2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores equivalentes a NC y otros tres equivalentes a MQ

Transcripción

1 OPERCIONES CON VECTORES 1 La figura CD es un rombo. Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: a) y C b) Q y C c)m y PD d) OC y OD a) y C tienen igual módulo y distinta dirección. b) Q y C tienen iguales dirección y sentido. El módulo de Q es la mitad del módulo de C. c) M y PD tienen iguales módulo, dirección y sentido. Son equivalentes. d) OC y OD tienen distintos módulo y dirección. usca en la figura del ejercicio 1 tres vectores equivalentes a NC y otros tres equivalentes a MQ. Tres vectores equivalentes a NC : N, MO y Q. Tres vectores equivalentes a MQ : O, OD y NP. Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el rombo del ejercicio 1 como la del apartado a): a) CD = CP b) MN =... C c) OC =...O d)n =...C 1 b) MN C c) OC = 1 O d) N 1 = = C 4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el rombo del ejercicio 1, sean verdaderas como la del apartado a): a) M + MN = N b) MN +...C = MC c) M... + OP = OD d) M +... = O b) MN + NC = MC c) M + O P= OQ+ OP= OD d) M + Q = O 1/15

2 5 Observa el rombo de la figura y calcula: a) + C b) O + OC c) O + OD d) + CD e) + D f) D C Expresa los resultados con vectores que tengan su origen y su extremo en los vértices del rombo. a) + C = C b) O + OC = OG = c) O + OD = OE = d) + CD = + = = 0 e) + D = C f) D C = HG HE = EG = 6 Considera el vector w Dibuja en cada uno de estos casos, un vector v que sumado con resultado w. Indica las coordenadas de u, v y w en cada caso. a) b) u dé como c) d) a) v = 4, /15

3 b) v = 7,4 c) v = 11, d) 7 Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y mediante sus coordenadas: a) u + v b) v + 5 w c) u + v 4 w u=,1, v =,, w =, 1 a) v = 15,0 u v,1, + = + ( ) ( 6,) ( 6, 6) ( 1, 4) = + = /15

4 b) v + 5w (, ) ( 15, 5) ( 1, ) =, + 5, 1 = + = c) u + v 4w = (,1) + (, ) 4(, 1) = ( 6,) + ( 6, 6) ( 1, 4) = ( 0,0) = 0 PLICCIONES DE LOS VECTORES, el punto medio del segmento y el punto simétrico de con respecto a. 8 Determina la distancia entre los puntos ( 4,4) y (, ) M = Distancia entre y : d, = 4, 4 = 6, 6 ( ) ; ( ) Punto medio del segmento : d, = = 7 = 6 u M, El punto simétrico de con respecto a es un punto medio del segmento : 4+ x = ; 4 + x = 4; x = 8 8, 8 4+ y = ; 4 + y = 4; y = 8 = M 1,1 x,y tal que es el punto 4/15

5 9 Calcula el perímetro de un triángulo cuyos vértices están situados en los puntos, y C 1,. C ( 1, ) (, ) y x d, = 1 + = 4 = d,c = 1 + = 17 dc, = = 5 Perímetro: p= u ( ) 10 Dados los puntos, y 1, halla el punto medio del segmento y el punto simétrico de respecto de. 1 1 Punto medio de : M,. Punto simétrico de respecto de : 5,8 11 Calcula las coordenadas del punto D para que los vectores y C D sean equivalentes, sabiendo que 1, 0, C1,4. ( ), ( ) y Sea D ( x, y ). = ( 0 ( 1 ), ) = ( 1, 4). CD = ( x 1, y 4) Para que y CD sean equivalentes sus coordenadas han de ser iguales: x 1= 1; x = ( x 1,y 4) = ( 1, 4) D(,0) y 4 = 4; y = 0 1 Divide el segmento de extremos (,) y ( 0, 1) en tres partes iguales. P 1 P El punto P 1 se obtiene como el trasladado del punto mediante el vector = ( 0 ( ), 1 ) = (, 4). = (, 4 ) =, 1 P1 ; P1 (, ), 4, = + = + = + + =, El punto P es el trasladado de P 1 mediante P = P1+ ; P =, +, =, 5/15

