GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS

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1 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS Página 88 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento ;;;;;; Toma los puntos P (, ), Q (0, ) y represéntalos en el plano: ;;;;;; P (, ) Q (0, ) ;;;;;; ;;;;;; Localiza gráficamente el punto medio M del segmento PQ y da sus coordenadas. Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q? Haz lo mismo con los segmentos de extremos: a) P' (, ), Q' (9, 7) b) P''(0, ), Q'' (0, ) Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos. M(6, 4) M ( 0 + +, ) P (, ) M M" M' Q' Q" Q (0, ) P" P' a) M' (7, 4) b) M" (, ) Sean A (a, a ) y B (b, b ) los extremos de un segmento. a El punto medio de AB será M ( + b a, + b ). Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

2 Ecuaciones de la recta Observa las siguientes ecuaciones: x + t y t Comprueba que, dando a t los valores 0,,, 4,, se obtienen puntos que están todos sobre una recta. x + t Comprueba que las ecuaciones corresponden también a una recta, y 4 t hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores,, 0,,, y representa los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la misma recta). Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo: Despeja t en la primera ecuación. Sustituye su valor en la segunda. Reordena los términos de la ecuación resultante. Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual. t 0 (x, y) ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (8, ) (, ) Y ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (8, ) (, ) r X x t t 4 y x x y x y y y x + 4 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

3 Página 89 Distancias en el plano Q (, 7) s P (, ) r Halla la distancia de P y de Q a cada una de las rectas r y s. Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del Teorema de Pitágoras). Halla, también, la distancia entre: a) P' (0, ), Q' (, 0) b) P'' (, ), Q'' (7, 4) d (P, r) ; d (P, s) 8; d (Q, r) d (Q, s) d (P, Q) PQ a) d (P', Q') P'Q' PQ + 4 PQ P'Q' + 69 b) d (P", Q") P"Q" P"Q" P'Q' P"Q" d (A, B) (b a ) + (b a ), donde A (a, a ) y B (b, b ). d (A, B) AB Página 9. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, ) y N (, ). MN (, ) (7, ) ( 9, 6) NM (7, ) (, ) (9, 6). Averigua si están alineados los puntos P (7, ), Q (4, ) y R (0, ). PQ (, 4) QR (6, 8) 4 A, B y C están alineados. 6 8 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

4 . Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (, 7), B (, 4), C (k, ) estén alineados. AB ( 4, ) BC (k +, ) Página k 9 k k k + 4. Dados los puntos P (, 9) y Q (8, ): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el simétrico de P respecto de Q. c) Halla el simétrico de Q respecto de P. d) Obtén un punto A de PQ tal que PA/ AQ /. e) Obtén un punto B de PQ tal que PB/ PQ /. a) M ( ( ), ) (, 4 ) b) + x 8 x 9 + y y P' (, ) P' (x, y) Q (8, ) P (, 9) c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Q respecto de P. Así: x' + 8 x' y' + ( ) 9 y' 9 Q' (, 9) Q P Q' d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que: PA AQ (x, y 9) (8 x, y) x (8 x) x y 9 ( y) y A (, ) e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos. PB PQ (x, y 9) (, 0) (, ) x x 4 y 9 y 7 B (4, 7) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

5 Página 94. Escribe las ecuaciones paramétricas de las rectas: a) Que pasa por A (, 7) y tiene una dirección paralela al vector d (4, 7). b) Que pasa por M (, ) y es paralela a d '(, ). En ambos casos, dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la recta. a) OX OA + t d (x, y) (a, a ) + t (d, d ) x a + td y a + td x + 4t y 7 7t t 0 (x, y) (, ) ( 7, 4) (, 7) (, 0) (, 7) (9, 4) b) OX OM + t d' (x, y) (m, m ) + t (d', d' ) x m + td' y m + td' x + t y + t t 0 (x, y) (, ) (, 0) (, ) (7, 4) (9, 6) (, 8). Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por: a) P (, ) y Q (0, 4) b) M (, 7) y N (, 0) c) A (0, 0) y B (7, 0) d) R (, ) y S (, ) a) El vector dirección es: PQ (, 6) b) d MN (0, 7) c) d AB (7, 0) d) d RS (, ) x y 7 7t x 7t y 0 x + t y + t. Halla k para que S (, k) pertenezca a r: + t t 6/ k 4t x t y + 6t x + t y 4t k 4( ) 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

6 Página 9. Halla el ángulo que forman las siguientes rectas: x t x 4t r : r : y 7 + t y 4 + t Los vectores directores de r y r son, respectivamente, d (, ) y d ( 4, ). d d 8 + cos α 0,984 α 0 8' 7,4" d d. Obtén para las rectas del ejercicio anterior: a) La paralela a r que pase por el punto (, 7). b) Una perpendicular a r que pase por (0, 0). a) r // r P (, 7) r d d r: P r x t y 7 + t b) r' r d' d d' (, 4) r': P (0, 0) x t y 4t Página 96. Considera las siguientes rectas: x 7 + t x + t x + t x t r : r : r : r 4 : y t y t y 6t y + 4t Halla la posición relativa de r y r, r y r, r y r 4. Posición relativa de r y r 7 + t + s t s 0t s 0 t s t + s Por la -ª ecuación y se suman: t + s 7t 7 t de la -ª ecuación: s + ( ) 0 Como tiene solución única, entonces r y r se cortan en el punto P (, ) (que se obtiene sustituyendo t en r o s 0 en r ). Posición relativa de r y r + s + t s 6t s t s + 6t 6 Las dos ecuaciones son equivalentes. Luego el sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, r r (son la misma recta). Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6

7 Posición relativa de r y r 4 + t s 6t + 4s No tienen solución. Luego no tienen ningún punto en común. Por tanto, son paralelas. Es decir, r // r 4. t + s 0 6t 4s 7 Página 97. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene por ecuación: x y Sea x t t y x t y 8/ + (/)t NOTA -º MÉTODO El vector (, ) es perpendicular a r. Por tanto, el vector (, ) es paralelo a r. Podemos tomarlo como vector dirección: d (, ) 8 Si x 0 y. Luego ( 0, ) r Así, las ecuaciones paramétricas son: x t r: y 8/ + t (equivalente a la obtenida por el otro método). x t. Halla la ecuación implícita de la recta: y + t Multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por, y las sumamos: x 0 6t 8 y + 6t x + y 7 r: x + y 7 0 NOTA -º MÉTODO: x t t y + t t x y + x y + x 0 y r: x + y 7 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7

