Tiempo de Ejecución. Midiendo el Tiempo de Ejecución

Transcripción

1 Tiempo de Ejecución Arturo Díaz Pérez Sección de Computación Departamento de Ingeniería Eléctrica CINVESTAV-IPN Av. Instituto Politécnico Nacional No Col. San Pedro Zacatenco México, D. F. CP Tel Ext. 6562, TimeAnalysis-1 Midiendo el Tiempo de Ejecución Benchmarking Benchmarks: una colección de entradas típicas representativas de una carga de trabajo para un programa Profiling Asociar a cada instrucción de un programa un número que representa la fracción del tiempo total tomada para ejecutar esa instrucción particular Regla del Regla informal que afirma que el 90% del tiempo de ejecución se invierte en el 10% del código TimeAnalysis-2 1

2 Midiendo el Tiempo de Ejecución Análisis Agrupar las entradas de acuerdo a su tamaño, n, y estimar el tiempo de ejecución del programa en entradas de ese tamaño, T(n) TimeAnalysis-3 El Problema de Ordenamiento Entrada: una secuencia de números <a 1, a 2,..., a n > Salida: una permutación de la secuencia <a 1, a 2,..., a n > tal que, a 1 = a 2 =... = a n Ejemplo: TimeAnalysis-4 2

3 Método de Inserción void Inserción( int A[], int n ) { int i,j; for( i=1; i < n; i++ ) { j:= i; while( j > 0 && A[j] < A[j-1] ) { Intercambia( &A[j], &A[j-1] ); j-- } } } A: ordenado llave TimeAnalysis-5 Método de Inserción: Ejemplo TimeAnalysis-6 3

4 La Entrada del Problema Tiempo de Ejecución Debe ser definido como una función de la entrada T p = f(e) Con frecuencia el tiempo de ejecución depende del tamaño de la entrada T(n): El tiempo de ejecución de un programa en entradas de tamaño n Ejemplo: T(n) = c n 2, para alguna constante c TimeAnalysis-7 Tipos de Análisis El tiempo de ejecución del peor caso, T w (n) El máximo de los tiempos de ejecución sobre todas las entradas de tamaño n Puede no ser muy fiel El tiempo promedio de ejecución: T a (n) El promedio de los tiempos de ejecución sobre todas las entradas de tamaño n Puede ser más fiel En algunas ocasiones puede ser difícil de determinar El tiempo de ejecución del mejor caso: T b (n) El menor de los tiempos de ejecución sobre todas las entradas de tamaño n Puede ser engañoso en un algoritmo lento que trabaja rápido sobre algunas entradas TimeAnalysis-8 4

5 Tiempo independiente de la computadora El tiempo de ejecución no debe ser expresado en unidades de tiempo estándar Qué significa el tiempo del peor caso para el método de inserción? Depende de la velocidad de una computadora Velocidad relativa (en la misma computadora) Velocidad absoluta (en computadoras diferentes) Ignore las constantes dependientes de la computadora Observe el crecimiento de T(n) conforme n? a. El tiempo de ejecución de un algoritmo es proporcional a f(n) Análisis Asintótico TimeAnalysis-9 Comparando Tiempos de Ejecución T(n) n n 3 / 2 5n n n Running Time T(n) 100 n 5n 2 n 3 / 2 2 n Max. Problem Size 3 for 10 sec Max. Problem Size for 104 sec Increase in Max. Problem Size TimeAnalysis-10 5

6 Función de Complejidad Definición: Una función de complejidad puede ser cualquier función de los enteros no negativos a los reales no negativos f: N R 0 Ejemplos: f (n ) = n f (n ) = n 2 f (n ) = log n f (n ) = 3n + 4n 2 TimeAnalysis-11 Ordenes de Crecimiento Dada f: N R, una función con valores no negativos O ( f (n) ) = { g: N R 0 c > 0 y N 0 N: (n N 0 g(n) c * f (n)) } Θ ( f (n) ) = { g: N R 0 [g O(f)] [f O(g)] } Ω ( f (n) ) = { g: N R 0 c > 0 y N 0 N: (n N 0 f(n) c * g (n)) } TimeAnalysis-12 6

