BLOQUE II GEOMETRÍA. Resolución a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:

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1 II BLOQUE II GEOMETRÍA Página 6 Considera los vectores u(3,, ), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y ( u, v). a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo: =? 0. Forman una base de Á b) (, 6, m) (3,, ) = 6 m (, 6, m) u ï 6 m = 0 ï m = 6 c) u = = 4 v = = 5 = 5 ì ì 5 cos ( u, v) = = 0,079 ( u, v) = 43 ' 3'' 4 5 Halla un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores u(4, 0, 7) y v(, 5, ). u Ò v = (5, 76, 0) u Ò v = = 99 = 3 3 El vector buscado es u Ò v = (5,, 0). 3 También cumple las condiciones pedidas su opuesto: ( 5,, 0). Soluciones: (5,, 0) y ( 5,, 0)

2 3 Considera los puntos P (, 3, 5) y Q (, 9, ): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el punto simétrico de P respecto de Q. c) Obtén un punto R de PQ tal que PR = RQ a) Punto medio: (,, = 5, 3, ) ( ) b) Sea S (a, b, g) el simétrico de P respecto de Q. Entonces: + a 3 + b 5 + g = = 9 a = 4, b =, g = = Así, el simétrico de P respecto de Q es (4,, ). c) P (, 3, 5) R Q(, 9, ) PQ = (6,, 3) OR = OP + PR = OP + PQ = (, 3, 5) + (, 4, ) = (4,, 4) 3 4 Dados los puntos P (3,, 0), Q (5,, ) y R (, 0, ): a) Halla la recta que pasa por P y Q. b) Halla el plano que contiene a P, Q y R. c) Halla la distancia entre P y Q. a) PQ = (,, ) x = 3 + l r: y = l z = l b) PR = (,, ) PQ Ò PR = (,, ) Ò (,, ) = (3,, 5) π π: 3(x 3) + (y ) 5(z 0) = 0 3x + y 5z = 0 c) dist (P, Q) = + + = 6

3 BLOQUE I x y + z 5 Dados el punto A(,, 3) y la recta r: = =, calcula razonadamente: a) La distancia de A a r. b) El punto simétrico de A respecto de r. R ( + l, + l, + l) es un punto genérico de r. AR ( + l, 4 + l, + l) Buscamos R para que AR r ; es decir, AR (,, ): ( + l, 4 + l, + l) (,, ) = + l 4 + l 4 + 4l = 6l 6 AR r ï 6l 6 = 0 ò l = Por tanto, R (,, 3) es el pie de la perpendicular de A a r. a) dist (A, r) = dist (A, R) = = = 3 b) El simétrico de A respecto de r es el simétrico, A' (a, b, g), de A respecto de R: + a + b 3 + g = = a = 5, b = 4, g = 3 = 3 Así, A'(5, 4, 3). 6 Calcula la posición relativa de la recta y el plano siguientes: x = + 3l r: y = l π: x + y + z = 0 z = 0 (3,, 0) = d r // r (,, ) = n π π dr n π =? 0 Por tanto, d r no es perpendicular a n π. Es decir, la recta no es paralela al plano, ni está contenida en él. Conclusión: la recta corta al plano. 3

4 x + y = 4 x y + z 7 Dadas las rectas r: y s: = = comprueba que y + z = 5 3 se cruzan y calcula la distancia entre ellas y la ecuación de la perpendicular común. Ecuaciones paramétricas de r. Llamamos y = l: x = 4 l r: y = l z = 5 l Ecuaciones paramétricas de s: x = + μ s: y = μ z = 3μ R 0 S 0 = ( 3,, 5) Posición relativa: Vemos el rango de la matriz formada por las coordenadas de los vectores d r, d s, R 0 S 0 : =? 0 Los tres vectores son L.I. Por tanto, las rectas se cruzan. El vector genérico RS ( 3 + l + μ, l μ, 5 + l +3μ) tiene su origen en r y su extremo en s. R 0 (4, 0, 5) dr (,, ) S 0 (,, 0) ds (,, 3) RS r ï RS d r ï ( 3 + l + μ) + ( l μ) ( 5 + l +3μ) = 0 RS s ï RS d s ï ( 3 + l + μ) ( l μ) + 3( 5 + l +3μ) = 0 7 3l 5μ = l + μ = 0 l =, μ = Por tanto, los pies de la perpendicular común a las dos rectas son: l = R(5,, 6) μ = S(3, 3, 6) RS (,, 0) // (,, 0) dist (r, s) = dist (R, S) = + +0 = = Recta perpendicular común: x = 3 + l y = 3 + l z = 6 4

5 BLOQUE II Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(, 0, ), es paralelo a la x y = 0 recta r: y es perpendicular al plano a: x y + z + = 0. z = 0 (,, 0) Ò (0, 0, ) = (,, 0) // (,, 0) = d r Sea π el plano buscado y n su vector normal. Entonces: π // r ò d r n πq ò n (,, ) Por tanto, n = (,, 0) Ò (,, ) = (,, 4). Ecuación de π: (x ) (y 0) 4(z + ) = 0 x y 4z 5 = 0 9 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta perpendicularmente a la recta AB, siendo A (, 0, ) y B(,, ). AB = ( 3,, ) = d r x = 3l r: y = l es la recta AB. z = l Tomamos un vector genérico OR con origen en O y extremo variable en r: OR ( 3l, l, l) Obligamos a que OR r : ( 3l, l, l) ( 3,, ) = 0 ï 6 + 9l + 4l + l = 0 ï 4 ï 4l = 0 ï l = = 4 7 ( ) Para l =, obtenemos R,, y OR,, // (,, 0) // (, 4, 5) ( ) La recta buscada es: x = l y = 4l z = 5l 5