8 Página 99. Escribe la ecuación de la recta de pendiente y cuya ordenada en el origen es. m P (0, ) r r: y + (x 0) r: y x ECUACIÓN EXPLÍCITA r: x y 0 ECUACIÓN IMPLÍCITA. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: a) ( 7, ), (, 7) b) (, ), (, 4) c) (6, ), (, ) d) (, ), (, 8) y a) m y y 7 (x ) x x 0 ( 7) 8 Tomando el punto (, 7) x + y b) m y 4 (x ) Tomando el punto (, 4) x + y 7 0 c) m 0 6 Tomando el punto (6, ) y 0 y 8 d) m Imposible! Entonces, no tiene pendiente. + No se puede poner de forma explícita. Es la recta x, paralela al eje Y.. Halla dos puntos de la recta y x + 4. Calcula a partir de ellos su pendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación. Si x 0 y 4 A(0, 4) r Si x y B (, ) r 4 m 0 Efectivamente, es la de la recta y x + 4. ;;; t ;;; ;;; 4. s r Escribe las ecuaciones de las rectas representadas. s: m s / P (0, ) Como s: y mx + n s: y x + s Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 8

9 m r: s / m r: y x + ; t: t 0 t: y P r (0, ) P t (0, ) Página 0. Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x + y a) b) x 9y 0 Se puede resolver el sistema o bien observar los coeficientes y el término independiente de ambas ecuaciones: A B 4 C a) A' 9 B' C' A B C Es decir: Son la misma recta. A' B' C' x + y + 0 x y A B b) Las rectas se cortan en un punto. A' B' Para calcular el punto de corte, bastará con resolver el sistema. Despejando en la primera ecuación: y x Sustituyendo en la segunda ecuación: x ( x) x x x x Con lo que: y ( ) 7 (x, y) (, 7) Punto de corte. Cuál es la posición relativa de estos dos pares de rectas? x + y 8 0 x + y 4 0 a) b) 6x + 0y x y 0 8 A B C a) Son paralelas A' B' C' b) x + y 4 0 x y 0 x + x 4 0 x y x 4 x 4/ y 4/ Son dos rectas que se cortan en el punto (4/, 4/) Página 0. Obtén la distancia entre los siguientes pares de puntos: a) (, ), (, 4) b) (0, 7), (, 7) c) (, ), (, 7) d) (8, 4), (, ) a) dist (P, Q) PQ ( ) + (4 + ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

10 b) dist (P, Q) PQ ( 0) + (7 7) + 0 c) dist (P, Q) PQ ( + ) + ( 7 ) 4 d) dist (P, Q) PQ ( 8) + ( 4) 69. Halla la distancia de Q (, 4) a las siguientes rectas: a) x + y 4 x y 4 x t x y b) c) d) + y 6t a) x + y 4 0 ( ) dist (Q, r) 0, + x y 4 b) x y 8 x y + 0 ( ) dist (Q, r),7 + ( ) 9 9 c) t t x y 6 x ( ) dist (Q, r) 4, d) x + y 6 x + y 6 0 y 6x + 6 y + 6 6x y 0 x y 0 6 ( ) dist (Q, r),94 + Página 07 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Ecuaciones de la recta Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(, 7) y tiene una dirección paralela al vector d (4, ). Dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la recta. x + 4t y 7 t t (x, y) (, 9) ( 7, 8) (, 6) (, ) (9, 4) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 0

11 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por: a) P(6, ) y Q(0, ) b) M(, ) y N(, 6) c) A(0, 0) y Q(8, 0) Halla, en todos los casos, la ecuación implícita. a) PQ x 6 6t x 6t ( 6, 7) r: r: y + 7t y + 7t (Usando el punto P) (Usando Q) x t 6 x y y t x 6y + 0 r: 7x + 6y 0 0 b) MN x (0, 4) r: x recta paralela al eje Y y + 4t c) AQ x 8t (8, 0) r: r: y 0 eje X y 0 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas: a) x y 0 b) x 7 0 c) y 6 0 d) x + y 0 a) Si x t t y 0 y t r: x 7 x t x t b) c) d) y t y 6/ y t 4 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas. Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los vectores de la base. O(0, 0) eje X x t Eje X: Eje X: y 0 dx (, 0) y 0 O(0, 0) eje Y x 0 Eje Y: Eje Y: x 0 dy (0, ) y t Halla la ecuación de la paralela a x y 0 cuya ordenada en el origen es. La recta pasa por el punto (0, ). r: x y 0 x t y t s // r pendiente de s ha de ser igual a la de r P(0, ) s m s m r / y x x y 6 0 P (0, ) s ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

12 6 Dada la recta 4x + y 6 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. El eje de ordenadas es el vertical: x 0. Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de ordenadas. 4x + y 6 0 r: y 6 0 y 6 y Eje Y: x 0 Luego P (0, ) r y también debe ser P (0, ) s, donde s r. Como s r sus pendientes deben cumplir: m s m r m s 4/ Como P (0, ) s y m s y x + x 4y Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Su vector de posición es a (, ) y su vector de dirección v (, 0). x t b) Pasa por A(, ) y es paralela a: y t c) Pasa por A(, ) y es perpendicular a la recta de ecuación x y d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) y Q( 6, 0), en su punto medio. a) La ecuación vectorial será: OX a + t v (x, y) (, ) + t (, 0) b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de la recta x t y t m r (pues debe ser paralela a ella). 4 x + t y Luego: d (, ) Como debe pasar por A(, ) x t y + t c) La pendiente de la recta r: x y es: m r m s (pues m r m s por ser r s) Un vector director puede ser s (, ). Además, A (, ) s. Por tanto, s: x + t y t Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

13 6 4 d) El punto medio de PQ es m (, ) PQ ( 6, 4) Luego, s: Coordenadas de puntos (, ) m (, ) s d (4, 6) es un vector director de s, pues d PQ 8 El punto P(, ) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A(, ). Halla B. x + y + (, ) Si B (x, y), (, ) x + 0 x 8 B (8, 7) y + 4 y 7 x + y + (, ) (, ) 9 Halla el punto simétrico de P (, ) respecto del punto H(, 0). H es el punto medio entre P y su simétrico. Si P'(x, y) es simétrico de P (, ) respecto de H (, 0) H es el punto medio de PP' x + y (, ) x + 4t y 6t Si B (x, y) Como P es punto medio de AB x + 6 x (, 0) P' (, ) y 0 y 0 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(, ), B(, ) y C(6, ). Sea D (x, y). D (x, y) Debe cumplirse: AB DC (, ) (6 x, y) A (, ) C (6, ) 4 6 x x y y 6 D (, 6) Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(, 4) y B (0, ) en dos partes tales que BP PA. Sea P (x, y). Sustituimos en la condición que nos imponen: B (, ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

