GEOMETRÍA MÉTRICA. Plano afín:

Transcripción

1 Plano afín: Es el plano vectorial al que se le ha dotado de un sistema de referencia compuesto por un origen y una base de dicho espacio vectorial. En el plano afín podemos asignar a cada punto del plano un vector que empieza en el origen del sistema de referencia y que termina en dicho punto y viceversa. Vector que une dos puntos: OB = OA + AB A (a x, a y ) AB = OB - OA AB = (b x,b y ) - (a x,a y ) B (b x, b y ) AB = (b x - a x, b y - a y ) 0 Coordenadas del punto medio de un segmento: m = a + AM AM = 1 AB AB = b - a m = a + 1 AB = a + 1 (b a) = a+ 1 b - 1 a = 1 a + 1 b = 1 (a + b) m = 1 (a + b) (m x, m y ) = 1 [ (a x,a y ) + (b x,b y )] = A (a x,a y ) = [ (a x +b x ) m x = (a x +b x ) a m (m x,m y ), (a y +b y ) ] m B (b x,b y ) b m y = (a y +b y ) 0 Apuntes Página 1

2 Ecuación de la recta: Recta es un subespacio afín de una dimensión Determinación lineal de una recta. Una recta queda determinada cuando se conoce un punto por el que pasa y un vector de la misma dirección que la recta llamado vector director. r (A, u) Ecuación vectorial de la recta: Sea la recta r de determinación lineal r (A, u) A OP = OA+ AP P (x, y) AP u AP = λu 0 OP = OA + λu u (u x, u y ) Ecuaciones paramétricas de la recta: Partimos de la ecuación vectorial y sustituyendo cada vector en función de sus componentes nos queda: (x, y) = ( x o, y o ) + λ ( u x, u y ) x = x o + λ u x y = y o + λ u y Apuntes Página

3 Ecuación en forma continua de la recta: GEOMETRÍA MÉTRICA Partimos de las ecuaciones par amétricas igualamos: x = x o + λ u x λ = (x x o ) u x y = y o + λ u y λ = (y y o ) u y (x x o ) u x = (y y o ) u y Ecuación general o implícita de la recta: Partimos de la ecuación en forma continua y haciendo producto de medios igual a producto de extremos queda: (x x o ) = (y y o ) (x x u x u o ) u y = (y y o ) u x u y x - u y x o = u x y - u x y o y u y x - u x y + u x y o - u y x o = 0 Se cambia u y por A, - u x por B y u x y o - u y x o por C y queda: Ax + By + C = 0 Vector director de la recta en forma implícita u (u x, u y ) - u x = B u x = - B u y = A u (- B, A) Apuntes Página 3

4 Pendiente de una recta: Llamamos inclinación de una recta al ángulo que forma dicha recta con la horizontal. α = inclinación m = pendiente = tag α m = tag α Llamamos pendiente de una recta a la tag de la inclinación. m = tag α = u y u x m = u y u x Si la recta viene en forma implícita o general: m = u y u x = A B = A B m = A B u = (u x u y ) α u y α 0 u x Ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Partimos de la ecuación continua: (x x o ) = (y y o ) u y (x x o ) =(y y u x u y u o ) u y x x x u o = (y y o ) y - y o = m(x - x o ) x Apuntes Página 4

5 Ecuación explicita de la recta: Partimos de la forma punto-pendiente: GEOMETRÍA MÉTRICA y - y o = m(x - x o ) y - y o = mx - mx o y = mx + y o - mx o y o - mx o es igual a n que es la ordenada en el origen: y = mx + n (0, n) n 0 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Sea la recta r que pasa por el punto A (x o,y o ) y por el punto B (x 1, y 1 ): u = AB = (x 1 -x o, y 1 -y o ) (x x 0 ) = (y y 0) (x 1 x 0 ) (y 1 y 0 ) Apuntes Página 5

6 Posiciones relativas entre dos rectas en el plano: Dadas dos ecuaciones de rectas en el plano, pueden representar a dos rectas paralelas, pueden ambas ecuaciones representan a la misma recta o que las dos rectas se corten (secantes): Paralelas ó coincidentes. Para que las dos ecuaciones representen a la misma recta o a rectas paralelas, los vectores directores tienen que ser proporcionales, o sea que sus componentes sean proporcionales. Si cumpliéndose, esto un punto de una, no verifica la ecuación de la otra son paralelas. Misma recta. Si un punto de una recta verifica la ecuación de la otra, las rectas coinciden. Secantes. Si los vectores directores no son proporcionales, la recta se corta y son secantes. El punto de corte es la solución del sistema formado por ambas soluciones. r (A, u) u = λv Son incidentes si A r verifica s y paralelas si A r no verifica s (B, v) u λv Se cortan (secantes); el punto corte es la solución del sistema Ángulo entre rectas que se cortan: El ángulo que forman dos rectas al cortarse es el menor de los ángulos que se forman en dicho corte. Para calcular dicho ángulo utilizaremos el producto escalar pero con la precaución de tomar el valor absoluto para así dar el menor de los ángulos. NO 1 er cuadrante cos rs = u x v x + u y v y u x + u y + v x + v y r u (u x, u y ) s v (v x, v y ) rs = arc cos N Apuntes Página 6

