa siple tasa continua Tasa siple Udibonos niveles Datos Udibonos Ajuste Udibonos Plazo en días 5