6. Ortogonalidad. Universidad de Chile Conjuntos ortogonales y ortonormales. Ingeniería Matemática SEMANA 12: ORTOGONALIDAD

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1 FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 7- SEMANA : ORTOGONALIDAD 6 Ortogonalidad 6 Conjuntos ortogonales y ortonormales Recordemos que la proyección de u sobre v está definida por w = u,v v,v v Este vector w es el que está más cerca de u en el espacio {v} Es decir mín u λv = u w λ Ê Notaremos por u v si u, v =, es decir si u y v son ortogonales Definición 6 (Conjunto ortogonal/ortonormal) Un conjunto {v,, v k } de Ê n se dice ortogonal si v i, v j = i j Si además v i = v i, v i =, diremos que el conjunto es ortonormal En el caso en que {v,,v k } es además base de un subespacio vectorial W, diremos que se trata de una base ortonormal de W Ejemplo: La base canónica de Ê n es una base ortonormal Veamos una propiedad útil de los conjuntos ortogonales: u v Conjunto ortogonal/ortonormal Base ortogonal/ortonormal Proposición 6 Sea {v,, v k } Ê n \ {} ortogonal, entonces {v,, v k } es li Demostración Sea k i= α iv i una combinación lineal nula de los elementos de {v,, v k } Sea j {,, k}, luego por propiedades del producto interno: α i v i, v j = α i v i, v j = i= Pero dado que el conjunto es ortogonal, luego v i, v j = para i j, de manera que i= α j v j, v j = α j v j = Y como v j, se deduce que α j = Como este procedimiento es válido para todo j {,, k}, se concluye que {v,, v k } es li Ahora, en el caso de conjuntos ortonormales, hay propiedades importantes que motivan su búsqueda Proposición 6 Sea W un subespacio vectorial de Ê n y {u,, u k } una base ortonormal de W, entonces: Si x W, x = x, u i u i i= 9

2 Si x Ê n y definimos z = x, u i u i W, i= entonces (x z) w, w W Y en particular d(x, z) = mín w W d(x, w), de hecho w W \ {z}, d(x, z) < d(x, w) Demostración Como {u,,u k } es una base de W y x W, luego x = α i u i Tomemos j {,, k} y calculemos el producto interno entre x y u j : i= x, u j = α i u i, u j = i= α i u i, u j i= Como el conjunto {u,,u k } es ortogonal, se tiene que u i, u j =, i j, de donde x, u j = α j u j, u j = α i Repitiendo este procedimiento para todo j {,,k}, se concluye que α j = x, u j x = x, u i u i Sea x Ê n, z = k i= x, u i u i y w W, veamos: x z, w = x, w z, w = x, w x, u i u i, i= i= w, u j u j, la última igualdad gracias a que w W Así, usando las propiedades del producto interno: x z, w = x, w i= j= j= x, u i w, u j u i, u j

3 y como {u,, u k } es ortonormal, u i, u j =, i j y x z, w = x, w = x, w = x, w x, u i w, u i u i, u i i= x, u i w, u i i= x, w, u i u i = i= } {{ } w Para probar que d(x, z) = mín w W d(x, w), sea w W distinto de z, luego por el Teorema de Pitágoras en Ê n, probado en el Ejercicio 4: Pero como x z >, luego De esta manera x z + x z = x w x z < x w w W, d(x, z) = x z < x w = d(x, w), de donde se concluye 6 Proyecciones Ortogonales La Proposición 6 motiva la definición proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial de Ê n Asumiremos por ahora el siguiente resultado, el cual demostraremos en la Sección 64, que asegura la existencia de una base ortonormal de cualquier subespacio vectorial de Ê n Proposición 63 Todo subespacio vectorial de Ê n posee una base ortonormal Definimos entonces: Definición 6 (Proyección ortogonal sobre un sev) Sea W un subespacio vectorial Ê n y {u,,u k } una base ortonormal de W Definimos la proyección ortogonal sobre W como la función Proyección ortogonal P : Ê n x W P(x) = k x, u i u i W i=

4 Observación: Notemos que esta definición es correcta, es decir que P no depende de la base ortonormal considerada y que es función Gracias a la Proposición 6, sabemos que independiente de la base ortonormal considerada para definirla, la proyección es aquella que minimiza la distancia de x a W Así, si hubiese dos proyecciones z, z, asociadas a bases distintas y fuesen distintas, luego: d(x, z ) < d(x, z ), lo cual contradice la propiedad que satisface z De la misma manera se prueba que P es función Veamos ahora las propiedades de la proyección ortogonal: Proposición 64 Sea W un subespacio vectorial de Ê n y P su proyección ortogonal asociada, entonces: P es una transformación lineal x Ê n, w W, (x P(x)) w 3 d(x, P(x)) = mín w W d(x, w) Demostración y 3 se deducen de la Proposición 6 La demostración de queda de ejercicio 63 Subespacio Ortogonal Definición 63 (Subespacio ortogonal) Sea W un subespacio de Ê n definamos el ortogonal de W como: Ejercicio Subespacio ortogonal W W = {u Ê n w W w, u = } Proposición 65 (i) W es un subespacio de Ê n (ii) Ê n = W W Ê n = W W (iii) dim(w ) = n dim(w) Demostración (i) Sea u, v W y λ Ê, debemos probar que λu + v W Sea w W: w, λu + v = λ w, u + w, v = lo que es válido para todo w W Luego λu + v W por lo tanto W es un subespacio vectorial de Ê n