14 BP PA (x 0, y ( )) ( x, 4 y) x ( x) x 6 x x 6 y + (4 y) y + 8 y y 6 x P (, ) y Determina k para que los puntos A(, ), B(, ) y C(6, k) estén alineados. Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales. AB (, 4) BC (4, k ) 4 k 6 k 4 k Distancias Halla la distancia del punto P(, ) a las siguientes rectas: x t 9 a) b) y c) x + 0 y t 4 a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta: t x/ x y x + y 0 t y Entonces: dist (P, r) + ( ) b) y y Por tanto: dist (P, r) ( ) 9/4 9/4 0 + c) dist (P, r) Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas: a) x 4y + 0 b) y 9 0 c) x d) x y 0 a) dist (0, r) ( 4) 4 4 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

15 b) dist (0, r) c) dist (0, r) d) dist (0, r) (es decir, la recta x y 0 pasa por el origen). Halla la longitud del segmento que determina la recta x y + 0 al cortar a los ejes de coordenadas. Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Calculamos primero dichos puntos: x y + 0 y + 0 y x 0 A ( 0, ) es el punto de corte con el eje Y x y + 0 x + 0 x y 0 B (, 0) es el punto de corte con el eje X Luego AB dist (A, B) ( 0) + ( 0 ) Halla la distancia entre las rectas r: x y y r' : x + 4y 7 0. Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distancia a r'. Sus pendientes son m r m r' Son paralelas. Entonces, la distancia entre r y r' será: dist (P, r') donde P r Sea x 0. 8 Sustituyendo en r y 4 P (0, 4) r Así: dist (r, r') dist (P, r') ( ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

16 7 Determina c para que la distancia de la recta x y + c 0 al punto (6, ) sea de 0 unidades. (Hay dos soluciones). dist (P, r) 6 + c c c Hay dos soluciones: c 0 c 0 0 c 0 0 c 0 Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 0 x y P x y Calcula el valor de a para que la distancia del punto P (, ) a la recta ax + y 0 sea igual a. dist (P, r) a + a + 4 a + a + (a + 4) a + 4 a + a + (a + 4) a + 4 Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación en ambos casos. (a + ) (a + 4) a + 4a + 4 a + 8 a 4 ± 6 6 4a a Página 08 Ángulos 9 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: y x + x y a) b) y x + 0x + 6y 0 x t x t x y 0 c) c) y t y 4 + t y + 0 a) r: y x + s: y x + m r m s sus pendientes son: ( ) + ( ) tg α α 4 + m r m s m r m s Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6

17 b) v (, ) r w (0, 6) r α r r v, w v w 0 0 cos α 0 α 90 v w v w c) Los vectores directores de esas rectas son: d (, ) y d (, ) Entonces: d d cos α + α 4 d 0 d d) a (, ) r a (0, ) r α r r a, a a a 0 cos α a a 4 0,447 α 6 6',8" 0 Qué ángulo forma la recta x y con el eje de abscisas? No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la tangente del ángulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r. La pendiente de r es m r. La pendiente de r es, además, tg α: m r tg α tg α α 6 8',8" Y r α X Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7

18 Qué ángulo forma la recta x y + 0 con el eje de ordenadas? El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje de abscisas. El ángulo pedido, α, es complementario de β tg β tg α Por otro lado, tg β m r : tg α α 6 ' 4," tg β Y r α β X Calcula n de modo que la recta x + ny 0 forme un ángulo de 60 con el OX. Y tg 60 r Como tg 60 m r, se tiene que: m r n 60 X n n PARA RESOLVER Calcula m y n en las rectas de ecuaciones: r: mx y + 0 s: nx + 6y 8 0 sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por el punto P (, 4). Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre sa la perpendicularidad con vectores o con pendientes y halla n. P (, 4) r m m (m, ) r (n, 6) s Como deben ser r s (m, ) (n, 6) (m, ) (n, 6) 0 m n + ( ) 6 0 n 0 n 4 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 8

19 m n NOTA: Usando las pendientes m r y m s, para que r s debe ser 6 m r m s, es decir: m n 6 ( ) mn n n 4 4 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p. t α Y 0 0 β r p 80 β s X Y 0 ;;; t s p X r ;;; ;;; r p: Pasa por los puntos (, ) y (, 4). Así, su pendiente es: 4 ( ) 7 m ( ) 4 Por tanto: 7 p: y + (x 4) 7x 4y r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto ( 0, ). Por tanto: r : y s: Su vector director es (0, ) y pasa por (, 0). Por tanto: x s: y t t: Pasa por los puntos (, 0) y (, ). Así, su pendiente es: 0 m 4 Por tanto: t: y (x ) x + y 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

20 x + t Dada la recta r: y + kt halla k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. x t La bisectriz del segundo cuadrante es x y (en paramétricas). Su vector director es d y t (, ). El vector director de r es r (, k). Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores directores deben ser proporcionales: k k 6 En el triángulo de vértices A(, ), B (, ), C (, 4), halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b) La mediana que parte de B. c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, h B, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: h B AC (, 7) el vector director de h B es h B (7, ) B (, ) h B x t x + 7t h B : 7 x y y + t 7 t y h B : x 7y 8 0 b) m B (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC: + m (, ) (, ) m B B (, ) m B 4 9 m B (, + ) (, ) es vector director de m B. Luego: x + m B : y + 9 t t x 0 + 9t t y Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 0

21 x 0 t 9 x 0 y m B : 6x 8y 0 t y 9 c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: CA (, 7) z vector director de z: z (7, ) 4 + m' (, ) (, ) z x x + 7t t 4 x y + z: 4 0 y + t t y + 0 z: 0x 8y 4 0 z: x 7y La recta x + y 6 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB. Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación. Y A B X x + y 6 0 A r I eje Y: y 6 0 y A (0, ) x 0 x + y 6 0 B r I eje X: x 6 0 x B (, 0) y 0 AB (, ) m AB (mediatriz de AB) m AB (, ) m AB (, ) (, ) (punto medio de AB) mediatriz y ( x ) y x m AB 4 : 6x 4y 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

