G E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A

Transcripción

1 G E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A. PUNTO MEDIO D E UN SEGME NTO. S IMÉTRICO DE U N PUNTO Sean A y a,a b B,b las coordenadas de dos puntos del plano que determinan el segmento AB. Las coordenadas del punto medio M =(x, y ) del a segmento vienen dadas por: b x a e b y Si el punto M x, y es el punto medio de AB entonces AB. Escribiéndolo en coordenadas tenemos que: x a, y a ) ( b a, b a ) ( AM a b x e y a b. Dado un segmento AB y M su punto medio, se dice que B es el simétrico de A con respecto a M o que A es el simétrico de B con respecto a M. Por lo tanto para calcular las coordenadas del simétrico de un punto respecto a otro podremos utilizar las expresiones del punto medio, puesto que el simétrico no es más que un extremo del segmento que tiene por punto medio a M. Ejemplos: ) Calcular las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(7,0) y B(,): 7 0 M(x,y) tendrá de coordenadas x 9 e y 6 M=(9,6) ) Calcular las coordenadas del punto simétrico de A(7,) con respecto a M(4,4): Sean A' (x',y') las coordenadas del simétrico de A con respecto a M. Como M es el punto medio del segmento AA podemos escribir, utilizando las coordenadas del punto medio: 4= 7+x' x '= 4= + y ' y'=6. Por lo tanto A =(,6). E C U A C I O N E S D E U N A R E C T A Para definir una recta r, tomamos en un sistema de referencia canónico los siguientes elementos: A a,a las coordenadas de un punto conocido de la recta r. v v, v ) las coordenadas del denominado vector director de la recta r. ( X=( x, y) las coordenadas de un punto cualquiera de la recta r. Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana -

2 Según el dibujo podemos escribir la siguiente expresión que determina la ecuación vectorial de la recta: uuu uuu OX OA lv Escribiéndolo en coordenadas: ( x, y)=(a,a )+λ (v, v ) Podemos calcular la posición de un punto cualquiera X de la recta a partir de un punto conocido A, y del vector director de la recta v, que determina su dirección en el plano. Separando en coordenadas obtenemos: Ecuaciones paramétricas de la recta r Despejando el parámetro l, e igualando, obtenemos: x a v = y a v Ecuación continua de la recta r Operando esta expresión: ( x a ) v v( y a ) xv av v y va xv v y av va Llamamos A=v,B= v y C= a v +v a. La ecuación queda: 0 Ax +By+C=0 Ecuación general o implícita de la recta r Observa que el vector director de la recta en esta forma de la recta es v=( B, A ) Despejando en la ecuación general la coordenada y, obtenemos: A By Ax C y x B C B y llamándole A m y B C n, esta expresión queda: B y=mx+ n Ecuación explícita de la recta r donde: - m es la pendiente de la recta, esto es la inclinación de la recta con respeto la parte positiva del eje X. - n es la ordenada en el origen, esto es el valor de la coordenada y cuando x= 0. Es el punto de corte de la recta con el eje Y. Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana -

3 Observa que la pendiente se puede calcular a partir de la ecuación general de la recta y del A v v vector director de la siguiente manera: m. B v v Además toda recta queda determinada por dos de sus puntos, ya que si A=(a, a ), y B=(b,b ), su vector director viene dado por: v b a v AB B A ( b, b ) ( a, a ) ( b a, b a ) y la pendiente m. v b a Ejemplos: ) Calcular las distintas expresiones de la recta que pasa por el punto A=(5, ) y tiene como vector director v=(, ). Ecuación vectorial: ( x, y )=(5, )+ λ(,) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: x 5 y (x 5)=( y+) x 0= y+9 Ecuación general: x y 9=0 y= x+9 Ecuación explícita: y 9 x ) Calcular las distintas expresiones de las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-,) y B(6,7). Vector director de la recta: AB B A ( 6,7) (,) (8,4) Ecuación vectorial: ( x, y)=(, )+ λ(8,4) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: x y x+8=8 y 4 Ecuación general: x y +8=0 Ecuación explícita: y x 4 Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana -

