Generación de variables aleatorias discretas Método de aceptación y rechazo Método de composición Método de la urna Método de tablas

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Enrique Fernández Soler
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1 Generación de variables aleatorias discretas Método de aceptación y rechazo Método de composición Método de la urna Método de tablas Georgina Flesia FaMAF 11 de abril, 2013

2 Método de Aceptación y Rechazo Se desea simular una v. a. X discreta, con probabilidad de masa p j = P(X = j), j = 0, 1, 2,.... Hipótesis: Se conoce un método eficiente para generar una v.a. Y, con probabilidad de masa q j = P(Y = j), j = 0, 1, 2,..., que verifica Si pj 0 entonces q j 0. Existe una constante c (c > 1) tal que p j q j c para todo j tal que p j > 0

3 Método de Aceptación y Rechazo Generar Y Generar U 1 U Rechaza p Y cq Y Acepta

4 Método de Aceptación y Rechazo Algorithm 1: Método de aceptación y rechazo repeat Simular Y, con probabilidad de masa q Y ; Generar U U(0, 1) until U < p Y /cq Y ; X Y Teorema El algoritmo de aceptación y rechazo genera una variable aleatoria X a valores enteros no negativos tal que P(X = j) = p j, j = 0, 1,.... Además, el número de iteraciones requeridas para obtener X es una v.a. geométrica con media c.

5 Demostración Sea X el valor generado por el algoritmo 1. Quiero ver que. Observemos que P(X = j) = p j (X = j) si y sólo si (Y = j) y el algoritmo lo acepta en alguna iteración: P(X = j) = k 1 P(j es aceptado en la iteración k) (j es aceptado en la iteración k ) significa que hay k iteraciones donde 1. en las k 1 primeras el algoritmo rechaza 2. y en la ultima, la k-esima, Y genera j y el algoritmo lo acepta

6 P(j aceptado en la iteración k) = P( algoritmo rechaza k 1 veces ) P((Y = j) j es aceptado en la k) por la independencia de las iteraciones = P( algoritmo rechaza) k 1 P((Y = j) j es aceptado)

7 En una iteración fija Probabilidad de que el algoritmo acepte el valor j P((Y = j) j es aceptado) = P(j es aceptado (Y = j))p(y = j) = p j cq j = p j c Probabilidad de que el algoritmo acepte en una iteración q j P( el algoritmo acepte) = j P((Y = j) j es aceptado) = j p j c = 1 c P( el algoritmo rechace) = 1 1 c G es la variable que mira el número de iteraciones necesarias, entonces G es geométrica de parámetro 1/c.

8 P(X = j) P(X = j) = P(j sea aceptado en alguna iteración) = P(j sea aceptado en la iteración k) = = k=1 P( el algoritmo rechaza) k 1 P((Y = j) j es aceptado) k=1 k=1 = p j ( 1 1 ) k 1 p j c c

9 Ejemplo: Método de rechazo Ejemplo Generar una v.a. X con valores en {1, 2,..., 10} y probabilidades 0.11, 0.12, 0.09, 0.08, 0.12, 0.10, 0.09, 0.09, 0.10, 0.10 Método de la transformada inversa: implica una media (mínima) de 5,04 iteraciones. Método de aceptación y rechazo: c = 1.2. La media de iteraciones es 1,2.

10 Método de Composición Se tienen métodos eficientes para generar valores de v. a. X 1 y X 2, con funciones de probabilidad de masa X 1 :{p j j = 0, 1,... } X 2 : {q j j = 0, 1,....} El método de composición permite generar una v.a. X con función de probabilidad de masa P(X = j) = αp j + (1 α)q j j = 0, 1,..., 0 < α < 1 X = { X 1 X 2 con probabilidad α con probabilidad 1 α

11 Método de Composición Algorithm 2: Algoritmo: Método de composición para dos v.a. Generar U U(0, 1); if U < α then X X 1 else X X 2 end P(X = j) = P(U < α, X 1 = j) + P(α < U < 1, X 2 = j) = P(U < α) P(X 1 = j) + P(α < U < 1) P(X 2 = j) = α p j + (1 α) q j

