Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa

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Luis Miguel Quintana Ortega
hace 7 años
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1 Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa Georgina Flesia FaMAF 16 de abril, 2013

2 Generación de v.a. discretas Existen diversos métodos para generar v.a. discretas: Transformada Inversa De aceptación-rechazo, o método de rechazo. De composición. Métodos mejorados según la distribución.

3 Método de la Transformada Inversa X: una variable aleatoria discreta con probabilidad de masa P(X = x j ) = p j, j = 0, 1,.... U U(0, 1): simulación de una v.a. con distribución uniforme. Método de la transformada inversa: x 0 si U < p 0 x 1 si p 0 U < p 0 + p 1 X =. x j. si p p j 1 U < p p j 1 + p j P(X = x j ) = P(p p j 1 U < p p j 1 + p j ) = p j.

4 Método de la Transformada Inversa F(x) = P(X x) : Función de distribución acumulada F es una función creciente, escalonada, que toma valores entre 0 y 1. Si se ordenan los valores de la variable en forma creciente: x 0 < x 1 < < x n <..., entonces j F(x j ) = p k = p 0 + p p j. k=0

5 Gráficamente p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

6 1 p 3 p 0 + p 1 < U < p 0 + p 1 + p 2 F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 X = x 2

7 Algoritmo Si la v.a. toma un número finito de valores, el algoritmo es el siguiente: Algorithm 1: Transformada Inversa Generar U U(0, 1); if U < p 0 then X x 0 y terminar. end if U < p 0 + p 1 then X x 1 y terminar. end if U < p 0 + p 1 + p 2 then X x 2 y terminar. end.

8 Algoritmo de la Transformada Inversa Si x 0 < x 1 < x 2 <..., entonces F (x j ) = j i=0 p i, y por lo tanto X x 0 si U < p 0 = F(x 0 ) X x j si F (x j 1 ) U < F (x j ) Se trata de hallar el intervalo [F(x j 1 ), F(x j )) donde se ubica U: U [F(x j 1 ), F(x j )) = Transformada Inversa

9 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 Algorithm 2: Generar U; if U < 0.2 then X 1 y terminar. end if U < 0.35 then X 2 y terminar. end if U < 0.6 then X 3 else X 4 end

10 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

11 Orden decreciente de p i Si se ordenan de manera decreciente las probabilidades de masa p 0, p 1,..., se puede obtener un algoritmo más eficiente: Algorithm 3: Ordenando p i Generar U; if U < 0.4 then X 4 y terminar. end if U < 0.65 then X 3 y terminar. end if U < 0.85 then X 1 else X 2 end

12 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

13 Generación de variables aleatorias continuas con densidad Decimos que X es una v.a. continua con densidad si existe f : R R positiva tal que F(x) := P(X x) = x f (t) dt. Estudiaremos los siguientes métodos de generación para una tal X: Método de la transformada inversa. Método de aceptación y rechazo. Método de composición.

14 Método de la transformada inversa Propiedades de F (x) := x f (t) dt. F(x) es continua. F(x) es no decreciente. 0 F (x) 1, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1

15 Método de la transformada inversa Teorema Si F es una función de distribución continua, inversible, y U U(0, 1), entonces X = F 1 (U) es una variable aleatoria con distribución F. P(X a) = P(F 1 (U) a) = P(F (F 1 )(U) F (a)) por ser inversible = P(U F(a)) = F(a)

16 Método de la transformada inversa

17 Método de la transformada inversa Es suficiente que F tenga inversa en (0, 1). Problemas: La inversa de F involucra funciones computacionalmente costosas. ( n f (x), log(x), etc.) La inversa de F no puede ser calculada explícitamente. (p. ej., distribución de la normal, de una gamma) Para ciertas distribuciones F pueden utilizarse otras estrategias, por ejemplo expresando a F como distribución del mínimo y/o del máximo de v. a. independientes. distribución de suma de variables aleatorias independientes distribución de una v. a. condicional a otra, o existen métodos específicos (p. ej., para X con distribución normal.) Veamos algunos ejemplos.

18 Aplicación del método de la transformada inversa Ejemplo Escribir un método para generar el valor de una v. a. X con función de densidad f (x) = x + 1, 0 x 2. 2 F(x) = x 2 + x, 0 x 2. 4 F no es inversible sobre R, pero sólo nos interesa encontrar una inversa F 1 : (0, 1) (0, 2). x x = u x = x = u o x = u Algorithm 4: Generar U; X 2 2 U

19 Aplicación del método de la transformada inversa Ejemplo Escribir un método para generar el valor de una v. a. X con función de densidad 1/4 0 x 2 f (x) = 1/2 2 < x < 3 0 c.c. 0 x 0 x/4 0 x 2 F(x) = x 1 2 < x < x 3 Generar U; if U < 1/2 then X 4U else X 2U + 1 end