4 Ecuación punto-pendiente: Dados un punto y la pendiente de la recta podemos obtener una nueva expresión de la ecuación de la recta: Sean P(x 0,y 0 ) un punto de la recta y m su pendiente, respectivamente (ambos conocidos), y sea Q(x,y) un punto cualquiera de la recta. La pendiente de la recta la podemos calcular a partir de dos puntos, pues coincide con la tangente del ángulo que forma con la parte positiva del eje X: m= y y 0 x x 0 Despejando queda: y y 0 =m (x x 0 ) Ecuación punto-pendiente de la recta r Ejemplos: ) Escribir la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A=( 5, ) y tiene como vector director v=(, ). A partir del vector director podemos calcular su pendiente: m Entonces la ecuación punto-pendiente de la recta queda: y+= (x 5) Observa que a partir de ella podemos obtener fácilmente la ecuación general de la recta, operando de la siguiente manera: y ( x 5) ( y ) ( x 5) y 9 x 0 x y 9 0 ) Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(,) y B=(6,7). Vector director de la recta: AB B A ( 6,7) (,) (8,4) Pendiente :m= 4 8 = Ecuación punto-pendiente: y = (x+) ) Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A=( 4, ) y forma con el eje de abscisas un ángulo de 45º. Pendiente: m=tg 45 º= Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 4

5 Ecuación punto-pendiente: y +=( x+ 4 ). P A R A L E L I S M O Y P E R P E N D I C U L A R I D A D Cálculo de una recta paralela a otra dada: Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección, por lo tanto sus vectores directores son iguales o proporcionales, y del mismo modo sus pendientes son iguales. Ejemplo: A=(4, ) Calcular la recta paralela a r x+5 y 4=0, que pasa por el punto Por ser paralelas tienen la misma dirección y pendiente: Vector director de r: v=( B, A )=( 5,), y pendiente: m 5 Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela a r pasando por A será: y ( x 4) 5 5( y+)= ( x 4 ) 5 y +5= x+8 x +5 y+7=0 Otra forma más sencilla de calcular la recta paralela: Por ser paralelas entre sí, sus vectores directores son proporcionales, por lo tanto los coeficientes A y B de la ecuación general de la recta serán iguales o proporcionales. Por lo tanto, dada r Ax By C 0 una recta, con A, B y C conocidos, cualquier paralela a ella será de la forma: Ax By K 0, K En el ejemplo anterior, r' será de la forma x + 5y + K=0. A(4,-) es un punto de r', con lo que sustituyendo en la ecuación anterior x e y por las coordenadas de A tenemos que: 4+5 ( )+K = K=0 7+K=0 K=7 r ' x+5y+7=0 Recta perpendicular a una dada: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales. Sean r, s dos rectas perpendiculares: Recta r: vector director v v ( v, v ) pendiente de r: m r v Recta s: vector director u v, v ) pendiente de s: ( v v Multiplicando las dos pendientes: m r ms v v m s v v Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 5

6 Por lo tanto: m r Las pendientes son inversas y de signo contrario. m s Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta s, perpendicular a r 5x y 5 0, que pasa por el punto A=( 7,) Vector director de r: v 5 (,5) pendiente de r: m r, entonces: Vector director de s: u ( 5,) pendiente de s: m s = 5 La ecuación punto-pendiente de s: y ( x 7), y la ecuación general de la recta s: 5 5( y ) ( x 7) 5y 0 x x 5y 0 4. P O S I C I O N E S R E L A T I V A S D E D O S R E C T A S En el plano, las rectas pueden ser: - Paralelas, cuando tienen la misma dirección y no poseen puntos comunes. - Coincidentes, si tienen la misma dirección y todos los puntos son comunes. - Secantes, cuando sus direcciones son distintas y sólo tienen un punto en común que es el denominado punto de corte de las dos rectas. Considerando las rectas r Ax By C 0, con vector director v ( v, v ) y pendiente m, y s A x B y C 0 con vector director u u, u ) y pendiente m, tenemos: ( Posiciones Vectores directores Pendientes Paralelas Coincidentes v u (Proporcionales) m=m v u v u (Proporcionales) m=m v u Coeficientes ec. general A A = B B C C A A = B B = C C Secantes v u v u (No Proporcionales) m m A A B B Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 6