22 8 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(, ), B(, 4), en tres partes iguales. Si P y Q son esos puntos, AP AB. Escribe las coordenadas de AP y de AB y obtén P. Q es el punto medio de PB B A P Q AP AB (x +, y ) (7, ) 7 x + x P (, ) y y + 7 Q es un punto medio de PB Q ( / + + 4, ) Q 8 (, ) 9 Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que PQ QR 0, siendo Q(, ) y R(, )? PQ QR ( x, y) ( 4, ) 9 x 8 x P ( 7, 0 ) 6 y 6 0 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices: A(, 8) B(, ) C(, 0) D(, 6) A S D P R y 0 B 7 Q C P (, ) (4, ) Q (, ); R (0, ); S (, 7) PQ ( 4, ) (, 4) SR (0, 7) (, 4) SP (4, 7) (, ) RQ ( 0, ) (, ) PQ SR SP RQ Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

23 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(, ) a la recta r: x y Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r. P (, ) r : x y P' (x, y) s Sea s la recta perpendicular a r desde P y r (, ) vector director de r. Así, PP' r el vector director de s, s, también es perpendicular a r ( s r ), luego podemos tomar s (, ). Como P (, ) s: x + t t x y + s: x x + y + y t t y + s: x + y 0 El punto P' (x, y) es tal que: P' s I r Sustituyendo en la segunda ecuación: x ( x) x + 4x Luego: P' (, ) s: x + y 0 y x r: x y x y ( ) 8 Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son AB: x + y 4 0, AC: x y 0, BC: x + y 0. Halla: a) Los vértices del triángulo. b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es paralelo a BC. b) Las coordenadas de BC deben ser proporcionales a las del vector que has hallado. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

24 A B C a) A AB I AC B AB I BC C AC I BC A: AB: x + y 4 0 AC: x y 0 Sumamos las ecuaciones: x 4 0 x Sustituyendo en AC: y 0 y Luego: A (, ) B: AB: x + y 4 0 BC: x + y 0 x y Luego: B ( 4, 4) y + y 4 0 y 4 x 4 C: AC: x y 0 BC: x + y 0 x y Luego: C (0, 0) y y 0 y 0 x 0 b) El punto medio de AB es M AB (, ). El punto medio de AC es M AC (, ). M AB MAC (, ) BC (4, 4) Así, M AB MAC // BC, pues: M AB MAC BC Halla el área del cuadrilátero de vértices: A( 4, ), B(0, ), C(4, ) y D(, ) Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

25 B (0, ) A ( 4, ) D (, ) C (4, ) La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: AC (8, ) 89 Sean h B y h D las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: h B dist (B, r) y h D dist (D, r) donde r es la recta que contiene el segmento AC. Tomando como vector director de r el vector AC, la ecuación de dicha recta es: x + 8y + k 0 Como ( 4, ) r k 0 k 4 r: x + 8y 4 0 Luego: h B dist (B, r) h D dist (D, r) ( ) + 8 ( ) Así: b h A ABCD A ABC + A ADC B b h + D b (h B + h D ) 89 6 ( + ) Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x s: x + y 6 0 t: x y 7 0 r A s C B t Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

26 x A r I s 6 + y 6 0 y 0 x + y 6 0 Luego: A (, 0) x B r I t y 7 0 y 4 x y 7 0 Luego: B (, 4) x + y 6 0 C s I t x y 7 0 x y + 7 (y + 7) + y 6 0 y y 6 0 y y 8 7 x Luego: C (, ) Consideramos el segmento AB como base: AB (0, 4) La altura desde C es h C dist (C, r) ( 8/) + 0 Así: AB h C 4 / Área 46 Página 09 Traza, por el punto B(0, ), una recta de pendiente /. Por el punto C(, 0), traza una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto A. Halla el área de triángulo ABC. r B (0, ) A (, 6) r C (, 0) Sea r la recta por A y B. Su pendiente es m r r: y x + Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6

27 Sea s la recta por A y C. Su pendiente es m s (pues r s): s: y 0 (x ) s: y x + y (/)x + A r I s x + x + y x + 0 x 0 x y + 6 Luego: A (, 6) La base del triángulo es: AB (, ) 0 La altura es: AC (, 6) 40 0 AB AC 0 0 El área es: A ABC 0 6 En el triángulo de vértices A(, ), B(, 4) y C(4, ), halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B. Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M (, 0) BM (, 0 4) ( ), 4 La longitud de la mediana es: BM / Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. AC (, ) la recta que contiene ese segmento es: x + t x + y + r: x y 0 y + t v (, ) AC la recta s r que pasa por B: x t x y 4 s: x + y 8 0 y 4 + t r: x y 0 P r I s s: x + y 8 0 Multiplicamos la primera por y la segunda por, y sumamos: 4x 0y 6 0 x + 0y x 96 0 x 96 9 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7

28 y 0 y y : 9 96 Luego: P (, ) 9 Así: h B BP (, ),8 7 Halla el punto de la recta x 4y que equidista de A( 6, 0) y B(0, 6). P r A ( 6, 0) B (0, 6) P (x, y) debe verificar dos condiciones:. P (x, y) r x 4y dist (A, P) dist (B, P) (x + 6) + y x + (y + 6) x 4y x 4y x + x y x + y + y + 6 x y x 4x x 8 y P (8, 8) 8 Determina un punto en la recta y x que diste unidades de la recta x y P (x, y) r: y x dist (P, r'), donde r': x y y x x x + 8 x + 8 x y dos posibilidades: x x 0 8 x x 0 8 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 8

29 y P ( 8, 6 6) y P ( 0 8, 6 0 6) r' P P r 9 Halla los puntos de la recta y x + que equidistan de las rectas x +y 0 y 4x y + 0. Sean r, r y r las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan: P r y x + dist (P, r ) dist (P, r ) x + y x + ( x + ) 4x ( x + ) + 4x y + 0 6x x, o bien x 6x x 6x + x 6x, o bien 8x x /8 x 6x + 4x x /4 y y P (, 8 8 ) P (, ) 4 40 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + y 6 0 y 4x + y + c 0 sea igual a. Sea P r donde x 0 0 y 0 P (0, ) r 4 Así, dist (r, r ) dist (P, r ) c c 6 + c c c c Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