5 (ii) Es claro que W + W Ê n Para la otra inclusión, dado x Ê n, basta notar que x = P(x) + (x P(x)) En donde P es la proyección ortogonal sobre W Así, P(x) W y x P(x) W (gracias a la Proposición 64), de donde x W + W Nos basta entonces probar que W W = {} En efecto si x W W, en particular es ortogonal a sí mismo, es decir x, x =, de donde x = Se concluye entonces que Ê n = W W (iii) Se deduce directamente de (ii) 64 Método de Gram-Schmidt El objetivo de esta parte es asociar de forma canónica a un conjunto dado de Ê n, una base ortonormal del subespacio generado por él Este método es conocido con el nombre de Método de Gram-Schimdt Probaremos el siguiente teorema: Teorema 6 (Gram-Schmidt) Dado un conjunto {v,, v m } Ê n, existe un conjunto ortonormal {u,,u k } tal que {v,, v m } = {u,, u k } Demostración La demostración de este teorema es precisamente el método Gram-Schmidt, que entrega un procedimiento algorítmico para construir el conjunto buscado Sea entonces {v,,v m } un conjunto de vectores y definimos el conjunto {u,, u k } mediante el Algoritmo Método Gram-Schimdt Algoritmo Método Gram-Schmidt : Definir w = v y u = w w : j = 3: for i {,,m} do 4: Definir w j = v i j v i, u l u l l= 5: Si w j = : Continuar a la iteración i + (v i no es considerado) 6: Definir u j = wj w j 7: j = j + 8: end for Probemos que esta definición del {u,, u k } cumple lo pedido Lo haremos por inducción en m Caso base Para m =, si v = luego w = y el algoritmo termina sin generar vectores u j Esto es consistente con que la única base de {} es el conjunto vacío 3

6 Si v, por ende w, se tiene el resultado ya que u = v v, que es claramente de norma y además, como es ponderación de v, se tiene que {u } = {v } Paso inductivo Supongamos que dado el conjunto {v,, v m }, el conjunto {u,,u k } es ortonormal y tal que Con k = dim( {v,, v m } ) Veamos los dos casos posibles: Si w k =, se tiene que v m = k ende {v,, v m } = {u,, u k } l= v m, u l u l, de donde v k {u,, u k } y por {v,,v m } = {u,,u k } Y la base ortonormal generada es {u,, u k } Ahora si w k, según el algoritmo, u k estará definido por: ( ) u k = w k w k = k v m v m, u l u l w k Veamos entonces, para cualquier i {,,k } l= ( ) k u k, u i = v m v m, u l u l, u i w k l= ( ) = k v k, u i v m, u l u l, u i w k y por hipótesis de inducción, l i, u l, u i = y u i, u i =, luego l= u k, u i = w k ( v m, u i v m, u i ) = Es decir, el conjunto {u,, u k } es ortogonal, y como es claro que i {,,k} u i = (ver línea 6 del Algoritmo ), es además ortonormal Ahora, por construcción de u k se tiene k v m = w k u k + v m, u l u l l= 4

7 es decir, v m es combinación lineal de {u,,u k }, lo que equivale a v m {u,, u k } Así, gracias a la hipótesis inductiva, se tiene que {v,, v m } {u,, u k } (6) Por otra parte, u k es combinación lineal de v m y u,, u k, ya que u k = k w k v v m, u l m w k u l l= Pero gracias a (6), existen α,,α m Ê tales que k {v,,v m } y luego Obteniendo lo buscado l= {u,, u k } {v,, v m } Luego, por Principio de Inducción, se tiene el teorema v m,u l w k u l = m α l u l Así u k l= Observación: Notemos que como corolario del Teorema 6, se obtiene la Proposición 63 Además, el Teorema 6 puede ser aplicado en particular a una base {v,,v n } de Ê n Ejemplo:,,, en Ê3 u = v / v, v, como v, v = se tiene u = w =, = w, w = u = w = w =,, = = 5

8 w =, por ende ignoramos ( w =, = ) y redefinimos w Como w, w = =, luego, = u = = 65 Producto Hermítico Ahora, extendemos el producto interno de, : Ê n Ê n Ê a, H : n n, de la siguiente forma Definición 64 (Producto Hermítico) Dados u = u, v H = n u j v j j= ( u ) ( v ), v = n, u n v n Producto Hermítico, u, v H Ejercicio Ejercicio 6: Probar que el producto hermítico satisface: λ, u, v, w n u, v H = v, u H λu + v, w H = λ u, w H + v, w H 3 u, u H Ê, más aún u, u H y u, u H = u = De y, se deduce que u, λv + w H = λ u, v H + u, w H Observación: Los conceptos de ortogonalidad, proyección ortogonal, subespacio ortogonal y el método de Gram-Schmidt, pueden desarrollarse también en n, como espacio vectorial sobre 6