7 Observa que la posición relativa de dos rectas puede también estudiarse resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que constituyen las dos rectas. En este caso podremos obtener, un sistema compatible determinado (sol. única, las rectas son secantes y la solución es el punto de corte), un sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, las rectas son coincidentes) o un sistema incompatible (sin solución, las rectas son paralelas). Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las rectas x y 0 0 x y 6 Halla su punto de corte en el caso de ser secantes: A la vista de sus coeficientes,, podemos decir que las rectas son secantes. Consideramos el sistema: r y s 0. se cortan en P(,) 5. Á N G U L O D E D O S R E C T A S Se define el ángulo que forman dos rectas como el menor de los ángulos que forman sus vectores directores. Dos rectas secantes no perpendiculares entre sí forman dos ángulos agudos iguales ( ) y dos ángulos obtusos iguales ( ). Entonces para garantizar que calculamos el menor de los ángulos tomaremos en la fórmula del ángulo que forman dos vectores el valor absoluto: directores de r y s respectivamente. ^(r, s) = arc cos^( u, v), con u y v los vectores Recordemos que el ángulo que forman dos vectores se calcula a través de la definición de producto escalar: cos(^ u, v)= u v u v Ejemplo: Dadas las rectas r y 5=0 y s x + y+=0, calcular el ángulo que forman. ^(r,s) = arc cos^( u, v) u v cos(^ u, v) = u v = = u v= ( )+0 = u = +0 = v = + = Entonces^(r,s) = arc cos^( u, v) = arccos = 45º Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 7

8 6. C Á L C U L O D E D I S T A N C I A S Distancia entre dos puntos: Dados dos puntos del plano, P( p, p ) y Q=(q, q ), se define la distancia entre ellos como el módulo del vector que determinan estos dos puntos, es decir: Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos P=(, ) y Q=(, ) : PQ= Q P = (,) (, ) = (,4) PQ = +4 = 7 d( P, Q)= 7 Distancia entre un punto y una recta: Se define la distancia entre un punto P y una recta r como la menor de las distancias entre el punto P y los puntos de la recta r. Según el dibujo d( P, r) d( P, Q) siendo Q el punto de corte de la recta perpendicular a r que pasa por P. Podemos calcular también la distancia con la fórmula: d( P, r) Ap Bp A B C Ejemplo: Hallar la distancia del punto P (,4 ) a la recta r x y 0. ª forma: Calculamos la recta s perpendicular a r que pasa por P: r x y 0 v (,) m r ms y 4 ( x ) y 4 x x y 5 0 Calculamos el punto Q, intersección de r y s: donde r Ax By C 0 y P( p, p ) Por lo tanto, d( P, r) d( P, Q) Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 8

9 Ap Bp C ª forma: Utilizamos la fórmula: d( P, r) A B d( P, r) ( ) 4 ( ) 4 Distancia entre dos rectas paralelas: Observar que sólo es posible hablar de distancias entre dos rectas cuando estas son paralelas, en otro caso, la distancia sería nula. La distancia entre dos rectas paralelas r y s se define como la mínima distancia entre ellas, esto es la distancia entre un punto P de r y la recta s. Por lo tanto, calcularemos esta distancia remitiéndonos al caso anterior: d(r,s)=d( P,s) con P r Ejemplo: Calcular la distancia entre las rectas r x y 0 y s y x 5. Veamos primero la posición relativa de las dos rectas: Como m m, las rectas serán paralelas o coincidentes, pero como el punto r s P ( 0,0) r pero no a s, podemos concluir que ambas rectas son paralelas. ª forma: Tomamos un punto P de r: P=(0,0) 0 0=0 P=( 0,0) r Calculamos la recta perpendicular a s que pasa por P: s y x 5 ms m (pendiente de la recta perpendicular a s) y 0 ( x 0) y x x y 0 Calculamos el punto Q, intersección de la recta perpendicular con s: Por lo tanto, d(r,s)=d( P,s)=d( P,Q ) Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 9