7 Ordenes de Crecimiento Se escribe g(n) = ( f (n) ) en lugar de g ( f ) El crecimiento de g está dominado por el de f, si y solo si, g(n) = O( f (n) ) g y f poseen el mismo orden de crecimiento, si y solo si, g(n) = Θ ( f (n) ) El crecimiento de g es al menos el de f, si y solo si, g(n) = W ( f (n) ) TimeAnalysis-13 O( f(n) ): De orden f (n) n n es O(n 2 ) Por qué? 2 n 2 Tome c = 2 y N = 10 n n 10 TimeAnalysis-14 7

8 Cota Superior Asintótica: O c * f (n) g (n) N 0 g(n) = O ( f ( n )) TimeAnalysis-15 O: Ejemplos 1,000,000n 2 es O(n 2 )? (n - 1)n / 2 es O(n 2 )? n / 2 es O(n 2 )? log (n ) es O(n)? n 2 es O(n)? TimeAnalysis-16 8

9 Cota Inferior Asintótica: W g (n) c * f (n) N 0 g(n) = Ω( f ( n ) ) TimeAnalysis-17 W: Ejemplos 1,000,000 n 2 es Ω(n 2 )? (n - 1)n / 2 es Ω(n 2 )? n / 2 es Ω(n 2 )? log (n ) es Ω(n)? n 2 es Ω(n)? TimeAnalysis-18 9

10 Θ: Mismo Orden de Crecimiento c * f (n) g (n) d * f (n) g(n) = Θ ( f ( n )) N 0 TimeAnalysis-19 Θ: Ejemplos 1,000,000 n es Θ(n 2 )? (n - 1)n / 2 es Θ(n 2 )? n / 2 es Θ(n 2 )? log (n ) es Θ(n)? n 2 es Θ(n)? TimeAnalysis-20 10

11 Observaciones Para cualesquiera f, g: N fi R : g(n) = O( f (n) ) f(n) = Ω( g(n) ) g(n) = Θ( f (n) ) [g(n) = O( f (n) )] [g(n) = Ω( f (n) )] TimeAnalysis-21 Observaciones También se define o( f (n) ) = { g: N R 0 c > 0, N 0 N: (n N 0 g(n) c * f (n)) } ω( f (n) ) = { g: N R 0 f o(g(n)) } esto es, g(n) = o( f (n) ) g(n) = ω( f (n) ) g( n) lim = 0 n f ( n) g( n) lim = + f ( n) n TimeAnalysis-22 11

12 Propiedades Transitividad: {O, Θ, Ω, o, ω}: g(n) = ( f (n) ) f(n) = (h(n)) g(n) = ( h(n) ) Reflexividad: {O, Θ, Ω}: f(n) = ( f (n) ) Simetría: g(n) = Θ( f (n) ) f(n) = Θ( g(n) ) Por lo tanto, g(n) = Θ( f (n) ) define una relación de equivalencia en el espacio de funciones TimeAnalysis-23 Propiedades Simetría transpuesta: f (n) = Ο(g(n )), si y solo si, g (n) = Ω (f (n )) f (n) = Ο(g(n )), si y solo si, g (n) = ω (f (n )) TimeAnalysis-24 12

13 Diferencia entre O y o O ( f (n) ) = {g: N R 0 : existen constantes positivas c and N 0 tal que g( n) c * f (n ) para toda n N 0 } o ( f (n) ) = {g: N R 0 : para toda constante positiva c existe una constante N c > 0, tal que, g( n) c * f (n ) para toda n N c } Para o la desigualdad se mantiene para todas las constantes positivas Mientras que para O la desigualdad se mantiene para algunas constantes positivas TimeAnalysis-25 Analogía con los Números Reales f (n) = Ο( g(n)) a b f (n) = Ω ( g(n)) a b f (n) = Θ ( g(n)) a = b f (n) = ο ( g(n)) a < b f (n) = ω ( g(n)) a > b TimeAnalysis-26 13

14 Observaciones A diferencia de los números reales NO todas las funciones son asintóticamente comparables Ejemplo: n 1+ sin n y n El conjunto o(f (n)) NO es el mismo que el conjunto O(f (n)) - Ω(f (n)) Ejemplo: n g( n) = 1 si n es par si n es impar TimeAnalysis-27 Observaciones Los límites se pueden usar para determinar el orden c g( n) lim = 0 f ( n) n entonces, entonces, entonces, g( n) g( n) f ( n) = = = O( f (n)) si c o( f ( n)) o( g ( n)) > 0 TimeAnalysis-28 14

