Matemática 2 MAT022. Clase 7 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. El espacio euclidiano R n

Transcripción

1 Matemática MAT0 Clase 7 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 /5

2 Tabla de Contenidos El espacio euclidiano R n Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 /5

3 Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano entre A y B como el conjunto: A B = { (a, b) : a A b B }, donde (a, b) es el par ordenado definido como: (a, b) = { {a}, {a, b} }. Definición Sea n un número natural. Se define el espacio euclidiano n-dimensional como el conjunto: R n = R R R (n factores) = { (x, x,..., x n ) : x i R, i =,,..., n }. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 3/5

4 El elemento x = (x, x,..., x n ) R n se llama n-tupla de i- ésima coordenada x i R, con i =,,..., n. Los elementos x R n son llamados vectores. También se denotan como x. Definición Sean x = (x, x,..., x n ) e y = (y, y,..., y n ) en R n y α R. Sobre el espacio euclidiano R n se definen las siguientes operaciones: Igualdad de vectores: x = y x i = y i i =,..., n. Suma de vectores: x + y = (x + y, x + y,..., x n + y n ). 3 Producto por escalar: α x = (αx, αx,..., αx n ). Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 4/5

5 La suma de vectores en R n posee las siguientes propiedades: Propiedades Clausura: x, y R n = x + y R n. Conmutatividad: x + y = y + x x, y R n. 3 Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z R n. 4 Existencia de neutro aditivo: considere: 0 = (0, 0,..., 0) R n. Se cumple que: x + 0 = 0 + x = x. 5 Existencia de inversos aditivos: para x = (x, x,..., x n ), considerar ( x) = ( x, x,..., x n ) R n. Se cumple: x + ( x) = ( x) + x = 0. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 5/5

6 El producto por escalar posee las siguientes propiedades: Propiedades α R x R n = α x R n. x = x x R n. 3 α (β x) = (αβ) x α, β R, x R n. 4 α (x + y) = α x + α y α R, x, y R n. 5 (α + β) x = α x + β x α, β R, x R n. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 6/5

7 Definición Sean x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) R n. Se define el producto punto o producto interno entre (los vectores) x e y como: x y = n x i y i. i= también se puede denotar con el símbolo: x, y. es una función de dos variables: definida por (x, y) x, y., : R n R n R Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 7/5

8 posee las siguientes propiedades: Propiedades Sean x, y y z en R n y α, β escalares. Entonces: Definido positivo: x x 0; x x = 0 x = 0. Simetría: x y = y x. 3 Distributividad: x (y + z) = x y + x z. 4 (αx) y = α(x y). 5 Bilinealidad: (αx + y) z = α(x z) + y z. x (βy + z) = β(x y) + x z. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 8/5

9 Definición Sea x = (x, x,..., x n ) R n. Se define la norma de x como el número real: ( n x = x, x = i= x i ) /. La norma de x mide la magnitud del vector x o la distancia entre el punto que representa y el origen. La distancia entre dos vectores x e y es definida por d(x, y) = x y. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 9/5

10 La norma posee las siguientes propiedades: Propiedades Sean x, y R n y α R. Entonces: x 0; x = 0 x = 0. αx = α x. 3 x + y x + y (Desigualdad triangular). 4 x y x y (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos permitirá introducir la noción de ángulo recto (ortogonalidad) sobre el espacio R n. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 0/5

11 Si x e y son vectores en R n no nulos, entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que: x y x, y x y x, y y luego. Por tanto, existe un único ángulo x y θ [0, π] tal que: x, y cos θ = x y. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 /5

12 Definición Sean x, y R n. Se define el ángulo entre los vectores x y y como el único θ [0, π] tal que x y = x y cos θ. Se denota tal ángulo por (x, y) o x, y. Notemos que ( ) x, y (x, y) = arc cos. x y Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 /5

13 Definición Sean x, y R n. Diremos que: x e y son ortogonales o perpendiculares si: (x, y) = π/. Se anota: x y. x e y son paralelos si: (x, y) = 0 ó (x, y) = π. Se anota: x y. Teorema Sean x, y R n. Entonces: x y x y = 0. x y λ R tal que y = λx. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 3/5

14 Teorema (Pitágoras sobre R n ) Sean x, y R n tales que x y, entonces: x + y = x + y. Basta desarrollar el término x + y : x + y = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = x + y + (x y). Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 4/5

15 Ejemplo Sean x, y R n. Demuestre que: Ejemplo x, y ( x + y ). Suponga que P y Q son los puntos que corresponden al diámetro de una circunferencia de radio r con centro en C. Suponga, además, que R es un punto exterior a la circunferencia ubicado en la extensión del trazo P Q. Demuestre que: P R QR = CR r. Coordinación do sem. 07 Matemática MAT0 5/5