TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación general de la recta. Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección (llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta. Tipos de ecuaciones de una recta: Nombre Ecuación Necesitamos Ecuación Vectorial Ecuación Paramétrica Ecuación Continua Ecuación General (x, y) = (a 1, a ) + λ (u 1,u ), con λ Por coordenadas, desde la ecuación anterior: Despejando λ anterior: x = a 1+ λu1 con λ y = a + λu e igualando en la ecuación x - a 1 x = a 1+ λu1 λ = u 1 x - a1 y - a y - a u u y = a 1 + λu λ = u Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a un miembro obtenemos: Ax By C 0 Un punto A(a 1, a ) Un vector u = (u 1,u ) Un punto A(a 1, a ) Un vector u = (u 1,u ) Un punto A(a 1, a ) Un vector u = (u 1,u ) Obtenemos el vector director: u = (-B,A). Ecuación Explícita Ecuación Punto-Pendiente Despejando y en la ecuación continua: y = m x +n y - a = m (x - a 1) b - a y - a = (x - a 1) b1- a1 La pendiente m Ordenada en el origen n: P(0, n) Un punto A (a 1, a ) La pendiente m Dos puntos A(a 1, a ) y (b, b ) B 1 Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1

2 Algunas consideraciones sobre la pendiente m. La pendiente m mide la inclinación de la recta. La dirección de una recta es dada por su vector director. m = tg α = Podemos medir la inclinación a partir del argumento del vector. Así pues m = tg α = u u1 u u1 Dados los puntos A(1,1) y B(,3), calcula la ecuación de la recta en todas sus formas. El vector director de la recta es: u = (1, ). Ecuación vectorial: (x, y) = (1, 1) + λ (1, ), con λ. x =1+ λ con λ Ecuación paramétrica: y = 1 + λ Ecuación continua: Ecuación general: x y 1 = 0. Ecuación explícita: y = x 1 Ecuación punto-pendiente: y 1 = (x 1) x -1 y Ejercicio. Pág 15 (,4) Cuando la recta es paralela a uno de los dos ejes coordenados, su ecuaciones son: Recta paralela al eje Y x = k, con m infinita Eje Y: x = 0 Recta paralela al eje X y = k, con m = 0 Eje X: y = 0 Ejercicio. Pág 13 (4,7,8) Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - IES Huarte De San Juan - Linares Rectas paralelas a los ejes coordenados.

3 Paralelismo y perpendicularidad. Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma inclinación. Por tanto, dos rectas r y s son paralelas cuando tienen la misma pendiente y el mismo vector director. Paralelas m s = m r Dos rectas r y s son perpendiculares cuando el ángulo comprendido entre ambas es de 90º. Dada la recta r: Ax + By + C = 0, su vector director: u = (-B, A). El vector perpendicular, o normal, es n = (A, B) Director: u = (-B, A) Normal: n = (A, B) JUSTIFICACIÓN. un = (A,B) (-B, A) = -AB + AB = 0 Ortogonales Dada la recta r: Ax + By + C = 0 y su pendiente m, la pendiente perpendicular a la recta r es: m = -1 m JUSTIFICACIÓN. u A Vector director: u = (-B, A) m= u -B u Vector normal: n = (A,B) m = u -1 A 1 -A m = m -B B B A 1 1 B A m = -1 m Halla una recta paralela y otra perpendicular (o normal) a la recta r: x 3y + = 0 y que pasen por el punto A(-1, 3) Tenemos que el vector director es u = (3,) y que el vector normal es n = (,-3). Paralela: x +1 y - 3 x + = 3y - 9 x - 3y +11 = 0 3 Perpendicular: x +1 y - 3-3x - 3 = y - 6-3x -y + 3 = 0 3x + y - 3 = 0-3 Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 3

4 Ecuación normal de la recta. Sea la recta r: Ax + By + C = 0, su vector normal n = (A, B) y un punto Q(q1, q) de la misma recta. Dado cualquier punto P(x,y) de esa misma recta se verifica que: n PQ = 0. La ecuación normal de la recta se calcula mediante la fórmula: n PQ = 0 (A, B) (x - q 1,y - q ) = 0 Halla la recta perpendicular (o normal) a la recta r: x 3y + = 0 que pasen por el punto A(-1, 3). Nota, el vector director de la recta dada es normal a la que me están pidiendo. Usando la ecuación normal de a recta: v = (3,) (3,) (x + 1,y - 3) = 0 3x 3 y 6 0 3x + y - 3 = 0 P = (-1, 3) Ejercicio. Pág 14 (16, 19) Posiciones relativas de dos rectas. Dadas dos rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A x + B y + C = 0, pueden tener las siguientes posiciones relativas: Coincidentes si verifican: A B C A' B' C' A B C A' B' C ' Secantes si verifican: A B A' B' vectores o por pendientes no puede distinguir entre paralelas o coincidentes. Nota. Para calcular el punto de corte en el caso de las rectas secantes, basta resolver el sistema de ecuaciones. Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 4 IES Huarte De San Juan - Linares Paralelas si verifican: Nota. La comparación por