15 Big O Revisada T(n) es un O(f(n)), leído como O de f(n), si existe una constante positiva c y n 0, tales que, T(n) cf(n) para todo n n 0 Factores constantes no importan Para cualquier constante positiva d y cualquier función T(n), T(n) es O(dT(n)) Si T(n) es O(f(n)), entonces, T(n) es O(df(n)) para cualquier d > 0 Términos de orden inferior no importan Si T(n) es un polinomio de la forma a k n k + a k-1 n k a 1 n + a 0, tal que, a k > 0, entonces, T(n) es O(n k ) TimeAnalysis-29 Big O Revisada Si p(n) son q(n) y son polinomios y el grado de q(n) es mayor o igual al grado de p(n), entonces, p(n) es O(q(n)) p(n) es O(a n ), exponenciales, a n, a > 1, crecen más rápido que cualquier polinomio, p(n) f(n) es una cota O ajustada de T(n) si T(n) es O(f(n)) Si T(n) es O(g(n)), entonces, f(n) es O(g(n)) TimeAnalysis-30 15

16 Regla de la Suma Supongamos que T 1 (n) y T 2 (n) son los tiempos de ejecución de dos fragmentos de programa P 1 y P 2, respectivamente y que T 1 (n) es O(f(n)) y T 2 (n) es O(g(n)), entonces, T 1 (n) +T 2 (n) es O(max( f(n), g(n))) Si T 1 (n) es O(f(n)), c 1,n 1, tales que, T 1 (n) c 1 f(n), n n 1 Si T 2 (n) es O(g(n)), c 2,n 2, tales que, T 2 (n) c 2 g(n), n n 2 Sea n 0 = max(n 1,n 2 ), n n 0, T 1 (n) + T 2 (n) c 1 f(n) + c 2 g(n) De aquí que, n n 0, T 1 (n) +T 2 (n) (c 1 + c 2 ) max( f(n), g(n) ) Por lo tanto, T 1 (n) + T 2 (n) es un O(max( f(n), g(n))) TimeAnalysis-31 Regla del Producto Regla del producto Si T 1 (n) y T 2 (n) son O(f(n)) y O(g(n)), respectivamente, entonces, T 1 (n)*t 2 (n) es O( f(n)*g(n) ) Transitividad Si g(n) = O( f (n) ) f(n) = O(h(n)) g(n) = O( h(n) ) TimeAnalysis-32 16

17 Reglas Generales de Análisis Un asignamiento e instrucciones de lectura y escritura que no contengan llamados a funciones toman un tiempo constante O(1) Cuando existen llamados a funciones, se debe tomar en cuenta el tiempo que toma la ejecución de la función El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma T(S 1 ; S 2 ;... ; S n ) es un O( max(t(s 1 ), T(S 2 ),...,T(S n )) ) TimeAnalysis-33 Reglas Generales de Análisis El tiempo de ejecución de una proposición if-then esta determinado por el tiempo de ejecución de las proposiciones condicionales más el tiempo para evaluar la condición T(if C then S) = T(C) + T(S) El tiempo de ejecución de una proposición if-then-else es el tiempo para evaluar la condición más el mayor de los tiempos necesarios para evaluar las proposiciones cuando la condición es verdadera y el tiempo para las proposiciones ejecutadas cuando la condición es falsa T(if C then S 1 else S 2 ) = T(C) + max( T(S 1 ), T(S 2 ) ) TimeAnalysis-34 17

18 Reglas Generales de Análisis El tiempo para ejecutar un ciclo es la suma, sobre todas las veces que se ejecuta el ciclo del tiempo para ejecutar el ciclo más el tiempo para evaluar la condición de terminación T( while C do S) = [ T ( C) + T ( S)] + T ( C) se las veces ejecuta el que ciclo TimeAnalysis-35 Reglas Generales de Análisis Ejemplo void Inserción( int A[], int n ) { int i,j; for( i=1; i < n; i++ ) { j:= i; while( j > 0 && A[j] < A[j-1] ) { Intercambia( &A[j], &A[j-1] ); j-- } } } O(i) O(n) TimeAnalysis-36 18