30 4 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(, ) y B(4, ). El vértice C está en la recta x y Halla las coordenadas de C y el área del triángulo. La recta del lado desigual (base) tiene como vector director AB (, ): x + t x y + r: r: x y 0 y + t La recta que contiene la altura tiene por vector director a (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por m (, ) : x / t x y h c : y / + t 0 6 h c : x + 0y 40 0 h c : 6x + 0y 0 0 C s I h c donde s: x y x y x + 0y 0 0 x x + 0 x Luego: C (, ) base altura AB Cm Área (*) AB (, ) AB 6 4 Cm (, ) Cm 6x + y 6 0 6x + 0y 0 0 y 6 0 y (*) 4 ( 80/6) 4, Dos casas están situadas en los puntos A(4, 0) y B(0, ). Se quiere construir un pozo que esté a la misma distancia de A y de B, y a 8 m de una tubería que une A y B. Cuál es el lugar adecuado? La recta que une A y B tiene por vector director: x 4 4t x 4 y AB ( 4, ) r: r: x + 4y 0 y t 4 El pozo debe estar en un punto P (x, y) tal que: Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 0

31 dist (P, r) 8 dist (P, A) dist (P, B) x + 4y x + 4y (x 4) + y x + (y ) x 8x y x + y 6y + 9 x + 4y 40 8x + 6 6y + 9 x 6y y y 40 8y + + y y 7 0 0y 7 0 0y (79/0) + 7 ( )/0 y x ( 49/0) + 7 y x Luego: P (, ), P 4 49 (, ) (Son dos puntos de la mediatriz del segmento AB). P B A P 4 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y forma un ángulo de 4 con la recta: x + y 6 0. r: x y 9 0 s: x 0 x y 9 0 P r I s: 9 y 9 0 y 0 x 0 Luego: P (, 0) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

32 Como la recta pedida y x + y 6 0 forman un ángulo de 4, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m y m, se verifica: m m tg 4 + m m ( /) m + ( /) m m m m m, o bien ( m ) m 4m 6 m 6/4 6m 4 m 4/6 6 Hay dos posibles soluciones: t : y 0 (x ) t : y x t : y 0 (x ) t : y x Dadas las rectas: r: x y 7 0 s: x ky 8 0 Calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60. Halla la pendiente de r. La pendiente de s es /k. Ten en cuenta que obtendrás dos soluciones. Las pendientes de r y s son, respectivamente: m r y m s Entonces: / /k tg 60 k + / /k k + 6 k dos casos: (k + 6) k k + 6 k (k + 6) k k 6 k k 6, k + 6 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

33 4 Las rectas r: x y + 6 0, s: x + y 6 0 y t: x y 4 0 son los lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos. m r Y m s ; m t / ( ) + / ( ) tg (r, s) Luego: (r, s) 60 ' 8,4" 7/ 7 4 t r s X / / + / / tg (r, t) 6 Luego: (r, t) 4 0' 0,7" Por último, (s, t) 80 (r, s) (r, t) 8 4' " 46 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(, ), B(8, ) y C(, 4). Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso. AB (, ); BA (, ) Y AC (6, 6); CA ( 6, 6) A (, ) BC (, ); CB (, ) cos ^A AB AC ,868 0 AB AC 7 C (, 4) X B (8, ) Luego: ^A 9 44' 4,6" cos ^B BA BC 9 0,69 0 BA BC 4 Luego: ^B 46 ' 7,9" Así, ^C 80 ( ^A + ^B) 04 ' 0," Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

34 47 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, ) y forma un ángulo de 0 con la recta x. La recta que buscamos forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. r Y La recta r forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. Su pendiente es: (0, ) 60 0 x 0 X m tg 60, o bien m tg 0 Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, ), las posibles soluciones son: r : y x + r r : y x + 48 La recta x + y 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es (, ). Halla las ecuaciones de los lados del ángulo. Las pendientes de las tres rectas son: m b, m r, m r' r V (, ) 4 4 b: x + y 0 r' tg 4 m b m r + m b m r m r m r m r + m r' m r' m r' / r: y ( x + ) y x + m r m r r': y ( x + ) y x + 6 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

35 49 Encuentra un punto en la recta x y 6 0 que equidiste de los ejes de coordenadas. Eje X: y 0 Eje Y: x 0 P (x, y) r dist (P, eje X) dist (P, eje Y ) x y 6 0 y x dos casos: x y 6 0 x y x y y y 6 0 y 6 x 6 y y 6 0 y x P ( 6, 6) P (, ) Y r X P P 0 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(, ) y forman un ángulo de 60 con la recta x y. b: x y su pendiente es m b m + m tg 60 + m m m + + m m m + Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): m + m r : y (x + ) + + r : y (x + ) + ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

36 Un rayo luminoso parte del punto P(, 4) y se refleja sobre el eje de las abscisas en el punto Q(, 0). Halla la ecuación del rayo reflejado. Sea β el ángulo que forma PQ con el eje X. Como PQ (, 4): 4 tg β Por otra parte, α 80 β tg α tg (80 β) tg β tg α 4 Y P r ;;; α α ;;; Q X ;;; 4 Como la pendiente de r es m r tg α y esa recta, r, pasa por Q (, 0): r: y 0 (x ) r: y x Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A(, ) y B (, 6) y halla la ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distancia entre A y B. vector director AB (, ) x + t r: r: pasa por A (, ) y + t x y x y + 0 r: x y + 0 s // r m s m r y x + c s: x y + c 0 dist (r, s) dist (A, s) dist (A, B) + c + ( ) AB + c 8 s : x y s : x 0 + c 6 c c 6 c 6 + Halla el punto simétrico de P(, ) respecto a la recta x y 4 0. PP' v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector director de la misma. PP' v 0 (x, y ) (, ) 0 (x ) + (y ) 0 x + y 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6

37 Además, el punto medio de PP', m, debe pertenecer a la recta. Luego: x + y + m (, ) r x + y x + y 8 0 x y 9 0 Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: x + y 0 x y 9 0 x 9 + y (9 + y) + y y + y 0 y x 9 + ( ) 9 6 Luego: P' (, ) 4 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(, ) y D(, ). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo. Sea A eje Y A (0, y ) y sea el punto C (x, y ). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC BD. Y C B (, ) M X D (, ) A M (, ) (, ) es el punto medio de BD (y de AC). Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): BD ( 8, 4) d (4, 8) es vector director de d M (, ) d La pendiente de d es m d 8 4 M (, ) d d : y + (x + ) y x Así: y x A d I eje Y: y A (0, ) x 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7