5 Calcula la posición relativa de las rectas r : x y 3 = 0 y s: x 1 y 4 x + 1 y + Pasamos s a su forma general: s : = x + = 4y + 8 x - 4y - 6 = 0. 4 Son secantes porque se verifica: -1-4 ( 4) x - y - 3 = 0-8x + 4y + 1 = 0 1-6x + 6 = 0 x = 1 x - 4y - 6 = 0 x - 4y - 6 = 0 x = 1 - y - 3 = 0 y - 1. Haz de rectas secantes. Se llama haz de rectas secantes de vértice P(a, b) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. La ecuación del haz es: y -b =m (x -a) El parámetro m puede tomar cualquier valor real. Haz de rectas paralelas. Se llama haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0 al conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a r. La ecuación del haz es: Ax + By + K = 0 El parámetro K puede tomar cualquier valor real. Ejercicio. Pág 17 (3,33) Distancias. La distancia entre dos puntos A(a 1, a ) y B(b 1, b )coincide con el módulo del vector AB. d(a,b) = b - a + b - a 1 1 La distancia entre un punto P(a 1, a ) y una recta r: Ax + By + C = 0 A p 1 + B p + C se halla con la fórmula: d(p, r) =. A + B Si un punto está en una recta la distancia es 0. Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 5

6 La distancia entre dos rectas paralelas: r: Ax + By + C = 0 C - C' s: Ax + By + C = 0 se halla con la fórmula: d(r, s) =. A + B y Si dos rectas son secantes o coincidentes, su distancia es 0. Ángulos. El ángulo entre dos rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A x + B y + C = 0 se puede calcular como en el tema anterior a partir de sus vectores directores. Como queremos el menor ángulo, cambiaremos ligeramente la fórmula, poniendo un valor absoluto. u v AA ' BB' cos α = u v A B A ' B' El ángulo entre dos rectas r: y = mx + n y s: y = m x + n se puede calcular por sus pendientes. Como queremos el menor ángulo pondremos valor absoluto. tg m m' 1 m m' Lugares Geométricos. Dados dos puntos A y B, se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta perpendicular al mismo por su punto medio M. La mediatriz de un segmento de extremos A y B es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y B. Calcula la ecuación de la mediatriz de extremos A(1, -1) y B(,4). Sea P(x, y) un punto genérico de la mediatriz. d(a,p) = d(b,p) (x - 1) + (y + 1) = (x - ) + (y - 4) De donde : x - x y + y + 1 = x - 4x y - 8y + 16 Simplificando : x + 10y - 18 = 0 x + 5y - 9 = 0 es la mediatriz. Ejercicio. Pág 133 (53 54) Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 6 IES Huarte De San Juan - Linares

7 Dadas dos rectas r y s, las bisectrices de dichas rectas son otras dos rectas que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales Las bisectrices de dos rectas constituyen el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y s. Calcula la ecuación de las bisectrices de las rectas r: 6x + 8y -1 = 0 y s: 4x - 3y +3 = 0. Sea P(x, y) un punto genérico de la bisectriz. 6x + 8y - 1 4x - 3y x + 8y - 1 4x - 3y + 3 6x + 8y - 1 4x - 3y + 3 d(p,r) = d(p,s) (-3) x + 8y - 1 4x - 3y x + 40y x - 30y x - 70y + 35 = 0 x - 14y + 7 = 0 30x + 40y x + 30y x + 10y + 5 = 0 14x - y + 5 = 0 Simetrías Ejercicio. Pág 133 (55) El punto simétrico de A respecto a otro punto P, es aquel punto A que verifica que P es el punto medio entre A y A. Halla el punto simétrico de A(, 1) respecto al punto P(3, 5) Sea A (x, y) el punto simétrico de A. Entonces: x 1 y M, P (3,5) x 3 x 6 x 4 A' 4, 9 1 y 5 1 y 10 y 9 Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 7

