Algoritmos de Búsqueda

Transcripción

1 Introducción a la Computación Algoritmos de Búsqueda Esteban E. Mocskos (emocskos@dc.uba.ar) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA CONICET 11/10/2017 E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

2 Introducción Para qué buscar? Algoritmo de Búsqueda Definición Es un algoritmo que se utiliza para encontrar un elemento con determinada propiedad dentro de una colección. Por ejemplo: Buscar entre los alumnos de la clase el alumno más alto. Buscar entre las personas del aula aquella con menos pelo. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

3 Búsqueda sobre secuencia Búsqueda lineal Problema Dada una secuencia de números enteros, se debe indicar si un elemento particular x pertenece a la secuencia. Cómo sería la especificación de este problema? problema buscar(x:z, [a:z]) = res: B{ asegura res=( j : Z)(0 j < len(a) a[j] = x) } E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

4 Búsqueda lineal sobre secuencia Algoritmo de búsqueda lineal Recibe una secuencia y una condición booleana sobre sus elementos (por ejemplo, igualdad con algún elemento determinado). Recorre de izquierda a derecha la secuencia mientras no se ha encontrado un elemento que cumpla la condición booleana. Variantes de opciones de resultado: Elemento encontrado Posición del elemento Condición booleana que indica si lo encontramos o no. Es el más ingenuo de los algoritmos de búsqueda. En el peor caso, realiza tantas iteraciones como el tamaño de la secuencia. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

5 Encarando el problema Dada una secuencia a de tamaño n y un elemento buscado x. Buscamos la primer posición que contiene al elemento x. Usaremos una variable numérica (tipo entero) i para recorrer las posiciones de a. La secuencia no se modifica a lo largo del proceso de búsqueda. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

6 Código del algoritmo de búsqueda lineal Pensemos un programa que resuelva lo planteado: problema buscar(x:z, [a:z]) = res: B{ asegura res=( j : Z)(0 j < len(a) a[j] = x) } def buscar ( a, x ) # I n i c i a l i z a c i o n i = 0 # Comienza e l c i c l o while ( i < len ( a ) and a [ i ]!= x ) : i = i + 1 # Devuelvo s i l o encontre return i < len ( a ) Notar que la guarda es una conjunción que nunca se indefine. Es decir, no accede a ningún elemento fuera de rango. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

7 Invariante Definición Es una propiedad matemática que me cuenta qué es lo que voy haciendo en el ciclo. Esta propiedad debe ser verdadera en varias partes del ciclo: Antes de entrar al ciclo. Luego de evaluar la guarda y entrar al ciclo Justo después de terminar la iteración o cuerpo del ciclo. Luego de evaluar la guarda y salir del ciclo. Esta temática se puede profundizar, pero es el foco de la materia Algoritmos y Estructuras de Datos 1. Vamos a dar solo un vistazo. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

8 Veamos un poco qué significa esto def buscar ( a, x ) : # I n i c i a l i z a c i o n i = 0 # Comienza e l c i c l o while ( i < len ( a ) and a [ i ]!= x ) : i = i + 1 # Devuelvo s i l o encontre return i < len ( a ) Informalmente, el invariante de este ciclo nos va a contar qué pasa con las distintas variables involucradas, qué modificaciones les ocurren: Qué sabemos sobre la variable i? El índice i toma el rango de valores entre 0 i len(a). Ojo: notar que potencialmente puede tomar el valor len(a). Qué sabemos de la parte que ya recorrimos? ( k : Z)(0 k < i x a[k]). Qué sabemos de la parte que todavía no revisamos? a = A 0, no modificamos la secuencia de entrada. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

9 Y ahora? Con el invariante, la guarda del ciclo y los formalismos necesarios, se puede demostrar que el ciclo termina y es correcto (i.e. calcula lo que queremos). La palabra clave es demostrar. Se puede obtener una prueba matemáticamente válida de que nuestro programa efectivamente computa lo que nosotros decimos que hace. La función variante: Adicionalmente al invariante, existe la función variante, que es una función que se define usando variables del programa y que en cada iteración del ciclo debe ser estrictamente decreciente... No les parece conocido a lo que vimos en recursión? Cuando llega a una cota pre-establecida (normalmente 0), el ciclo debe terminar. Cuál sería la función variante en el ciclo de búsqueda lineal? Qué les parece len(a) i como función variante? E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