6 0 Sean el plano π:3x y + z = 0 y las rectas: x = l x = 3l r: y = + l s: y = + 4l z = 3 l z = 3 a) Halla el ángulo que forman r y s. b) Calcula el ángulo formado entre r y π. c) Halla el ángulo que forma π con el plano q determinado por r y s. dr (,, ) //r, d s (3, 4, 0)//s, n(3,, ) π d a) cos ( ) = r ì d s ì r, s = = 0,065 ( r, s ) = 5 9' d r d s 6 5 ì ì 7 ì b) sen ( r, π ) = cos ( d r, n) = = 0,76376 ( r, π ) = 49 47' 49'' 6 4 c) r y s se cortan en (0,, 3), evidentemente. Determinan un plano cuyo vector normal es: n' = (,, ) Ò (3, 4, 0) = (, 6, 7) ì ì 3 + ( ) ( 6) + ( 7) cos ( π, q ) = cos ( n, n' ) = = ì = = 0,63495 ( π, q ) = 50 35' '' 4 49 Calcula la distancia que hay entre estos planos: 4 a: x + y z + = 0 b: 4x + y z + 7 = 0 = =? ; por tanto, a y b son paralelos. 7 El punto A (0, 0, ) é a. Por tanto: dist (a, b) = dist (A, b) = = =,

7 BLOQUE II Calcula m para que r y s estén en el mismo plano: x r: = y = z s: x + y + z + m = 0 3x 4z + = 0 x (/) y r: = = z dr = (,, ) s: d s = (,, ) Ò (3, 0, 4) = ( 4, 7, 3) Evidentemente, las rectas no son paralelas. Veamos cómo ha de ser m para que se corten. Conviene expresar cada una de las dos rectas como intersección de dos planos. Obligamos a que los cuatro planos tengan algún punto común: x r: = z x z = y = z y + z = x + y + z = m s: 3x 4z = Para que el sistema tenga solución, es necesario que el determinante de la matriz ampliada sea cero. 0 0 = m ; m = 0 ï m = 4 m Si m = 4, las dos rectas se cortan. Por tanto, están en un mismo plano. 3 Halla un punto de la recta s: x = y = z tal que su distancia a r: sea igual a unidad. x + y = 0 z = 3 Un punto genérico de r: R(l, l, 3) Un punto genérico de s: S(μ, μ, μ) Las dos rectas se cortan en (3, 3, 3). Al ser perpendicular a r desde s, la coordenada z debe distar en ambas rectas. Por tanto, hay dos puntos de s cuya distancia a r es : s (3, 3, 3) Z r Y (,, ) y (4, 4, 4) X 7

8 4 Calcula las ecuaciones de la recta r' sabiendo que es la proyección ortogonal de r sobre π: x = l r: y = + 3l π: x y +z + 4 = 0 z = 3 La recta r' es intersección de dos planos: el π y un plano a que contiene a r y es perpendicular a π. Un vector normal a a es perpendicular al vector dirección de r y al vector normal a π. Por tanto: (, 3, 0) Ò (,, ) = (6,, 4) // (3,, ) = n; n a (0,, 3) éa a: 3(x 0) (y + ) (z 3) = 0 3x y z + 4 = 0 a r La recta es r': 3x y z + 4 = 0 x y +z + 4 = 0 π r' x 5y = 0 5 Dada la recta r: y el plano b: x 3y z + 6 = 0, halla la x + 5z + 7 = 0 ecuación de un plano paralelo a b que diste de la recta r 3 unidades. Para que el problema tenga solución, la recta debe ser paralela al plano. Comprobemos que es así: dr = (, 5, 0) Ò (, 0, 5) = ( 5, 0, 5) // (5,, ) n = (, 3, ) b (5,, ) (, 3, ) = 0 ò d r n ò r // b La recta es paralela al plano. Obtenemos un punto de la recta dando un valor a x. Por ejemplo, para x = R(,, ) Un plano cualquiera paralelo a b es de la forma: a: x 3y z + k = 0 La distancia de r a a es igual a la distancia de R a a y debe ser igual a 3: 3( ) ( ) + k dist (R, a) = = k = ±3 k = + 3 Solución: Hay dos planos que cumplen esta condición: a : x 3y z 3 = 0 y a : x 3y z + 3 = 0

9 BLOQUE II 6 El plano x y + 3z 6 = 0 corta a los ejes coordenados en los puntos P, Q y R. a) Calcula el área del triángulo PQR. b) Halla el volumen del tetraedro de vértices P, Q, R y el origen de coordenadas. Puntos de corte con los ejes: P (3, 0, 0), Q(0, 6, 0), R(0, 0, ) a) PQ = ( 3, 6, 0), PR = ( 3, 0, ) Área PQR = PQ Ò PR = (, 6, ) = 3 4 u b) Para hallar el volumen del tetraedro, podemos utilizar dos métodos.. er MÉTODO. Utilizando el producto mixto: V = [ PQ, PR, PO ] = 3 0 = 6 u Z R. MÉTODO. Teniendo en cuenta que el tetraedro es la sexta parte de un ortoedro de dimensiones 3, 6 y : Q O Y V = 3 6 = 6 u 6 3 X P 7 Dada la esfera x + y + z x + 6y 39 = 0, halla: a) Su centro. b) La ecuación del plano tangente en el punto P (, 3, 7). a) Centro: C (, 3, 0) b) Radio: r = 7 (, 3, 7) pertenece a la superficie esférica? = 0. Sí pertenece, pues cumple la ecuación. (También podríamos haber comprobado que dist (P, C) = 7). El vector CP es perpendicular al plano tangente, π: CP (0, 0, 7) // (0, 0, ), perpendicular a π. Ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P es: π: 0(x ) + 0(y + 3) + (z 7) = 0 z = 7 9