8 El punto simétrico de A respecto a una recta r (simetría axial) es aquel punto A que verifica que d(a, r) = d(a, r). Pasos: Buscamos una recta perpendicular a la recta r por A. Hallamos P, punto de corte de las dos rectas. Calculamos el punto simétrico de A respecto al punto P. Halla el punto simétrico de A(, 1) respecto de la recta r: x y + 5 = 0. Una recta perpendicular a r sería s: x + y + k = 0. Cambiando A(, 1), obtenemos que k = -5. Buscamos el punto de corte P de ambas rectas. x - y + 5 = 0 x - y + 5 = 0 x + y - 5 = 0 4x + y -10 = 0 5x - 5 = 0 x = 1 ; + y - 5 = 0 y = 3 P es el punto medio entre A y su simétrico. Sea A (x, y) el punto simétrico de A respecto P(1,3). Entonces: x 1 y M, P (1,3) x 1 x x 0 A' 0,5 1 y 3 1 y 6 y 5 REPASO. CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO. Según sus lados: Equilátero: Tres lados iguales. Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida. Escaleno: Tres lados con distinta medida. Según sus ángulos: Rectángulo: Un ángulo recto. Acutángulo: Tres ángulos agudos Obtusángulo: Un ángulo obtuso Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 8

9 Clasificación por sus ángulos de un triángulo, usando el teorema de Pitágoras. Sean a, b y c los tres lados de un triángulo, siendo a el lado de mayor longitud. Entonces: El triángulo es rectángulo si: a = b +c El triángulo es obtusángulo si: a > b +c El triángulo es acutángulo si: a < b + c. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO ORTOCENTRO H: Punto de corte de tres las alturas (recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto). BARICENTRO G: Punto de corte de las tres medianas (recta que une un vértice y el punto medio del lado opuesto). El baricentro es el centro de gravedad del triángulo. La distancia de G al vértice correspondiente es /3 de la longitud de la mediana. a +b + c a +b + c G =, INCENTRO I: Punto de corte de las tres bisectrices de los ángulos del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. CIRCUNCENTRO O. Punto de corte de las tres mediatrices de los lados del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 9

10 EJERCICIOS DEL TEMA Soluciones 1. Dados los puntos A(1,) y B(,-3), calcula la ecuación de la recta que pasa por ellos en todas sus formas.. De una recta r se conoce un punto A(,-3) y un vector director u = ( -1, ). Calcula la ecuación de esta recta en todas las formas. 3. Indica un vector director y un vector normal para la recta r: 3x + 4y 1 = 0 4. Dada la ecuación de la recta r: x = - + λ y = a + 3λ, IR, averigua el valor de a sabiendo que un punto de la recta es (4, 5) 5. Dadas las rectas r : ax + (a - 1) y + 1 = 0 y s : ax + ay - = 0, determina el valor de a para que las rectas sean: a) Paralelas. b) Perpendiculares. 6. Halla una recta paralela y otra perpendicular (o normal) a la recta r: x y + 3 = 0 y que pasen por el punto A(-,3) b) a = - 4 a) a= 1 a= 3 7. Halla el simétrico del punto A(,3) respecto de P(5,4). A (8,5) 8. Calcular el simétrico del punto P(1,1) respecto de la recta r: y = 3x Dados los puntos A(1, 1) y B(3, ) y la recta r: x y + 5 = 0. Halla: a. El simétrico de A respecto B. b. El simétrico de B respecto r. 10. Calcula los vértices del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es x - y = 0, la ecuación del lado AD es 3x + y = 0 y las coordenadas del punto C (3,5). 11. Calcula la posición relativa de las rectas r: -3x + y + 1 = 0 y s: x + 3y 7 = 0. P (4,0) a) A (5, 3) b) B (3, 8) Secantes en P(1,) Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 10

11 1. Comprueba si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes: a) x + y - 3 = 0 x + y + 6 = 0 b) 5x + 3y - 4 = 0 5x + 6y - 15 = 0 c) 3x + 3y - 9 = 0 x + y - 6 = Halla la ecuación de la recta paralela a la recta r: x y 3 0 y que pasa por el punto de intersección de las rectas s: 3x y 10 0 y t: 4x 3y x 17y Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(-1,4) y es: b) Paralela al eje OX. c) Paralela al eje OY. d) Paralela a la bisectriz del primer-tercer cuadrante. e) Paralela a la bisectriz del segundo-cuarto cuadrante. f) Perpendicular a la recta x + 4y 1 = Calcula las coordenadas de los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r : x y 4 0, s : x 3y 1 0, t : 4x y 5 0 A(, 1), B(,3), C(-1, -1) Área: 9 u 16. Dadas las rectas r: x + 4y - 5 = 0 y s: x + y - 1 = 0: a) Halla la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto de intersección de las dos. b) Averigua si hay alguna recta del haz que pase por el origen de coordenadas. 17. Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y s: x + 3y = Calcula k para que las rectas r: kx + y = 1 y s: 4x - 3y = k+1 sean paralelas. Calcula la distancia entre ambas. 19. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x -4y + 1 = 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están sobre las rectas: r: x 3y 4 0 y s: x 3y 1 0. Calcula su área k = 6; k = -4 9/13 u Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 11