7 Perpendicularidad entre rectas: GEOMETRÍA MÉTRICA Para que dos rectas sean perpendiculares deben serlo sus vectores directores, y para que esto ocurra, su producto escalar tiene que ser 0. r u (u x, u y ) s v (v x, v y ) r s u v u x v x + u y v y = 0 Relación entre pendientes de rectas perpendiculares: m r m s m = u y u x u x v x + u y v y = 0 u x v x = - u y v y m = v y v x v y v x = - u y u x m = - 1 m Vector normal o perpendicular a una recta expresada en forma general: Dada la ecuación de la recta en forma general Ax + By + C = 0, vamos a demostrar que el vector n (A,B) es un vector perpendicular a r llamado vector normal. n (A,B) n r r Ax + By +C = 0 u es vector director de r u = ( -B, A) u n = - B. A + A. B=0 u n luego n r C.Q.D. Apuntes Página 7

8 Puntos importantes en un triángulo: GEOMETRÍA MÉTRICA La altura en un triángulo sobre uno de sus lados es la perpendicular trazada desde el vértice opuesto a dicho lado o a su prolongación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. La mediana de un lado de un triángulo es el segmento que une la mitad de dicho lado con el vértice opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. Al baricentro se le llama G porque es el centro de gravedad del triángulo y goza de la propiedad: AG=GM Apuntes Página 8

9 La bisectriz de un ángulo de un triángulo es la recta que divide a ese ángulo en dos partes iguales. Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro por ser el centro de la circunferencia inscrita: La mediatriz de un lado de un triángulo es la perpendicular trazada por el punto medio de dicho lado. En la mediatriz de un segmento, cualquier punto, equidista de los extremos del segmento. El punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro por ser el centro de la circunferencia circunscrita: Apuntes Página 9

10 Determinación normal de una recta: GEOMETRÍA MÉTRICA Una recta queda determinada cuando se conocen un punto por el que pasa y un vector perpendicular a dicha recta n llamado vector normal. Distancia de un punto a una recta: r (A, n) Sea r una recta y p un punto exterior a ella, se llama distancia del punto P a la recta r, d (P,r), al módulo del vector QP siendo Q el punto de intersección de la recta r con la recta perpendicular a r que pasa por P. Deducción de la distancia de un punto a una recta: D (P,r) = QP QP. n = QP. n cos (QP n ) d (P,r) = QP = (QP.n) n d (P,r) = ( QP.n ) n P (x 0, y 0 ) QP = (x o - x 1, y o - y 1 ) n = (A, B) QP. n = A (x o - x 1 ) + B (y o - y 1 ) n(a, B) r Ax + By + C = 0 d (P,r) = [ A (x 0 x 1 ) + B (y 0 y 1 ) ] (A +B ) Q (x 1, y 1 ) A (x o - x 1 ) + B (y o - y 1 ) = Ax o + By o - Ax 1 - By 1 Q r Q verifica la ecuación de r Ax 1 + By 1 + C = 0 d (P,r) = Ax 1+By 1 +C A +B Apuntes Página 10

11 Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan: Sean dos rectas de ecuaciones r Ax + By + C = 0 y s A x + B y + C = 0, queremos calcular las ecuaciones de las bisectrices de estas dos rectas que se cortan. Sea P (x,y) un punto genérico de la bisectriz: d (P,r) = d (P,s) D = D D = D ó D = - D Ax +By +C A +B = A x+b y+c A +B Ax+By+C A +B = A x+b y+c A +B +/ A A + B A x + A + B B A + B B y + A + B C A + B C = 0 A + B -/ A A + B + A x + A + B B A + B + B y + A + B C A + B + C = 0 A + B s A x + B y + C P (x, y) r Ax + By + C Apuntes Página 11

12 Condición de cuatro puntos para que forme un paralelogramo: Por ser M el punto medio de AC: m x = a x +c x m y = a y +c y Por ser M el punto medio de BD: m x = b x +d x m y = b y +d y Se igualan las dos m x : a x +c x = b x +d x a x + c x = b x + d x Se igualan las dos m y : a y +c y = b y +d y a y + c y = b y + d y A (A x, A y ) B (B x, B y ) M (M x, M y ) D (D x, D y ) C (C x, C y ) Apuntes Página 1

13 Cosenos directores de un vector: Llamamos cosenos directores de un vector al coseno de los ángulos que forma dicho vector con los ejes. v cos α = V x V = V x V x +V y cos β = V y V = V y V x +V y v y β α Ecuación normal de la recta: v x Partimos de la ecuación en forma general y dividimos por el modulo del vector n (A, B), normal o perpendicular, n r r Ax + By + C = 0 n (A,B) n r Dividimos por el módulo de n n = (A + B ) A x + B y + C = 0 (A +B ) (A +B ) (A +B ) d (0,r) = (A +B )) A.0+B.0+C (A +B ) = C (A +B ) Por lo tanto expresada la ecuación de la recta en forma normal, el término independiente en valor absoluto es la distancia desde el origen hasta la recta. Interpretación geométrica de la ecuación general de la recta: cos α = A (A +B ) cos β = B (A +B ) Las coeficientes de la x y de la y en la ecuación normal de la recta son los cosenos directores de un vector n perpendicular a las recta. Apuntes Página 13

14 Apuntes Página 14