Rectas, planos e hiperplanos

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1 Semestre -8, Algebra Lineal 37 Rectas, planos e hiperplanos Recta P punto de la recta L, d vector no nulo de R n (vector director de la recta) X punto de la recta L PX paralelo a d (PX = td) PX = OX OP = x p x p = td ecuación vectorial de la recta x = p + t d x 1 x x n = a 1 a a n + t d 1 d d n

2 Semestre -8, Algebra Lineal 38 ecuaciones paramétricas de la recta L x 1 = a 1 + td 1 x = a + td x n = a n + td n ecuaciones simétricas de la recta x 1 a 1 = x a = = x n a n, d i, i = 1,, n d 1 d d n Si d i = para algún i, a cambio de x i a i d i se incluye la ecuación x i = a i Rectas paralelas L 1, vector director d 1 L, vector director d L 1 y L son paralelas (L 1 L ) si y solo si d 1 y d son paralelos (d 1 = λd )

3 Semestre -8, Algebra Lineal 39 Rectas iguales L 1, vector director d 1 L, vector director d L 1 y L son iguales si y solo si d 1 y d son paralelos (d 1 = λd ) existe P L 1 L Rectas ortogonales L 1, vector director d 1 L, vector director d L 1 y L son ortogonales (L 1 L ) si y solo si d 1 y d son ortogonales (d 1 d = )

4 Semestre -8, Algebra Lineal 4 Ejemplos: L 1 : x 1 = + 3t x = 5t x 3 = 1 d 1 = L es la recta que pasa por los puntos P = 1 y Q = d = L 3 : x 5 = y + 1 3, z = 7 d 3 = Son las rectas L 1 y L paralelas? Son las rectas L 1 y L iguales?

5 Semestre -8, Algebra Lineal 41 Son las rectas L 1 y L 3 ortogonales? Encuentre una ecuación de una recta L 4 que pase por el origen y sea ortogonal a L 1

6 Semestre -8, Algebra Lineal 4 Plano P punto del plano c y d vectores no nulos, no paralelos (vectores directores) X punto del plano P PX combinación lineal de c y d (PX = tc + sd para t, s R) Así, PX = OX OP = x p x p = tc + sd ecuación vectorial del plano x = p + t c + s d x 1 x x n = a 1 a a n + t c 1 c c n + s d 1 d d n

7 Semestre -8, Algebra Lineal 43 ecuaciones paramétricas del plano x 1 = a 1 + tc 1 + sd 1 x = a + tc + sd x n = a n + tc + sd n P 1, vectores directores c 1, d 1 P, vectores directores c, d L, vector director d Planos paralelos P 1 y P son paralelos (P 1 P ) si y solo si c 1 y d 1 son combinación lineal de c y d (c 1 = λ 1 c + λ d y d 1 = µ 1 c + µ d )

8 Semestre -8, Algebra Lineal 44 Planos iguales P 1 y P son iguales si y solo si P 1 y P son paralelos y existe P P 1 P Recta y plano paralelos L y P 1 son paralelos (L P 1 ) si y solo si d es combinación lineal de c 1 y d 1 (d = λ 1 c 1 + λ d 1, ) Recta contenida en un plano L está contenida en P 1 (L P 1 ) si y solo si L y P 1 son paralelos y existe P L P 1

9 Semestre -8, Algebra Lineal 45 Recta y plano ortogonales L y P 1 son ortogonales (L P 1 ) si y solo si d es ortogonal a d 1 y a d (d c 1 = y d d 1 = )

10 Semestre -8, Algebra Lineal 46 Ejemplos: L : x 1 = 3t x = t x 3 = t d = P 1 es el plano que pasa por los puntos P = 1 1 1, Q = 4 4 y R = c 1 = d 1 = P : x 1 x x 3 = 3 + t s 5 c = d = Son los planos P 1 y P paralelos?

