Soluciones Ficha 5.1: Geometría Analítica

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1 Soluciones Ficha.: Geometría Analítica. Observa el rombo de la figura y calcula gráficamente: a) AB AD b) AB CD c) DB CA d) OB OC Suponiendo que el origen de coordenadas está en el punto O, calcula analíticamente las componentes de todos los vectores y efectúa las operaciones. AB 3, 4 AD 3, 4 A3, 0 a) AB AD 3,4 3, 4 6,0 CD 3, 4 B 0, 4 b) ABCD 3,4 3, 4 0,0 DB 0,8 C 3, 0 c) DBCA 0,8 6, 0 6,8 CA 6,0 D 0, 4 d OB 0, 4 ) OB OC 0,4 3,0 3,4 OC 3, 0. Los vectores ab, y c los hemos obtenido operando con los vectores x, y y z. Qué operaciones hemos realizado? ipri Matemáticas I

2 b x yz c x yz 3. Halla el vector u tal que, siendo a, 3 y b9, 3 u 3a b 3. u 3a b3,3 9, 3 3,9 3, 6, Expresa el vector a, u, 3 y v9,. como combinación lineal de los vectores auv,, 3 9,,, 3 9, 9 4,9, 3,, 3 4 a u v. De los siguientes conjuntos de vectores di cuáles son base de V :, 0,, 4,, 3,9 a) b) a) Para que dos vectores en el plano formen base, basta con que dichos vectores ni sean paralelos ni proporcionales. 0, 0, forman base de V 4 b) 4, 3,9 no forman base de V Calcula las coordenadas del vector w 3, 4 a), 0,, 4 b),,, respecto de las bases: a) w,0,4 3,4,0,4 3,4,0,4 3 3, 4, 0 4,, 4 4 w, 0, 4 b) w,, 3,4,, 3,4,, 3 3, 4,,, 4 w,, 7. Calcula el producto escalar de los vectores siguientes, sabiendo que sus coordenadas están referidas a la base canónica: Departamento de Matemáticas

3 a) u,, v3, 4 b) u,, v,3 c) u 4,, v 8,3 d) u,, v3,,, 3, a) u v u v b) u v u v,,,3 3 3 u 4,, v 8,3 uv u,, v 3, uv 3 c) d) 8. Halla el ángulo que forman las parejas de vectores: a) u,, v, c) u,, v, 4 u 0,, v, u 3,, v, 3 b) a) u,, v, b) c) d) 0 uv0 arccos arccos090º u v u 0,, v, uv arccos 4º u y v u,, v, 4 uv 3 u = = = y v arccos arccos 36º ', 63'' 4 u 3,, v, 3 uv arccos 30º u 3 = 4= y v d) 9. Calcula el valor del número real x para que los vectores u, y vx, a) Sean ortogonales. b) Formen un ángulo de 60º. c) Sean paralelos. a) u vuv0 x0 x Cipri Matemáticas I 3 :

4 b) c) u v u v x x x x cos60º 4 x4 x 4x 6 x 4x 6x 0 u v x x x x x 0 0. Determina todas las ecuaciones de las rectas: x a) r x3y 0 b) s y 3 c) x y t 3 a) P, (par de números que cumplen la ec. de la recta) r x3y0 d 3, Ecuación vectorial: Ecuación punto-pendiente: xy,, 3, 3 x y b) c) Ecuaciones paramétricas: x 3 y Ecuación general: x3y0 x P, s y 3 d, 3 Ecuación vectorial: xy,,, 3 Ecuaciones paramétricas: x y 3 Ecuación general: 3xy0 x y P, t 3 d 3, Ecuación vectorial: xy,, 3, Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: x y 3 Ecuación explícita: y x 3 3 Ecuación punto-pendiente: 3 x y Ecuación continua: x y 3 Ecuación explícita: y 3x Ecuación punto-pendiente: 3 x y Ecuación continua: Departamento de Matemáticas 4

5 x 3 y Ecuación general: 4 x y0x3y x y 3 Ecuación explícita: 7 y x 3 3. Dado el triángulo de vértices A,, B, y C0, 4, se pide: a) Ecuaciones de las medianas, y como intersección de ellas calcula el baricentro. b) Ecuaciones de las tres alturas, y como intersección de ellas calcula el ortocentro. c) Ecuaciones de las tres mediatrices 3 de los lados, y como intersección de ellas el circuncentro. d) Perímetro de dicho triángulo. a) Mediana correspondiente al vértice A Punto medio de BC,, M Ec. de la recta que pasa por A, con vector director AM 3 7,, x y ma 7 Mediana correspondiente al vértice B Punto medio de CA,, M Ec. de la recta que pasa por B, con vector director 3 BM,, Mediana: recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Altura: recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. 3 Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. Cipri Matemáticas I

6 m B x y Mediana correspondiente al vértice C Punto medio de AB,, M3 Ec. de la recta que pasa por C 0, 4 con vector director CM3 0, 4, x 0 y 4 mc Calculamos el baricentro como intersección de ma, mb y m C. Para ello basta con resolver ma el sistema : mc x y 7 4 xy,, Baricentro 3 3 x0 y4 b) Altura correspondiente al lado AB Es el eje OY, cuya ecuación es x 0. Altura correspondiente al lado BC Ec. de la recta que pasa por B y por C: B, d BC 0,4, BC x y x ymbc A, Ecuación de la altura: y x ma Departamento de Matemáticas 6

7 Altura correspondiente al lado CA Ec. de la recta que pasa por B y por C: C 0, 4 d CA 0, 4, CA x0 y4 x y4mca B, Ecuación de la altura: y x m B Ortocentro como intersección de las alturas: x 0 xy, 0, 0Ortocentro y x c) Mediatriz del lado AB Punto medio de AB,, M Ec. de la recta que pasa por Ay por B: y Mediatriz: x 3 Mediatriz del lado BC Punto medio de BC,, M Ec. de la recta que pasa por B y por C: y x 3 M, 3 Mediatriz: y x m Mediatriz del lado CA Punto medio de CA,, M Ec. de la recta que pasa por C y por A:x y 4 Cipri Matemáticas I 7

8 Mediatriz: 3 M, 3 y x m Circuncentro como intersección de las mediatrices: x 3 xy,,circuncentro y x d) Calculamos las distancias correspondientes: da, B 6 db, C BC 0 Perímetro = 6 dc, A CA ,7 u. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x y x r r a) y 4 b) x 3 s y x 4 s y a) x P 0,0 x y 4 r x y40 y 4 d, s y x 4 x y 4 0 Departamento de Matemáticas 8

9 A ' A' A A B A B B B' r y s son secantes B' A' B' C 4 C' 4 C C ' También se podría haber estudiado la posición relativa de estas rectas, viendo si los vectores directores de las rectas son paralelos o no b) x y r y x mr mr ms r y s son secantes x 3 x y s x3y y xm s y Cipri Matemáticas I 9