20 Máximos y mínimos de v. a. independientes Consideremos X 1, X 2,..., X n v. a. independientes, con funciones de distribución F 1, F 2,..., F n, respectivamente. F i (a) = P(X i a). X = max{x 1, X 2,..., X n } F X (a) = F 1 (a) F 2 (a)... F n (a) Y = min{x 1, X 2,..., X n } 1 F Y (a) = (1 F 1 (a)) (1 F 2 (a))... (1 F n (a))

21 Máximos y mínimos de v. a. independientes Si X es tal que F X (x) = x n, 0 x 1, 0 en otro caso. F X (x) = x x x }{{} n entonces X = max{u 1, X 2,..., U n } con U 1, U 2,..., U n v. a. independientes, idénticamente distribuidas uniformes en [0,1]. Para generar X Algorithm 5: F X (t) = t n Generar U 1, U 2,..., U n ; X max{u 1, U 2,..., U n } no requiere cálculo de una raíz n-ésima. se generan n 1 uniformes adicionales. requiere de n 1 comparaciones.

22 Generación de una v. a. exponencial Si X E(λ), entonces c X también es exponencial. c X E( λ c ). Calculamos la inversa de la función de distribución de X E(1): F X (x) = 1 e x u = 1 e x 1 u = e x x = log e (1 u) Algorithm 6: X E(1) Generar U; X log(u) Algorithm 7: X E(λ) Generar U; X 1 λ log(u)

23 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) Para generar una variable Poisson, vamos a usar información sobre una estructura mas compleja, el proceso de Poisson. Recordemos que En un proceso de Poisson homogéneo de parámetro λ, los tiempos de llegada entre eventos son v. a. exponenciales de media 1. λ el número de eventos en un intervalo de tiempo de longitud t es una v. a. Poisson de media λ t. N(1) es una v. a. Poisson de media λ. X 1 X 2 X 3 X n X n N(1) = max{n X 1 + X X n 1}

24 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) Entonces, toda variable Poisson X de parámetro λ puede pensarse como la realización N(1) de un proceso de Poisson de media λ. X 1 X 2 X 3 X n X n N(1) = max{n X 1 + X X n 1}

25 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) Empleando v.a. uniformes para generar las exponenciales, tenemos que N(1) = max{n X 1 + X X n 1} = max{n 1 λ (log(u 1) + log(u 2 ) + + log(u n )) 1} = max{n 1 λ (log(u 1 U 2 U n )) 1} = max{n log (U 1 U 2 U n ) λ} = max{n U 1 U 2 U n e λ } N(1) = min{n U 1 U 2 U n < e λ } 1

26 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) Algorithm 8: Transformada Inversa Generar U 1 U(0, 1); if U 1 < e λ then X 0 y terminar. end Generar U 2 U(0, 1) if U 1.U 2 < e λ then X 1 y terminar. end Generar U 3 U(0, 1) if U 1.U 2.U 3 < e λ then X 2 y terminar. end.

27 Generación de una v. a. con distribución Gamma Si X 1,..., X n son v. a. exponenciales independientes, X i E(λ), entonces X = X X n es una v. a. gamma, de parámetros (n, λ). Por lo cual Algorithm 9: X γ(n, λ) F X (x) = P(X 1 + X X n x) Generar U 1,..., U n U(0, 1); X 1 λ log(u 1... U n ) = P( 1 λ (log(u 1 U 2 U n )) x) = P( 1 λ (log(u 1 U 2 U n )) x}

28 Generación de una v. a. con distribución Gamma Algorithm 10: Algoritmo: X γ(n, λ) Generar U 1,..., U n U(0, 1); X 1 λ log(u 1... U n ) Emplea n uniformes. Calcula un único logaritmo. Para generar n exponenciales independientes, hacen falta generar n uniformes y calcular n logaritmos.

29 Generación de exponenciales a partir de una distribución gamma Teorema Si X, Y E(λ), e independientes, entonces f X X+Y (x t) = 1 t I (0,t)(x), es decir, X condicional a X + Y = t es uniforme en (0, t). Para generar X, Y exponenciales independientes, de parámetro λ podemos aplicar el siguiente algoritmo: Algorithm 11: X, Y E(λ) Generar U 1, U 2 U(0, 1); t 1 λ log(u 1 U 2 ); Generar U 3 ; X t U 3 ; Y t X Calcula un único logaritmo. Emplea 1 uniforme adicional.

30 Generación de exponenciales a partir de una distribución gamma Para generar n exponenciales, se puede extender el método anterior generando una v. a. gamma, de parámetros (n, λ), n 1 v. a. uniformes, adicionales. Algorithm 12: Generar U 1,..., U n U(0, 1); t 1 λ log(u 1 U n ); Generar V 1,..., V n 1 y ordenarlos de menor a mayor; X 1 t V 1 ; X 2 t (V 2 V 1 );..; X n 1 t (V n 1 V n 2 ); X n t t V n 1

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