38 M es punto medio de AC (, ) (, ) x + y y Área x AC BD AC (, 4) 0 BD ( 8, 4) 8 4 En el triángulo de vértices A(, ), B(, ) y C(4, ), halla el ortocentro y el circuncentro. El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. ORTOCENTRO: R h A I h B I h C donde h A, h B y h C son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente). a BC (, ) a (, ) x + t h A h A : A h A y + t x + y h A : x y + 0 b AC (7, ) b (, 7) x + t h B h B : B h B y + 7t y x h B : 7x y C (, ) 0 + x + y c AB ((4, ) c (, 4) x 4 + t h C h C : C h C y 4t Área 4 0 y x 4 h C : 4x + y Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: h B I h C : 7x y 4 0 4x + y 7 0 Sumando: x 0 x y 7x R (, ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 8

39 NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h A. Basta con sustituir en su ecuación. CIRCUNCENTRO: S m A I m B I m C, donde m A, m B y m C son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente). a BC a (, ) m A Punto medio de BC: m (, ) m A y ( x ) y x c AB (4, ) c (, 4) m C Punto medio de AB: m' (, ) m C y 4(x + ) y 4x 7 4 Así: 7 y x 7 4 S m A I m C : x 4x 4 y 4x 6x 7 6x 6 x x 4 y 4 7 Así, S (, ). 7 NOTA: Se podría calcular m B y comprobar que S m B. 6 La recta x + y 4 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo. r: x + y 4 0 O (0, 0) A (x, y) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

40 Un vector director de la recta es el v (, ). Debe verificarse que: v OA v OA 0 (, ) (x, y) 0 x y 0 x y Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: x y M (, ) r y y y + y 8 0 x y 6 8 Luego: A (, ) 8 8 y x 6 Página 0 7 Los puntos P(, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices. b) Los ángulos del paralelogramo. P (, 4) Y S O X Q (6, 0) R a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (, 4), S ( 6, 0) b) PQ SR (8, 4) QP RS ( 8, 4) PS QR ( 4, 4) SP RQ (4, 4) cos ^P PS PQ + 6 0,6 ^P 08 6',8" ^R PS PQ 80 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 40

41 ^ S 60 ( ^P + ^R) 7 ' 4" ^Q NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores: cos ^S SP SR 6 ^ 0,6 S 7 ' 4" SP SR 80 8 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y 0 y x y y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r : x + y 0 x + y 0 r : x y x + y 4 0 y 6 0 y x + 0 x 0 Luego un vértice es A (0, ). El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s // r una recta que pasa por C y s // r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre s las que están los otros lados. A r B Así, los otros vértices, B y r D, serán los puntos de corte de: r I s B r I s D D C s x + y + a 0 s : s : x + y 6 0 C s a 0 a 6 x y + b 0 s : s : x y 6 0 C s b 0 b 6 x + y 0 B r I s : x y 6 0 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación x y en la segunda y y y x B (, ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

42 D r I s : y x D (, ) x + y x + y 6 0 x 6 y 6 y y Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + y y x + 4y 9 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r) dist (P, s): x x + 6 x 9 x P (, 0), P (, 0) 60 Dada la recta r: x y 4 0 y el punto P(, ), halla los vértices de un cuadrado que tiene en P uno de sus vértices y un lado sobre r. Traza la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte, Q. Halla la paralela a r que pasa por P y las paralelas a PQ a una distancia igual a PQ. Hay dos cuadrados. Un segundo vértice estaría en el punto de corte de r con la perpendicular a r por P, s (de vector director (, )). s: x + y + C 0 P (, ) s + + C 0 C s: x + y 0 x y 4 0 Así: Q s I r x + y 0 Resolvemos el sistema y obtenemos Q (, ). Un tercer vértice estará en una recta t, t // r, que pase por P (, ). Entonces: t: x y + k 0 P (, ) t 4x + 6 (x 9) x /7 + k 0 k t: x y + 0 4x Así, el tercer y cuarto vértices serán los puntos de corte de la recta paralela (hay dos soluciones) a s a una distancia igual a PQ, con t y con r, respectivamente. Sea m // s x + y + M 0, con: dist (P, m) dist (P, Q) + + M + ( ) + M + M + M M m : x + y M M 8 m : x + y Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

43 Calculemos, por último, los vértices R y S (habrá dos soluciones para cada uno): R m I r (4 + y) + y + 0 y 0 y x 0 Luego: R (0, ) R m I r (4 + y) + y 8 0 y 0 y 0 x 4 Luego: R (4, 0) S m I t (y ) + y + 0 y 0 y 0 x Luego: S (, 0) S m I t (y ) + y 8 0 y 0 y x Luego: S (, ) x + y + 0 x y 4 0 x 4 + y x + y 8 0 x y 4 0 x 4 + y x + y + 0 x y + 0 x y x + y 8 0 x y + 0 x y Por tanto, hay dos cuadrados: PQR S y PQR S NOTA: Podríamos haber calculado S y S teniendo en cuenta que el punto medio de las dos diagonales coincide. 6 Halla el punto de la recta x 4y 0 que con el origen de coordenadas y el punto P( 4, 0) determina un triángulo de área 6. Si tomamos como base PO 4, la altura del triángulo mide. El punto que buscamos está a unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones. Los vértices son O (0, 0), P ( 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: OP h 4 h Área 6 h El punto Q (x, y) r x 4y 0 y debe verificar que d (Q, OP). La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector director por (0, 0). Luego es el eje X: y 0. OP ( 4, 0) y pasa Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

44 Así: x 4y 0 y y 0 + y x 4 0 x x 4( ) 0 x Luego hay dos triángulos, OPQ y OPQ, donde: Q (, ) y Q (, ) 6 Dados los puntos A(, ) y B(4, 0), determina un punto C tal que AC BC. Halla la recta que pasa por C y tiene pendiente igual a. Llama D al punto de corte de esa recta con el eje de ordenadas. Demuestra que el área del triángulo ACD es el doble de la del triángulo BCD. AC BC (x +, y + ) (x 4, y 0) x + x 8 x 0 C (0, ) y + y y r: y (x 0) y x 9 D r I eje Y D (0, 9) Área ACD Área BCD AC h D BC h' D Pero como C es tal que AC BC, entonces: A, B y C están alineados h D h' D Luego: AC BC 48 7 AC h Área ACD D BC h' D Área BCD Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 44