12 Método de composición Ejemplo Generar X tal que p j = P(X = j) = { 0.05 para j = 1, 2, 3, 4, para j = 6, 7, 8, 9, 10 (0.05) 5=0.25 (0.15) 5=0.75 Algorithm 3: Generar U U(0, 1); if U <0.75 then Generar V U(0, 1); X 5V + 6 else Generar V U(0, 1); X 5V + 1 end

13 Método de composición Ejemplo Generar X tal que p j = P(X = j) = { 0.05 para j = 1, 2, 3, 4, para j = 6, 7, 8, 9, 10 (0.05) 10=0.5 (0.10) 5=0.5 Algorithm 4: Otra solución Generar U U(0, 1); if U <0.5 then Generar V U(0, 1); X 10V + 1 else Generar V U(0, 1); X 5V + 6 end

14 Método de Aceptación y Rechazo Algunos casos particulares: Si Y U[1, n]. Si X es condicional a Y n. c = max j {n p j } c = 1/P(Y n)

15 Algorithm 5: ] Y uniforme en [1,n] repeat Generar V U(0, 1); Y n V Generar U U(0, 1) until U < n p Y /c; X Y Algorithm 6: P(X = j) = P(Y = j Y n) repeat Simular Y until Y n; X Y

16 Método de la transformada inversa X : {x 0, x 1,... }, con P(X = x i ) = p i. Algorithm 7: Transformada Inversa F p 0, i 0; Generar U U(0, 1); while U > F do i i + 1; F F + p i ; end X x i El algoritmo recorre desde un valor en adelante. Para una v.a. discreta en general, realiza muchas búsquedas. Veamos algunas alternativas.

17 Método de la Urna X toma un número finito de valores: {x 1, x 2,..., x n } Cada p i = k i 10 q, con k i entero y q fijo. Esto es: n k i = 10 q i=1 q: es el número máximo de dígitos decimales. v: un vector de tamaño 10 q que contiene k i veces cada elemento x i. v = x 1... x }{{} 1 x 2... x 2... x }{{} n... x }{{ n } k 1 k n k 2 Algorithm 8: Algoritmo: Variante A Generar U U(0, 1); J 10 q U + 1; X v J

18 Método de la Urna Ejemplo X toma valores x 1 = 8, x 2 = 9, x 3 = 10 y x 4 = 11, con probabilidades p 1 = 0.2, p 2 = 0.1, p 3 = 0.4 y p 4 = 0.3. q = 1 p 1 = , p 2 = , p 3 = , p 4 = v = U = J = 4 X 10

19 Método de la Urna Por qué funciona? P(X = j) = P(k k j 1 < 10 q U k k j 1 + k j ) = k j 10 q = p j Desventaja: Necesita 10 q lugares de almacenamiento. Advertencia: Si se redondean los datos para utilizar un q más chico, recordar que k i debe resultar 1.

20 Método de la Tabla Marsaglia (1963) propone la siguiente mejora el método de la urna. Se utiliza un vector v k, para cada posición decimal: k = 1, 2,..., q. En v k se almacena x i tantas veces como indique su posición decimal k-ésima. Se calcula d k la probabilidad de ocurrencia del dígito de orden k: d k = suma de los dígitos de orden k en las probabilidades 10 k

21 Método de la Tabla Ejemplo Sea X con distribución p(1) = 0.15, p(2) = 0.20, p(3) = 0.43, p(4) = 0.22, v = m = 9 w = n = 10 d 1 = = 0.9 d 2 = = 0.1

22 Método de la tabla m = 9 n = 10 d 1 = 0.9 d 2 = 0.1 Algorithm 10: Método de la tabla (Ejemplo) Input: v, w, m, n Generar U U(0, 1); if U < 0.9 then Generar V U(0, 1); J mv ; X v J else Generar V U(0, 1); J nv ; X w J end

23 Método de la tabla Por qué funciona el algoritmo? P(X = 3) = P(X = 3 elegir decenas)p(elegir decenas) + P(X = 3 elegir centenas)p(elegir centenas) = = 0.43 Ventaja sobre el anterior: mucho menor costo de almacenamiento. (19 lugares en lugar de 100). Desventaja: "Mayor" tiempo de ejecución.

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