6 1 Estudia si los puntos,0, ( ) 1,1 y C( 5, 1) línea recta, es decir, si están alineados. pertenecen a la misma Para que tres puntos, y C estén alineados, los vecto res y C deben tener C la misma dirección (paralelos). = ( 1 ( ),1 0) = (,1) ; C= ( 5 ( ), 1 0) = (, 1) 1 C 1 C Son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Los puntos, y C están alineados. (,7 ) (,9) ( ) y 14 Dados los puntos, 4, C 4, D 4, 9 son paralelos los vectores y CD? No son paralelos porque sus coordenadas no son proporcionales. v = 7, w = m,6 : 15 Calcula m para que los vectores y a) Sean paralelos. b) Tengan el mismo módulo a) Paralelos: coordenadas proporcionales = ; m = ; m= 1 m 6 m + 6 = 7 + ; m + 6 = 5 b) Igual módulo: Se elevan al cuadrado los dos miembros: m + 6 = 5; m = 17; m = ± 17 w1 = 17,6 w = 17,6 Hay dos soluciones:, 16 Si el punto medio del segmento es M(, 5 ), dado ( 9, 7 ), calcula. Sea ( x,y) 9+ x = ; 9 + x = 6; x = 7 + y = 5; 7 + y = 10; y = ( ), M,5 ( x,y ) 9,7 17 Halla las coordenadas del punto simétrico de (,) Q( 5, 1). Sea P x,y el simétrico de P respecto de Q. P Q P Q debe ser el punto medio del segmento PP P 4 respecto del punto 6/15

7 4+ x = 5; 4 + x = 10; x = 14 + y = 1; + y = ; y = 4 ( ) P 14, 4 18 Si (,1 ), ( 5,7 ) y C( 6, 4) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, cuál es el cuarto vértice? y v D v C x v = C= 6 5,4 7 = 1, El vértice D es el punto trasladado del punto mediante el vector v = ( 1, ) D = + v; D =,1 + 1, = 4, 19 Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos ( 5, 1) y ( 17, 8) en tres partes iguales. P 1 P = 17 5, 8 1 = 1, P1 = + ; P1 = ( 5, 1) + ( 4,) = ( 9,) 1 P = P1+ ; P = ( 9,) + ( 4,) = ( 1,5) ( ) ; = ( 1, 9) = ( 4, ) y ector es 1. Escribe también las coordenadas y el módulo del v PQ. 0 Determina el valor de a, sabiendo que la distancia entre Q( 6,) ( a ( 6) ) + ( 7 ) = ( a+ 6) + 5; dp,q = Se elevan al cuadrado los dos miembros: a = 1 a = 169; a + 1a = 169; a + 1a 108 = 0; 1 ± ± 4 a = 6 a = = a = 18 Hay dos soluciones: P 6,7 y P ( 18,7) 1 P( a,7) 7/15

8 y P P1 Q x 1 = ( ) + ( ) = = ( ) PQ P Q = = 169 = 1 1 Determina si el triángulo de vértices ( 1, 10 ), ( 0,16 ) y rectángulo. y C x C( 8, ) d, = = 100 = 10 u d, C = = 400 = 0 u d, C = = 500 u El triángulo es rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras: = 500 ; = 500 Halla la longitud de la mediana que parte de en el triángulo de vértices 1,4, 6,5 y C10,. ( ) M La longitud de la mediana que parte de es la distancia entre y el punto medio M del lado C M, = M( 8 ),1 ( ) d,m = = 90 = 10 u es C 8/15

9 Los vértices de un triángulo son ( 7,), 1 (,1) y (,5) C 1. Halla los puntos medios de sus lados. Comprueba que el triángulo que determinan tiene los lados paralelos al primero y que la medida de sus lados es la mitad. Puntos medios de los lados: P, Q y R: C P, = P(, ) R 1+ ( 1) 1+ 5 Q, = Q( 0 ), Q 7+ ( 1) + 5 P R, = R( ) 4,4 = 1 7,1 = 8, ( ) ; RQ = ( 0 ( 4 ), 4) = ( 4, 1) C1 8 = = = RQ C = (, 4), PR = ( 1, ) ; = = C= PR 1 6 C = ( 6,) ; PQ = (,1) ; = = C = PQ 1 4 Dados los puntos (,0 ) y (,0), obtén un punto C sobre el eje de ordenadas, de modo que el triángulo que determinan sea equilátero. Hay una solución única? Halla el área de los triángulos que resultan. C(0, b) Como el punto C debe estar en el eje de ordenadas debe ser de la forma C0,b d(,) = 6 u ( ) d,c = 0 + b 0 = 9+ b d,c = 0 + b 0 = 9+ b Para que sea equilátero: ; 9+ b = 6 9+ b = 6; b = 7; b = ± 7; b= ± Hay dos solucione s: 1 C 0, C 0, y El área de cada uno de los triángulos es: base altura 6 = = = 9 u C 9/15