12 1. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = x + 3, y = 4x Calcula el ángulo formado por las rectas r : y = -3x + y º s: x - 3y + 4 = Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones: x = t x = 1 - t r: y s: y = 1 + t y = + t 4. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son las rectas AB: x + y 4 = 0, AC: x y = 0, BC: x + y = 0. Calcula los vértices. 5. Dado el triángulo de vértice los puntos A(1, 1), B( 3, 5) y C( 1, ), calcula su área y la ecuación de : Área: a) 11x + 6y + 3 = 0 a. La mediana que parte de B. b) x y 1 = 0 b. La altura que parte de C. 6. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(4,3) y B(-5,7). 7. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(-,3) y B(6,-5). 18x 8y + 49 = 0 x y 3=0 8. La recta r: x + 3y 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Calcula la ecuación de su 6x 4y 5 = 0 mediatriz. 9. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como 8x 6y 7 0 ejes de coordenadas 30. La recta r: 4x - 3y 1 = 0 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0). 31. Las coordenadas de dos vértices consecutivos de un hexágono regular son A(, 4) y B(3, 4+ 3 ). Hallar las coordenadas del Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1 IES Huarte De San Juan - Linares extremo los puntos de corte de la recta 3x + 4y - 1 = 0 con los

13 centro del hexágono, sabiendo que éste se encuentra en la bisectriz del primer cuadrante. 3. Dado el triángulo de vértices A(, 4), B(6, 5) y C(4, 1), halla: a) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C. b) El ortocentro. 33. Dadas las rectas r: 3x + 4y 1 = 0 y s: 4x 3y + = 0, calcular las ecuaciones de las bisectrices. 34. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC. El vértice C está en la recta r: x - 4 y + 3 = 0. Calcular las coordenadas del vértice C. 35. Determina el área del círculo circunscrito al triángulo que con los ejes determina la recta 4x + 3y - 4 = Determina la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(-4,3), cuya dirección es perpendicular a la del vector n (3, ) coordenadas. y la distancia que la separa del origen de a) x y10 0 b) 4x y , 7 7 x 7y + 3 = 0 7x + y + 1 = 0 C(17/, 5) A = 5 3x y +18 = u 37. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices del lado desigual de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice A está en la recta de ecuación x + y - 15 = 0. Calcula las coordenadas de A, la ecuación de la altura correspondiente a dicho vértice y el área del triángulo. Unidad 5 Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 13

14 FÓRMULAS GEOMETRÍA TEMA 5. TEMA 5 - GEOMETRÍA Vectorial Paramétrica Continua General Explícita Punto-pendiente (x, y)=(a, a )+ λ (u,u ), con λ 1 1 x = a 1+ λu1 con λ y = a + λu x - a u y - a u 1 1 Ax By C 0 y =m x +n y -a =m (x -a 1) u = (-B,A) Normal Pendiente m Distancia entre dos puntos Distancia entre punto y recta Distancia entre dos rectas (A,B) (x - q 1,y - q ) = 0 m = tg α = u1 u A p 1 + B p + C b1 - a 1 + b - a d(p, r) =. d(r, s) = A + B d(a,b) = Ángulo entre dos rectas El triángulo es Posiciones relativas de dos rectas uv AA ' BB' Rectángulo si: a = b +c cos α = m m' tg Obtusángulo si: a > b +c u v A B A ' B' 1 m m' Acutángulo si: a < b + c Haz rectas secantes Haz rectas paralelas Baricentro C - C' A + B. y -b =m (x -a) m real Ax + By + K = 0 K real a +b + c a +b + c G =, Ortocentro Baricentro Incentro Cincuncentro Simetría respecto punto Simetría axial Altura: A m perp BC Mediana: A - M BC Bisectrices Mediatrices Unidad 5 Geometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 14