45 6 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x y + 0 y x y 0 con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles y halla su área. x y + 0 Sean: A r I eje OX: x A (, 0) y 0 x y + 0 B r I eje OY: y B (0, ) x 0 x y 0 C s I eje OX: x C (, 0) y 0 x y 0 D s I eje OY: y D (0, ) x 0 Calculamos los vectores dirección de los lados: AB (, ) BC (, ) CD (, ) DA (, ) DA BC BC // DA AB CD Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como AD (, ) y x AD: x + y + 0, D (0, ) h dist (B, AD) Así: BC+ DA + 9 Área La recta x + y 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, ) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla su área. s//r: x + y 0 x + y + k 0 P (0, ) s Luego s: x + y k 0 k Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

46 Sean: x + y 0 A r I eje X: y 0 x A (, 0) x + y 0 B r I eje Y: x 0 y B (0, ) x + y 0 C s I eje X: y 0 x C (, 0) x + y 0 D s I eje Y: x 0 y D (0, ) AB (, ); CD (, ) AB+ CD AB+ CD Área h dist (A, s) Los puntos A(, ) y B (, ) son vértices de un triángulo de área 8. El vértice C está sobre la recta x + y 0. Hállalo. AB h Área 8 (, ) h 6 h 6 8 h 6 h dist (C, AB) AB (, ) pendiente m A (, ) AB AB: y x 7 AB: x y x y 7 h dist (C, AB) 6 6 C : x y 7 6 x y 7 6 hay dos soluciones: x y 7 6 r: x + y 0 y x AB: y + (x ) x + x 7 6 7x x 6 6 y C (, ) x y 7 6 C : r: x + y 0 y x x + x 7 6 7x 7 x y 4 C (, 4) 7 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 46

47 66 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(, 4) y B(, 6), dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. Cuáles son las coordenadas de P? y x d (P, OX ) d (P, OY ) y x y x AP PB (x ) + (y 4) ( x) + (6 y) x + 9 6x + y + 6 8y x + + 0x + y + 6 y 6x 8y + 0x y + 6 6x 4y x y Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y x 9 P : 4x x x y 9 4x y Luego: P ( 9, 9) y x 9 P : 4x + x x y 4x y Luego: P (, ) 67 De todas las rectas que pasan por el punto A(, ), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es. La ecuación y + m(x ) representa a todas esas rectas. Pásala a forma general y aplica la condición d(o, r). Esas rectas tienen por ecuación: y + m (x ) mx y + ( m) 0 m m + d (0, r) m m m m + + ( m) m m 4m m + 4 4m m 4 68 Dado el triángulo de vértices A ( 4, ), B (, ) y C (, ), halla las ecuaciones de las rectas r y s que parten de B y que cortan a AC, dividiendo al triángulo en tres triángulos de igual área. La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: A B Y r s C X Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47

48 OP O A + O C ( ), ; OQ OC + O C 8 (, 0) La recta r es la que pasa por B y por P: 6 m 8 ( /) ( ) (/) y 8 (x + ) r: 8x + y + 0 La recta s es la que pasa por B y por Q: 0 m ( ) (8/) ( /) y (x + ) y x s: x + y Dada la recta r: x y + 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r, respecto al eje OX. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (, ) y B (, ) Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (, ) y B' (, ) La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': ( ) + m La recta r' es: y (x ) y 9 x + 4 x + y + 0 De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: x ( y) + 0 x + y + 0 Página CUESTIONES TEÓRICAS 70 Prueba que si las rectas ax + by + c 0 y a'x + b'y + c' 0 son perpendiculares, se verifica que aa' + bb' 0. El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c 0. El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' 0. Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) (a', b' ) 0; es decir, aa' + bb' 0. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 48

49 7 Dada la recta ax + by + c 0, prueba que el vector v (a, b) es ortogonal a cualquier vector determinado por dos puntos de la recta. Llama A (x, y ) y B (x, y ) y haz v AB. Ten en cuenta que A y B verifican la ecuación de la recta. Si A(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c 0 Si B(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c 0 Restando las dos igualdades: a(x x ) + b(y y ) 0 Esta última igualdad significa que: (a, b) (x x, y y ) 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al vector AB, siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta. 7 a) Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el término independiente? b) Y si falta el término en x? c) Y si falta el término en y? a) La recta pasa por (0, 0). b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX). c) Es una recta vertical (paralela al eje OY). 7 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x, y ) y Q(x, y ) puede escribirse de la forma: y y x x y y x x Un vector director de la recta es P (x, y ). PQ (x x, y y ) y un punto de la recta es Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x x + (x x ) t t y y + (y y ) t t x x x x y y y y x x y y y y x x y y x x y y x x o, lo que es lo mismo: y y x x y y x x Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49

50 74 Demuestra que si una recta corta a los ejes en los puntos (a, 0) y (0, b), su ecuación es: x y + a b Como A (a, 0) y B (0, b) son dos puntos de la recta, podemos tratar como vector director AB ( a, b). La pendiente de la recta será: b m a Luego su ecuación es: b y x + b (ecuación implícita) a bx + ay ab Dividimos entre a b los dos miembros de la ecuación: bx ay ab x y + + ab ab ab a b 7 Dada la recta r: Ax + By + C 0 y un punto (x 0, y 0 ) que no pertenece a r, estudia la posición de estas rectas con respecto a r: s: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) 0 t: B(x x 0 ) A(y y 0 ) 0 s: A (x x 0 ) + B (y y 0 ) 0 Ax + By Ax 0 By 0 0 A B Como : A B C Si coinciden r y s Ax 0 By 0 C Si son paralelas r // s Ax 0 By 0 Es decir: Si Ax 0 + By 0 + C 0 coinciden; pero esto significará que (x 0, y 0 ) r, lo cual es falso. Por tanto, r s. Si Ax 0 + By 0 C r // s. Ahora bien, como (x 0, y 0 ) r Ax 0 + By 0 + C 0 Ax 0 + By 0 C Por tanto, r // s. t: B (x x 0 ) A (y y 0 ) 0 Bx Ay + Ay 0 Bx 0 0 El vector director de t es t (A, B) y el de r es r (B, A). Luego t r (pues t r 0). Además, (x 0, y 0 ) t, pues verifica su ecuación. Por tanto, t es la recta perpendicular a r que pasa por el punto (x 0, y 0 ). Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 0