11 Semestre -8, Algebra Lineal 47 Está la recta L contenida en el plano P? Es la recta L ortogonal al plano P 1? Encuentre la ecuación de un plano P 3 que contenga a la recta L y al origen

12 Semestre -8, Algebra Lineal 48 Hiperplano P un punto n un vector no nulo (vector normal), X punto del hiperplano H PX ortogonal a n (PX n = ) PX = OX OP = x p ecuación vectorial del hiperplano (x p) n = x 1 x x n a 1 a a n l 1 l l n = ecuación general del hiperplano l 1 (x 1 a 1 ) + l (x a ) + + l n (x n a n ) = ó equivalentemente, l 1 x 1 +l x + +l n x n = d con d = l 1 a 1 +l a + +l n a n = n p

13 Semestre -8, Algebra Lineal 49 H 1, vector normal n 1 H, vector normal n Hiperplanos paralelos H 1 y H son paralelos (H 1 H ) si y solo si n 1 y n son paralelos (n 1 = λn ) Hiperplanos ortogonales H 1 y H son ortogonales (H 1 H ) si y solo si n 1 y n son ortogonales (n 1 n = )

14 Semestre -8, Algebra Lineal 5 Ejemplos: H 1 : x 1 x x 3 x = n 1 = H : x 4y 6z + 4w = 5 n = H 3 : x + y + w = n 3 = Son los hiperplanos H 1 y H paralelos?

15 Semestre -8, Algebra Lineal 51 Son los hiperplanos H 1 y H 3 ortogonales? Encuentre la ecuación de un hiperplano H 4 que contenga al origen y sea ortogonal al hiperplano H

16 Semestre -8, Algebra Lineal 5 Producto vectorial en R 3 u = u 1 u u 3 y v = v 1 v v 3 de R 3, u v = u v 3 u 3 v (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v u v 1 Ejemplo: = 3 ( 5) (( 1) 3 ) ( 1) ( 5) = = ( 5) 3 ( 3 ( 1)) ( 5) ( 1) =

17 Semestre -8, Algebra Lineal 53 Propiedades del producto vectorial u, v y w vectores de R 3, λ escalar, entonces: 1 u v = v u Ley anticonmutativa u (v + w) = u v + u w Ley distributiva para la suma por derecha 3 (u + v) w = u w + v w Ley distributiva para la suma por izquierda 4 λ(u v) = (λu) v = u (λv) 5 u = u = 6 u u = 7 u (v w) = (u w)v (u v)w 8 (u v) u = (u v) v = 9 u (v w) = w (u v) Ejemplo: Dados u = 5, v = 15 7 /3, w = Calcule [(u v) (3v u)] (u + v)

18 Semestre -8, Algebra Lineal 54 Magnitud del Producto Vectorial u y v vectores de R 3, θ ángulo entre u y v, entonces 1 u v = u v (u v) [Identidad de Lagrange] u v = u v senθ Demostración u v = u v (u v) = u v u v cos θ = u v (1 cos θ) = u v sen θ Por tanto, u v = u v senθ u y v vectores no nulos de R 3 son paralelos u v = u y v vectores no paralelos de R 3 El área del paralelogramo de lados u y v es u v ( u v = u v senθ)

19 Semestre -8, Algebra Lineal 55 u, v y w vectores no paralelos de R 3 el volumen del paralelepípedo de lados u, v y w es u (v w) Tres vectores u, v y w R 3 son coplanares u (v w) =

20 Semestre -8, Algebra Lineal 56 Ecuación Normal del Plano en R 3 P en R 3 que contiene a P con vectores directores c y d H en R 3 que contiene a P y es ortogonal a n = c d P=H Rectas y Planos en R 3 Recta L, vector director d R 3 Plano P, vector normal n R 3 L P si y solo si d n (d n = ) L P si y solo si d n (d = λn)

21 Semestre -8, Algebra Lineal 57 Ejemplos: L : x 1 x x 3 = t 7, t R P plano que contiene a M = c 1 = y d 1 = con vectores directores 3 Es L paralela a P? Es L ortogonal a P? Encuentre la ecuación de un plano ortogonal a P que pase por el origen

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