10 ECUCIONES DE L RECT 5 Calcula las ecuaciones vectorial, paramétricas y explícita de las rectas bisectrices de los cuadrantes. y = x Queda: y = x y = x isectriz del primer y tercer cuadrante: v = 1,1 Punto ( 0, 0 ). Vector director: Ecuación vectorial: ( x,y) = ( 0,0) + t( 1,1). Ecuaciones paramétricas: isectriz del segundo y cuarto cuadrante: x = t y = t Ecuación explícita: y = mx + n. Pendiente 1 m= =1. Como 1 dena en e n= 0. pasa por el punto ( 0, 0 ) la or da en el orig s Vectorial: ( x, y) = ( 0,0) + t( 1,1). Paramétricas: Ecuación explícita y = mx + n 1 con m= = 1 1 Punto 1 ( 0, 0 ). Vector director: v = ( 1, ) x = t y = t y n = 0, queda y = x 6 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que tiene de ecuación explícita y = x + 4 Punto ( 0,4). Pendiente m= = 1. Vector director: v = ( 1, ) Ecuación vectorial: ( x,y) = ( 0,4) + t( 1, ) Paramétricas: x = 0+ t y = 4 t 7 Escribe la ecuación continua de la recta de ecuación general x + y + 7 = 0 Punto: Si x = 0, y = 7 0, 7 Ecuación continua: ( ). Vector director: v = (, ) = ( 1,) x 0 y+ 7 = 1 8 Escribe la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos,5 y (, 1 ) Ecuación explícita: y = mx + n 6 Vector director: v = = ( ( ), 1 5) = ( 6, 6). Pendiente: m= = 1 6 La ecuación explícita queda: y = x + n Como pasa por el punto La ecuación queda: y = x + (,5): 5 = + n; 5 = + n; n = 10/15

11 9 Expresa en forma continua la ecuación de la recta que es paralela a la recta 5x y 1 0 y pasa por el punto,5 + = Punto (,5). Vector director: v = (, ) = (, 5) (,5) Ecuación continua: x + y = Escribe la ecuación general de la recta que es paralela a la recta pasa por el punto ( 4,0) 8x y = ; y = 4x. Pendiente: m 4 La ecuación general es de forma x y C = =. Vector director: v = ( 1,4) + + = con 8x y = y, = 1, 4 = 1, = 4 Queda: 4x + 1 y + C = 0. Como pasa por ( 4,0 ) : C = 0; C = 16 Ecuación general: 4x + y + 16 = 0 1 Discute la posición relativa de las siguientes pares de rectas. Si se cortan calcula el punto de corte: a) r : x 5y + 9 = 0 s : x + 4y = 0 b) r : 6x 4y + 11 = 0 s : 9x + 6y 1= 0 c) r: 4x y+ 1= 0 s: x y+ 1 = 0 a) b) c) 5. Son secantes. 1 4 x 5y = 9 x + 4y = 1ª + ª x 5y = 9 x 1y = 9 17y = y = ; x+ 4 = ; x = = Punto de corte: P, =. Son paralelas Son secantes. 1x + y = 4x y = 1 1ª + ª x y = 1 x y = 1 10x = 10 x = 1; 4 1 y = 1; y = 5 Punto de corte: P1,5 11/15

12 Discute la posición relativa y calcula, si es posible, los puntos de corte de los siguientes pares de rectas: x = + t x + 7 x y 1 a) r: x y+ 8= 0 s: b) r: y= s: = y = 7 + t x 1 y+ x = 1 t x y+ 7 c) r: = s: x+ y+ = 0 d) r: s: = 6 y = 5 + 8t 1 4 x = 1+ t 6x + e) r: y= s: y = + t a) Vector director de r: v = 1, Vector director de s: b) ( ) v = (,1) 1. Los vectores directores tienen distinta dirección. Rectas secantes. 1 Se sustituye x e y de la segunda ecuación en la primera: ( + t) ( 7+ t) + 8= 0; 5t+ 5= 0; t= 1 Poniendo este valor de t en las ecuaciones de s: x = + ( 1) = 1; y = 7+ ( 1) = 6. Punto de corte: P( 1,6) r: y= x+ 7. Pendiente de r: m = Vector director de s: v = (, ). Pendiente de s: m =. Las pendientes son iguales. Las rectas pueden ser paralelas o coincidentes Un punto de r: Si x = ; y = = 1; P(,1). Ponemos este punto en la ecuación de s: = ; = ; 0= 0. Cierto. El punto también pertenece a s. Las rectas sin coincidentes. v =, 6 c) Vector director de r:. Vector director de s: v = ( 1, ) 6 =. Los vectores directores tienen la misma dirección. Las rectas pueden ser 1 paralelas o coincidentes. Un punto de s: Si x = 0; 0 + y + = 0; y = ; P( 0, ) Ponemos este punto en la ecuación de r: = + ; =. Falso. El punto no está en r. Las rectas son paralelas. 6 6 v =,8 v = 1, 4 d) Vector director de r:. Vector director de s: 8. Las rectas son secantes. 1 4 Poniendo x e y de r en la ecuación de s: 1 t 5+ 8t + 7 t 4 8t + 1 = ; = ; t + 16 = 8t + 1; 4t = 4; t = 1. 1/15

