1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0)

Transcripción

1 1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-,1) y su vector de dirección es v = (,0) b) Pasa por el punto P(5,-) y es paralela a : x = 1 t y = t c) Pasa por A(1,) y es perpendicular a la recta r: x y + 6 = 0 d) Es perpendicular al segmento PQ siendo P(0,4) y Q(-6,0) en su punto medio a) x = + t y = 1 b) al ser paralela, su vector de dirección será (-1,) la recta pedida es : x = 5 t y = + t c) el vector director de r es (, ), el de la perpendicular será (. -) su ecuación es x = 1 + t y = t d) Punto medio de PQ (-, ), vector director : el perpendicular a PQ = ( -6, -4), el perpendicular (4, -6), la ecuación pedida es: x = + 4t y = 6t.- Dada la recta r: 4x + y -6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. - Hallamos el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas : x = 0 4x + y 6 = 0 y = Luego el punto de corte es P(0,) x = 0 la recta s perpendicular a r tiene por pendiente hallamos la ecuación de la 4 recta s de la que conocemos su pendiente y el punto P : y = 4 x x 4y + 8 = 0.- El punto P(5,-) es el punto medio del segmento AB, siendo A(, ). Halla B x + x + y + = 5 P(5, -) =, y + x = 8 ; y = -7 B(8, -7) = 4.- Halla el punto simétrico de P(1, -) respecto del punto H(,0) Si P (x,y) es el simétrico de P (1, -) respecto de H(, 0) ; H es el punto medio x + 1 y x + 1 = 6 de PP, = (,0) P (5,) y = 0 geometria_pendientes_final.doc 1

2 5.- Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1,), B(5, -1) y C(6, ). Debe de cumplirse : AB = DC ; (5-1, -1-) = (6-x, -y) x = ; y = 6 D(,6) 6.- Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(, 4) y B(0, -) en dos partes tales que BP = PA P(x,y) BP = PA (x-0, y+) = (-x, 4-y) x = ; y = P(, ) 7.- Determina k para que los puntos A(-, 5), B(, 1) y C( 6, k) estén alineados. Solución Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales AB = ( 5, -4) ; BC =(4, k-1) = k = 4 k Halla la distancia del punto P(, -) a las rectas: x = t 9 a) b) y = c) x + 5 = 0 y = t 4 a) Hallamos la ecuación implícita de la recta. x + y = 0 ; 1 + ( ) 4 dist(p, r) = = b) Dist(p, r) = 4 1 = c) Dist(P, r) = 8.- Halla la longitud del segmento que determina la recta x y + 5 = 0 al cortar los ejes coordenados. Hallamos los puntos de corte de la recta con los ejes x y + 5 = 0 x = 0 x y + 5 = 0 y = 0 5 A(0, ) es el punto de corte con el eje OY B(5.0) es el punto de corte con el eje OX ; 15 5 dist(a, B) = = Halla la distancia entre las rectas r: x y + 8 = 0 y r : -x + 4y -7 = 0 geometria_pendientes_final.doc

3 Al ser proporcionales los coeficientes de x e y son paralelas, la distancia entre las dos rectas es la distancia de un punto cualquiera P de r a r, si x = 0 ; 16 7 y = 4 ; P(0,4) 9 5 r dist(r, r ) = dist(p, r ) = = Determina c para que la distancia de la recta x y + c = 0 al punto (6, ) sea de 10 c c = 10 c1 = Dist(P,r) = = 10 hay dos soluciones: 10 c = 10 c = Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 11.- Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: a) y = x + 5 b) x 5y + 7 = 0 x = t x = 1 t c) y = x x + 6y = 0 y = t y = 4 + t ( ) a) m r = ; m s = - tgα = = 1 α = 45º 1 + ( ) b) vector director de r = (5,), vector director de s (-6, 10) cosα = 0 0 v u = 0 α = 90º d) x y = y + = 0 0 c) vector de r v= (-1,), vector director de s w =(-,1) cosα = α = 45º d) α = 6º 6 5,8 1.- Qué ángulo forma la recta r: x y + 6 = 0 con el eje de abscisas? La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto la pendiente de r es = tgα ; α = 56º 18 5,8 1.- Halla n para que la recta x + ny = 0 forme un ángulo de 60º con el eje OX tg 60 = = n = n geometria_pendientes_final.doc

