Álgebra Lineal Ivan D. Molina N. Universidad del Norte Enero del 2016 Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

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1 Álgebra Lineal Ivan D. Molina N. Universidad del Norte Enero del 2016 Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

2 1 Subespacios y combinaciones lineales 2 Dependencia e independencia lineal 3 Bases 4 Norma Vectorial, Ortogonalidad Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

3 Sistemas homogéneos Dada la ecuación lineal a x = b, la ecuación homogénea asociada es: (1) A 1 x = b 1 (2) A 2 x = b 2.. (i) A i x = b i.. (m) A m x = b m a x = 0 Cuyo sistema asociado es (1) A 1 x = 0 (2) A 2 x = 0.. (i) A i x = 0.. (m) A m x = 0 Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

4 Ejemplo Dada la ecuación la lineal x + 2y 3z = 5 en R 3. Su conjunto solución es S = {(5 2t + 3s,t,s) t,s R} por lo tanto cada elemento es de la forma (5 2t + 3s,t,s) = (5,0,0) +( 2t + 3s,t,s) = (5,0,0) +( 2t,t,0) +(3s,0,s) = (5,0,0) +t( 2,1,0) +s(3,0,1) Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

5 v p = (5,0,0) v H = ( 2t + 3s,t,s) = t( 2,1,0) +s(3,0,1) Toda solución del sistema es la suma de la solución particular v p con una solución v H de la ecuación homogénea asociada. v = v p +v H Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

6 Subespacios y combinaciones lineales Denición Sean m N, v,v 1,v 2,...,v m R n, H R n 1 v es una combinación lineal de v 1,v 2,...,v m si y solo si existen escalares α 1,α 2,...,α m R tales que 2 H es cerrado (en R n ) si y solo si: α 1 v 1 + α 2 v α m v m = v ( u 1,u 2 H) (u 1 +u 2 H) ( α R,u H) (αu H) Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

7 Denición 3 H es un subespacio de R n si y solo si es no vació y cerrado. 4 Si H es un subespacio de R n, entonces v 1,v 2,...,v m H generan a H si y solo si todo elemento de H es combinación lineal de v 1,v 2,...,v m Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

8 Teorema Consideremos la ecuación lineal a x = b y la correspondiente homogénea a x = 0. Sean S y S H los respectivos conjuntos de soluciones. Entonces: 1 S H es un subespacio de R n. 2 Si a x = b es consistente y v p es una solución cualquiera, entonces S = {v p +v H v H S H } Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

9 Corolario El conjunto solución de un sistema homogéneo en R n es un subespacio de R n Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

10 Corolario Si un sistema lineal homogéneo sobre el campo real. el numero de variables es mayor que el numero de ecuaciones, el sistema tiene innitas soluciones. Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

11 Dependencia e independencia lineal Dados vectores cualesquiera v 1,v 2,...,v m R n, siempre es posible escribir el vector nulo 0 R n como una combinación lineal de los m vectores dados. En efecto, tenemos la combinación lineal nula trivial 0v 1 + 0v v m = 0 R n = (0,0,...,0) Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

12 Si tenemos v 1 = (1, 1,4),v 2 = (2, 1,9).v 3 = (3, 3,13) y v = (1,0,4). Se puede ver que v = 2v 1 + 1v 2 +( 1)v 3 entonces v es combinación lineal de v 1,v 2,v 3 por lo tanto 2v 1 + 1v 2 +( 1)v 3 +( 1)v = 0 R n es una combinación lineal nula no trivial de los 4 vectores. Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

13 Denición Sea S R n. S es un conjunto linealmente dependiente (o de vectores linealmente dependientes), abreviado l.d, si y solo si existe un numero nito de vectores distintos v 1,v 2,...,v m S y escalares α 1,α 2,...,α m, no todos ceros, tales que α 1 v 1 + α 2 v α m v m = 0 R n. El conjunto S es linealmente independiente, abreviado l.i, si y solo si no es linealmente dependiente. Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

14 Corolario Sea S = {v 1,v 2,...,v k } un conjunto de k vectores distintos en R n, k N. Si k > n, S es l.d, por lo tanto si S es linealmente independiente entonces k n Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

15 Las siguientes armaciones son ciertas: 1. Si S =, entonces S es l.i. 2. Si 0 R n S, entonces S es l.d. 3. Si S es l.d, entonces todo superconjunto de S es l.d. 4. Si S es l.i, entonces todo subconjunto de S es l.i. 5. Si S tiene mas de dos elementos distintos, entonces S es l.d si y solo si existe al menos un vector v S que es combinación lineal de elementos de S distintos de v Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

16 Base Denición Sea S un subespacio de R n, un conjunto de vectores l.i, generadores de S, lo llamaremos Base. Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

17 Las siguientes armaciones son ciertas: 1. n vectores l.i. de R n forman una base para R n 2. Si B es una base de un subespacio de R n, entonces el numero de elementos de B es menor o igual a n Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

18 Norma Vectorial, Ortogonalidad Denición Sea v = (v 1,v 2,...,v n ) R n, la norma de v, notada v, es el real no negativo n v = v v = k=1 v 2 k Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

19 Teorema Sean v,w R n y α R, entonces: 1 v 0. Mas aún v = 0, si y solo si, v = (0,0,...,0) 2 αv = α v 3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz: 4 Desigualdad triangular: v w v w v +w v + w Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

20 Para todo par de vectores v,w, existe un angulo único θ [0,π], tal que cos(θ) = v w v w Si v w = 0 entonces θ = π. Entonces los vectores v,w (no nulos) son 2 perpendiculares. Si v w = 0 decimos que v,w son ortogonales. Si v y w son ortogonales, escribiremos v w Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

21 Denición Si S es un subconjunto no vació de R n, el conjunto S = {v R n w S : v w} es un subespacio de R n y es denominado complemento ortogonal de S Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

22 Denición Un vector unitario es un vector de norma 1. Si v 0 R n el vector unitario direccional de v como entonces denimos U v = 1 v v U v se dene como la dirección del vector v Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

23 Denición Dos vectores no nulos v,w R n son paralelos si y solo si U v = U w o U v = U w Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

24 Denición Un conjunto S R n es un conjunto ortogonal si y solo si, para todo par de vectores v,w S con v w se tiene v w. S es un conjunto ortonormal si y solo si es un conjunto ortogonal de vectores unitarios Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

25 Ejercicio Demuestre que dos vectores no nulos son paralelos si y sólo si son múltiplos escalares no nulos el uno del otro. Ejercicio Sea S un subconjunto no vació de V = R n, denimos S = {v V ( w S)(v w = 0)} Demuestre que S es un subespacio de V (S es denominado el complemento ortogonal de S) Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

26 Ejercicio Determine S 1 S = R 2 2 S = {(0,0)} 3 S = {(1,2)} 4 S = {(1,0),(0,1)} Ivan D. Molina N. (Universidad del Norte) Álgebra Lineal Enero del / 26

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