13 e) Ponemos este valor de t en las ecuaciones de r: x = 1 ( 1) = ; y = 5+ 8( 1) =. Punto de corte: P(, ) r: y= x+. Pendiente de r: m = Vector director de s: v = 1,. Pendiente de s: Las rectas tienen la misma dirección. Un punto de s: Si t = 0; x = 1; y = ; P 1, Ponemos este punto en la ecuación de r: ( ) m = = = ; =. Falso. El punto P no está en r. Las rectas son paralelas. x+ 1 y Halla el valor que debe tomar k para que la recta r: = sea paralela k x = t a s: y = + 5t Vector director de r: v = ( k,). Pendiente de r: m = k 5 Vector director de s: v = ( 1, 5). Pendiente de s: m = = 5 1 Para que sean paralelas: = 5; k = = k Calcula la recta que pasa por el punto (, 7 ) y forma con el eje de abscisas un ángulo de 60º. Pendiente de la recta: m= tg60º = Ecuación explícita: y = mx+ n; y = x+ n Como pasa por (,7 ): 7 = + n; n = 7 Ecuación explícita: y = x+ ( 7 ) 5 Comprueba si están alineados los puntos P( 1,4), Q(,1 ) y caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene. R( 11, 5) PQ = ( ( 1 ), 1 4) = ( 4, ) PR = ( 11 ( 1 ), 5 4) = ( 1, 9) 4 =. Los vectores PQ y PR tienen la misma dirección y los puntos están 1 9 alineados. Punto: P 1,4. Vector director: v = PQ = 4,. Pendiente: m = 4 ( ) x y 4= x 1 ; y 4 = ; 4y 16= x La ecuación general es: x + 4y 1 = 0 Ecuación punto-pendiente: ( ). En 1/15

14 , y es paralela a la recta x 6 y + = 4 6 forma un triángulo con los ejes cartesianos. Calcula su área. 6 La recta que pasa por el punto Punto (, ). Vector director: v = ( 4, 6) (, ) Ecuación continua: x y =. Se quitan denominadores y se pasa todo a un miembro para obtener la ecuación general: x + 6 = y 6; x + y 1 = 0 P Q Punto de corte con el eje Y: x = 0; 0+ y 1= 0; y = 6; P( 0,6) Punto de corte con el eje X: y = 0; x+ 0 1= 0; x = 4; Q( 4,0) Área del triángulo: base altura 4 6 = = = 1 u 7 Los puntos (, ) 0, 1,1, C( 5,) y D( 4, 1) son los vértices de una cuadrilátero. Obtén las ecuaciones de sus diagonales y su longitud. Indica de qué tipo de cuadrilátero se trata. Ecuación de la recta que contiene a la diagonal C: C Punto ( 0, ). C = 5 0, = 5, 4 D Punto: 1,1 Vector director: D = ( 4 1, 1 1) = (, ) Vector director: ( ) Ecuación continua: x 0 y + = 5 4 4x = 5y + 10; 4x 5y 10 = 0 (Diagonal C) Recta que contiene a la diagonal D: Ecuación continua: x 1 y = 1 ; x + = y ; x + y 5 = 0 (Diagonal D) 1 = ( 1 0,1 ( ) ) = ( 1, ). CD = ( 4 5, 1 ) = ( 1, ) = 1 Los lados y CD son paralelos. D = ( 4 0, 1 ( ) ) = ( 4, 1) C 4 1 = ( 5 1, 1) = ( 4,1) = 4 1 Los lados D y C son paralelos. El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos. Es un paralelogramo. Las longitudes de sus diagonales son: d,c = C = = 41 u. d,d = D= + ( ) = 1 u 14/15

15 8 Calcula el valor de k para que las tres rectas r : x + 5y 1= 0, s: x+ y+ k= 0 y t : 4x + 7y 5 = 0 se corten en el mismo punto. Determina las coordenadas de dicho punto. Punto de corte de las rectas r y t: 4x 10y = x + 5y = 1 1ª + ª 4x + 7y = 5 4x + 7y = 5 y = y = 1; x+ 5 ( 1) = 1; x = 6; x =. P(, 1) Las coordenadas del punto P deben verificar la ecuación de s: k = 0; 5 + k = 0; k = = P(, 1) La recta s es x y 5 0. El punto de corte de las tres rectas: 15/15