10 Complejidad Complejidad de un algoritmo La complejidad temporal T (n) de un algoritmo es la máxima cantidad de operaciones que va a ejecutar. Se la define como función del tamaño de la entrada n. Para dar cotas superiores de la complejidad se usa la notación asimptótica O grande. T (n) es O(f(n)) sii c, n 0 n n 0 T (n) c f(n) Es decir, T (n) es del orden de f(n) cuando T (n) es a lo sumo una constante por f(n), excepto para valores pequeños de n. Nos interesa ver cómo crece la complejidad cuando crece la estructura o entrada. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

11 Complejidad Complejidad de la búsqueda lineal def buscar ( a, x ) # I n i c i a l i z a c i o n i = 0 # Comienza e l c i c l o while ( i < len ( a ) and a [ i ]!= x ) : i = i + 1 # Devuelvo s i l o encontre return i < len ( a ) Cuándo hace la máxima cantidad de operaciones? Cuando el elemento no está en la secuencia. Cuántas operaciones son? El algoritmo ejecuta tantas iteraciones como la longitud o tamaño de la secuencia. La cantidad de operaciones es la cantidad de iteraciones por una constante. Notemos que en nuestro programa cada iteración hace 4 operaciones: dos comparaciones, una conjunción y el incremento del índice. El algoritmo de búsqueda lineal tiene complejidad O(n), es decir, tiene complejidad lineal. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

12 Busqueda binaria Mejorando la búsqueda Supongamos un diccionario y queremos buscar una palabra x. 1 Abrimos el diccionario a la mitad 2 Si x está en allí, terminamos. 3 Si x es menor (según el orden de diccionario) que las palabras de la posición actual, x no puede estar en la parte derecha. 4 Si x es mayor (según el orden de diccionario) que las palabras de la posición actual, x no puede estar en la parte izquierda. 5 Seguimos buscando sólo en la parte izquierda o derecha (según sea el caso). Cuándo termina? E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

13 Busqueda binaria Búsqueda binaria Supongamos que en lugar de un diccionario tenemos una secuencia ordenada de números enteros. Buscamos un número entero x. Inicialmente el segmento de búsqueda es toda la secuencia. Si el número que buscamos es menor que el primer elemento o mayor que el último, entonces seguro que no está. Revisaremos sólo algunas posiciones del arreglo: en cada iteración descartaremos la mitad del segmento actual de búsqueda. Termina cuando encuentro el elemento en la posición que reviso, o bien, cuando el segmento de búsqueda tiene menos que tres elementos (no tiene medio). Es decir, tiene uno o dos elementos. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

14 Busqueda binaria Búsqueda binaria Búsqueda binaria del elemento 22 teniendo como entrada una secuencia ordenada de 15 elementos. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

15 Busqueda binaria Complejidad del algoritmo de búsqueda binaria Cuántas iteraciones hace el algoritmo como máximo? En cada iteración nos quedamos con la mitad del espacio de búsqueda. Termina cuando el segmento de búsqueda tiene longitud 1 o 2. número de iteración longitud del espacio de búsqueda 1 n 2 n/2 3 (n/2)/2 = n/2 2 4 (n/2 2 )/2 = n/2 3. t. n/2 t 1 Para llegar al espacio de búsqueda de tamaño 1 hacemos t iteraciones 1 = n/2 t 1 entonces 2 t 1 = n entonces t = 1 + log 2 n. Luego, la complejidad de la búsqueda binaria es O(log 2 n). Esta cota superior es mucho mejor que la búsqueda lineal, que es O(n). E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19

16 Terminando Conclusiones Vimos dos algoritmos de búsqueda para problemas relacionados: 1 Búsqueda lineal. 2 Búsqueda binaria. Requiere que la entrada sea una secuencia ordenada La búsqueda binaria es mucho más eficiente que la búsqueda lineal, porque en el peor caso la búsqueda lineal accede a todos los elementos de la secuencia. Mientras que la búsqueda binaria solamente accede a una cantidad logarítmica del tamaño de la secuencia. Las cotas superiores de complejidad temporal son también cotas inferiores del peor caso. Moraleja: en general, más propiedades en los datos de entrada permiten dar algoritmos más eficientes. E. Mocskos (UBA CONICET) Algoritmos de Búsqueda 11/10/ / 19