51 76 Cómo varía la pendiente de la recta Ax + By + C 0 si se duplica A? Y si se duplica B? Y si se duplica C? A t: Ax + By + C 0 m t B r: Ax + By + C 0 m r A s: Ax + By + C 0 m s m s (la pendiente se reduce a la mitad) B A n: Ax + By + C 0 m n m r (la pendiente no varía) B 77 Demuestra que las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(x, y ) B(x, y ) C(x, y ) son: x G ( + x + x y, + y + y ) GM BG; M es el punto medio de AC. El baricentro (punto donde se cortan las medianas) verifica, para cualquier triángulo de vértices A, B, C que BG GM, donde G es el baricentro, G (x, y), y M es el punto medio de AC. Así: x (x x, y y ) ( + x y x, + y y) x x y y x + x x y + y y A B m t m r (la pendiente se duplica) m r x x x + x x y y y + y y x x + x + x x x + x + x Luego: y y + y + y y x G (x, y) ( + x + x y, + y + y ) y + y + y PARA PROFUNDIZAR 78 Un rombo tiene un vértice en el punto (6, ) y una diagonal que mide sobre la recta x + y 0. Halla los otros tres vértices. A (6, ) r: x + y 0, pues no verifica la ecuación. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

52 Entonces, la diagonal que está en r y que mide al rombo), pues es la que no contiene al punto A. será BD (llamando ABCD Así, BD La otra diagonal, AC, es perpendicular a r y pasa por A. Sea s la recta que contiene dicha diagonal. Será: s: x y + G 0 Como A (6, ) s 6 + G 0 G 4 s: x y 4 0 Y t s D A(6, ) t X M C B r: x + y 0 El punto de corte de ambas rectas será el punto medio de las diagonales, y punto donde se cortan: M r I s x + y 0 x y 4 0 x 4 + y 8 + 4y + y 0 y x M (, ) Además, M es el punto medio de ambas diagonales. Luego M es punto medio de AC: 6 + C (, ) (, ) Luego: C (, ) + C 6 + C C + C C B y D están en las rectas que equidistan de AC. Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que: BD x y 4 d (P, s) x y 4 t : x y 9 0 x y 4 t : x y + 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

53 Así: x y 9 0 B t I r: x + y 0 (9 + y) + y y + y 0 y + 0 y x 9 + ( ) B (, ) x y + 0 x + y D t I r: x + y 0 ( + y) + y 0 + 4y + y 0 y 0 y x + D (, ) 79 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + y 6 0 y uno de sus vértices es A(, ). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal. Se comprueba que A s Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r s: x y + G 0 Como A r G 0 G 9 r: x y C r Y s: x + y 6 0 D M B t A(, ) t X M r I s será el punto medio de las dos diagonales: x y x + y 6 0 x 6 y (6 y) y y y y x 6 6 Luego: M (, ) M es el punto medio de AC (, ) (, ) + C C C (, 4) + C C 4 + C + C Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

54 B y D están en las rectas que equidistan de AC. Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que: BD AC d (P, r) pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir: AC 6 d (P, r) (, ) x y x y + 9 6/ 6 x y + 9 6/ Así: t : x y 4 0 t : x y + 0 B t I s: 0 y y 4 0 y x B (, ) D t I s: x y 4 0 x + y 6 0 x 6 y x y + 0 x + y 6 0 x 6 y 0 y y + 0 y x 4 D ( 4, ) La longitud de la diagonal será: AC BD 6 80 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(, ) y B(4, ). Calcula los otros vértices. Cuántas soluciones hay? D A D r C B C t s C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distancias a B y A, respectivamente, son AB: AB (, 4) s: x + 4y + k k 0 k 4 Como B s s: x + 4y 4 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

55 AB (, 4) r: x + 4y + k' k' 0 k' 7 Como A r r: x + 4y 7 0 AB (, 4) t: 4x y + k" 0 + k" 0 k" Como A t t: 4x y 0 C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es AB 7. Sean P (x, y) tales que: 4x y d (P, t) 7 7 Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así: C t I s 4x y 7 4x y 7 4x y 8 0 x + 4y 4 0 x 4 4y 96 6y y 8 0 y 4 x 8 C (8, 4) t : 4x y 8 0 t : 4x y C t I s 4x y x + 4y 4 0 x 4 4y 96 6y y y 6 x 0 C (0, 6) D t I r 4x y 8 0 x + 4y 7 0 x 7 4y 8 6y y 8 0 y 0 x 7 D (7, 0) D t I r 4x y x + 4y 7 0 x 7 4y 8 6y y y x D (, ) Y C B C D A D X Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

56 8 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A(, ) y C (, ). Halla los vértices B y D y el perímetro del rombo. Y B C(, ) X A(, ) D AC (4, 4) AC 4 Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será: Perímetro 4 AC 6 Los otros dos vértices están en la perpendicular a AC por ser su punto medio M (, 0). La recta AC tiene por vector director (, ) x y + k 0 Como, además, A (, ) recta AC + + k 0 k AC: x y + 0 La recta s perpendicular a AC será: s: x + y + k' 0 Como M (, 0) s + k' 0 k' s: x + y + 0 Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vértice A sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4. (x, y) s x + y + 0 x y (x + ) + (y + ) 4 (x + ) + (y + ) ( y) + (y + ) 4 + y 4y + y y y 4 y y x y x + Luego, los vértices B y C son: (, ) y ( +, ) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6

57 8 Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(, ) y forma con la parte positiva de los ejes de coordenadas un triángulo de área 6. Las rectas que pasan por P (, ), tienen de ecuación: y m (x ) Y A O P(, ) B r X Los vértices A y B serán los puntos de corte de la recta con los ejes: x 0 y m y m y 0 0 mx m x m Luego: A (0, m) y B (, 0) base altura Como Área Tomando como base OA y altura OB: m ( m) ( m ) m 6 ( m) ( ) 9m + 6m m 9m + 6m m 9m 6 ± m + 0 m Luego la recta es: r: y (x ) r: y x + 0 m m m m 8 Determina la ecuación de una recta de pendiente que forma con los ejes un triángulo de área igual a 8. Cuántas soluciones hay? Las rectas de pendiente tienen por ecuación: y x + k Los puntos de corte con los ejes, A y B, son: Si x 0 y k A (0, k) Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7