Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Transcripción

1 Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

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3 Índice Paralelismo Ángulos Otras figuras d Triángulos Circunferencias

4 Puntos y vectores en real En real R 2, conviene distinguir entre punto y vector: Puntos y vectores Si consideramos R 2 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos, y los escribiremos con letras mayúsculas: P, Q, R,.... Si consideramos R 2 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores, y los escribiremos con letras minúsculas: u, v, w,.... Aparentemente, esta distinción carece de sentido, puesto que tanto un punto P como un vector v se representan por una pareja de números reales, que se llaman sus coordenadas. Notación Al escribir P (2, 1), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1). Análogamente, la notación v(2, 1) hace referencia al vector de coordenadas (2, 1).

5 Puntos y vectores en real Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental. La operación que permite hacer geometría es que tiene sentido trasladar un punto por un vector: Traslación de un punto por un vector Sea P (p 1, p 2) un punto y v(v 1, v 2) un vector. El punto P + v se define como el punto de coordenadas (p 1 + v 1, p 2 + v 2).

6 Puntos y vectores en real Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental. La operación que permite hacer geometría es que tiene sentido trasladar un punto por un vector: Traslación de un punto por un vector Sea P (p 1, p 2) un punto y v(v 1, v 2) un vector. El punto P + v se define como el punto de coordenadas (p 1 + v 1, p 2 + v 2). Ejemplo La traslación del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto de coordenadas: (3, 2).

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9 en Definición Dado un punto P d y un vector no nulo v, la recta que pasa por P con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que: -Existe un λ R tal que: para algún λ R. X = P + λv

10 en Definición Dado un punto P d y un vector no nulo v, la recta que pasa por P con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que: -Existe un λ R tal que: para algún λ R. Conviene recordar: X = P + λv La dirección de una recta es un espacio vectorial de dimensión uno, v. Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una única recta, que denotamos P + Q: P + Q := P + λp Q.

11 en Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1). Dado que P Q = ( 1, 1), la recta definida por P y Q es el conjunto de puntos X(x, y) en que satisfacen: para algún λ R. (x, y) = (1, 0) + λ( 1, 1) La dirección de esta recta P + Q es el espacio vectorial P Q = ( 1, 1).

12 en paramétricas Si P (p 1, p 2) y v(v 1, v 2), la recta que pasa por P con dirección v es el conjunto de puntos X(x, y) que satisfacen: { x = p 1 + λ v 1 y = p 2 + λ v 2 para algún λ R.

13 en paramétricas Si P (p 1, p 2) y v(v 1, v 2), la recta que pasa por P con dirección v es el conjunto de puntos X(x, y) que satisfacen: { x = p 1 + λ v 1 y = p 2 + λ v 2 para algún λ R. Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1). Como P Q = ( 1, 1), las ecuaciones paramétricas de la recta P + Q son: { x = 1 λ y = λ

14 en Ecuación general Toda recta admite una ecuación del tipo: ax + by = c para ciertos números a, b, c R.

15 en Ecuación general Toda recta admite una ecuación del tipo: ax + by = c para ciertos números a, b, c R. Observación A partir de dicha ecuación, podemos obtener directamente: La dirección perpendicular a la recta: (a, b). La dirección de la recta: (b, a).

16 de los planos en el espacio Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1). Hemos calculado en el ejemplo anterior que la dirección de la recta P + Q es el espacio vectorial ( 1, 1). Por tanto la dirección ortogonal es (1, 1) y la ecuación general de la recta es de la forma: x + y = c. Como el punto P (1, 0) está en la recta, su ecuación es: x + y = 1.

17 en Ecuación, dados dos puntos La recta que pasa por un punto P (p 1, p 2) y un punto Q(q 1, q 2) admite la ecuación: P + Q x p1 = y p2. q 1 p 1 q 2 p 2

18 en Ecuación, dados dos puntos La recta que pasa por un punto P (p 1, p 2) y un punto Q(q 1, q 2) admite la ecuación: P + Q x p1 = y p2. q 1 p 1 q 2 p 2 Ejemplo La ecuación de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es: Es decir, la ecuación de tal recta es: x 2 2 = y x + y = 3.

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20 Paralelismo de rectas Definición Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección. Equivalentemente, dos rectas son paralelas si: o bien cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales. cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.

21 Paralelismo de rectas Definición Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección. Equivalentemente, dos rectas son paralelas si: o bien cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales. cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales. Condición de paralelismo Dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a x + b y = c son paralelas si y sólo si: a a = b b.

22 Paralelismo de rectas Ejemplo Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela a la dada y que pasa por dicho punto. Calculemos, a modo de ejemplo, la recta paralela a r 2x y = 5 y que pasa por el punto (1, 3). Si una recta es paralela a r, entonces ha de tener la ecuación: 2x y = c para cierto c R. Si además nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces queda completamente determinada: 2x y = 1.

23 Ángulo entre dos rectas Definición Dadas dos rectas r y s, el ángulo que forman, que escribimos (r, s), se define como el único ángulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatro ángulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la dirección de r y otro vector de la dirección de s.

24 Ángulo entre dos rectas Definición Dadas dos rectas r y s, el ángulo que forman, que escribimos (r, s), se define como el único ángulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatro ángulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la dirección de r y otro vector de la dirección de s. perpendiculares Dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a x + b y = c son Perpendiculares si y sólo si: aa + bb = 0.

25 Ángulos entre de rectas Ejemplo Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta perpendicular a la dada y que pasa por dicho punto. Calculemos, a modo de ejemplo, la recta perpendicular a r 2x y = 5 y que pasa por el punto (1, 3). Si una recta es perpendicular a r, entonces ha de tener la ecuación: x 2y = c para cierto c R. Si además nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces queda completamente determinada: x 2y = 5.

26 Distancia de un punto a una recta Cálculo La distancia de un punto P (p 1, p 2) a la recta r de ecuación ax + by = c vale: dist(p, r) = ap1 + bp2 c a2 + b 2.

27 Distancia de un punto a una recta Cálculo La distancia de un punto P (p 1, p 2) a la recta r de ecuación ax + by = c vale: Ejemplo dist(p, r) = ap1 + bp2 c a2 + b 2. La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuación 2x + 2y = 4 vale: dist(p, r) = ( 4) = = 6 2.

28 Otras figuras d

29 Triángulos Teorema del coseno Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b y c. Se cumple la siguiente relación: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ.

30 Triángulos Teorema del coseno Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b y c. Se cumple la siguiente relación: Teorema del seno c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b y c. Se cumple la siguiente relación: a sen α = b sen β = c sen γ.

31 Circunferencias Definición Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geométrico de los puntos d que distan ρ del punto C.

32 Circunferencias Definición Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geométrico de los puntos d que distan ρ del punto C. Ecuación Si C (c 1, c 2), entonces la ecuación de la circunferencia con centro en C y radio ρ es: (x c 1) 2 + (y c 2) 2 = ρ. Recuérdese también que: La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ. El área encerrada en su interior vale πρ 2.