4 14.- Halla n y m para que las rectas r: mx y + 5 = 0 s: nx + 6y 8 = 0 sean perpendiculares y que la recta r pasa por el punto P(1,4) P(1,4) r m = 0 m = r s (m,-) (n,6) = 0 n = Dada la recta r: x = 1 + t halla k de modo que r sea paralela a la bisectriz y = + kt del segundo cuadrante. Ecuación de la bisectriz del º cuadrante: y = -x x = t su vector de y = t dirección es v(1,-1) y el vector de dirección de r es w(,k) para que sean 1 1 paralelas, sus vectores de dirección han de ser proporcionales: = k = - k 16.- En el triángulo de vértices A(-, ), B(5, 1), C(, -4) halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b) La mediana que parte de B c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, es una recta perpendicular al lado AC, que pasa por B, su vector de dirección: v(7,5) su ecuación en continua: x 5 y 1 = 5x -7y 18 = b) La mediana pasa por B y por el punto medio de AC que es M (, ) 9 9 x = 5 + t su vector de dirección es MB =, su ecuación: 6x y = 1 + t 18y 1 = 0 c) La mediatriz de CA es perpendicular a CA en su punto medio M 1 1, ) ( CA=(7,5) 1 x = + 7t 1 5x 7y 6 = 0 y = + 5t 17.- La recta r: x + y 6 = 0 determina al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB. A = r OY x + y 6 = 0 A(0, ) x = 0 geometria_pendientes_final.doc 4

5 OX r B = r x + y 6 = y = 0 0 B(,0) AB = (, -), vector director de la mediatriz v = (,), M punto medio de AB, M(,1) pendiente de la mediatriz, la ecuación punto pendiente: y 1 = (x- ) 6x 4y 5 = Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices A(, 8) ; B(5, ) ; C(1, 0) ; D(-1, 6) Punto medio de AB: P(4,5) ; punto medio de BC: Q(,1); punto medio de CD: R(0,); punto medio de DA: S(1, 7) PQ= (-1, -4) = SR y SP = (, -) = RQ 19.- Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, -) a la recta x y +4 = 0 Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r Ecuación de s perpendicular a r desde P s: x + y = 0 P = s P ( 4 8, 5 5 geometria_pendientes_final.doc 5

6 s t t 0.- Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son AB: x + y 4 = 0, AC: x y =0, BC: x + y = 0. Halla: a) Los vértices del triángulo. b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es paralelo a BC. a)a: x + y 4 = 0 x y = 0 x y = 0 x + y = 0 C(0,0) x + y 4 = 0 A(, 1) B: x + y = 0 B(-4,4) C: b)el punto medio de AB: M( -1, 5 ), el punto medio de AC: P(1, 1 ) MP = (, -) paralelo a BC = (4, -4) 1.- Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = s: x + y 6 = 0 t: x y 7 = 0 A:= r A(,0) B = r B (, -4) C = s C( 7 8, ) 5 5 Si consideramos como base el segmento AB = 4, la altura desde C = dist(c, r) 46 = Área = En el triángulo de vértices A(-1, -1), B(, 4), C(4, 1), halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B 1 M punto medio de AC, M(, 0) vector BM =, 4, 65 longitud mediana = BM = Altura es la distancia de B a la recta AC, ecuación de la recta AC; r: x 5y = dist (B, r) = = Halla el punto de la recta x 4y + 8 = 0 que equidistan de A(-6,0) y B(0, -6) P verifica las condiciones geometria_pendientes_final.doc 6

7 1ª Dist(P,A) = dist(p, B) ( ) ( ) ª P r x 4y + 8 = 0, x y = x + y + 6 x = y P( 8, 8) 4.- Determina un punto de la recta r: y = x que diste unidades de la recta r : x y + 8 = 0 x x + 8 P(x,y) r y = x ; P(x, x) ; dist(p, r ) = = dos 10 posibilidades: x x 1 = 10 8 = 10 8 y y 1 = 6 = Los puntos P(-,4) y Q(6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices b) Los ángulos del paralelogramo a) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro R(, -4) y S(-6, 0) PS PQ b) PQ = SR = (8. -4) ; PS = QR = (-4, -4) cos P= = PS PQ P = 108º6 5,8 = R ; S = 71º 54 = Q geometria_pendientes_final.doc 7

8 6.- Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas r: 4x + y + 6 = 0 y s: x + 4y 9 = 0 4x x P(x,0) debe verificar: dist(pr) = dist(p, s) = 5 5 P 1 (-15,0) ; P ( 7,0) 7.- Los puntos A(1,-) y B(,) son vértices de un triángulo de área 8. El vértice C está sobre la recta x + y = 0. Hállalo Solución AB b 6 b 16 Área = 8 = b = b = dist(c, AB) x y 7 Recta AB : 5x y 7 = 0 ; b = = 5x y 7 = 16 hay 6 6 5x y 7 = 16 dos soluciones: C 1 : 5x y 7 = 16 C 1 ( 5 6, ) x + y = C : 5x y 7 = 16 C (-1,4) x + y = Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s r: 4x y + 8 =0 s: 1x + 5y 7 = 0 4x y + 8 1x + 5y 7 Dist(P, r) = dist(p,s) = 8x + 64y 19 = x 14y + 69 = 0 geometria_pendientes_final.doc 8