10 ª forma: Utilizamos la fórmula: d (r,s)=d( P,s)= Ap +Bp +C A +B con P=(0,0) r d( P, s) 0 ( ) 0 5 ( ) E J E R C I C I O S. Hallar el punto medio de los segmentos AB que tienen por extremos: a) A(-,5), B(4,); b) A(7,-), B(-5,).. Calcular P el simétrico de P con respecto del punto M en los casos: a) P(4,-), M(-7,); b) P(,4), M(5,-).. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo tienen de coordenadas A (,0), B(0,4), C( 4,4). Calcular las coordenadas del vértice D. 4. Si A (4,8 ), B(,4 ), C (6,) son vértices consecutivos de un paralelogramo A, B, C, D, calcular las coordenados del vértice D. 5. Del paralelogramo de vértices consecutivos A, B, C, D se conocen las coordenadas de su centro M(-5,-) y las coordenadas de los vértices A(-9,-5) y B(-7,-6). Calcular las coordenadas de los otros dos vértices. 6. En el triángulo de vértices A(-,), B(,4) y C(5,), calcula: a) Los puntos medios de los lados, M, N y P. b) Las coordenadas de los vectores AN, CM, BP. 7. a) Halla las distintas ecuaciones de la recta r, que pasa por el punto P (,) y tiene como vector director v (,-). b) Halla tres puntos de r. c) Comprueba si los puntos A(7,-6) y B (-,7) pertenecen a r. 8. a) Halla las distintas ecuaciones de la recta, r, que pasa por el punto P (5,-4) y tiene como vector director v (-,). b) Halla tres puntos de r. 9. Halla las distintas ecuaciones de la recta r que pasa por: a) A(-,) y B(5,-), b) P(-,-) y Q (4,-). Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana - 0

11 0. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados y escribe sus ecuaciones generales: a) A(,-) y B (5,4); b) P(-,) y Q (5,)..Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto P(-7,) y forma un ángulo de 45º con el eje OX..Dada la ecuación general de las rectas x y 4 0 a) Comprueba si el punto P (-,5) pertenece a alguna de ellas. b) Indica sus vectores directores y sus pendientes. c) Calcula dos puntos de cada una de ellas. r y s 5x 4y 0 :.Dada la ecuación general de la recta r x y 6 0 : a) Indica su pendiente, su vector director y un vector ortogonal a este. b) La ecuación general de la recta s, paralela a r que pasa por el punto P (5,-). c) La ecuación general de la recta t, perpendicular a r que pasa por Q(,-). d) Cuál es la relación entre las pendientes de estas tres rectas? 4.Escribe la ecuación general de las rectas siguientes: a) Paralela a r x y 6 0 que pasa por P (,-). b) Perpendicular a s x y 0 pasando por Q(,-5). 5.Halla la ecuación general de la recta s, paralela a r x y 4 0, y que corta al eje de ordenadas en y=. 6.Halla la ecuación general de la recta s, perpendicular a r x y 0 en el punto donde r corta al eje de abscisas. 7.Calcula k para que las rectas 5x y 0 0 b) Perpendiculares. r y x ky 0 s sean: a) Paralelas, x 5 y x 4 t 8.Dadas las rectas r, s, t x y 0, estudia las 4 y t posiciones relativas de: a) r, s, b) r, t, c) s, t. Halla, cuando sea posible, su punto de corte. 9.En el triángulo de vértices A (,), B (6,0) y C(, 4 ), calcula: a) El circuncentro. b) La ecuación de la mediana que parte de B. c) El ortocentro. 0.Halla el ángulo que forman las rectas x t r y 4 t y s x y 0..Calcula la distancia que hay entre los siguientes pares de puntos: a) A ( 4,), B (5,6 ), b) P(,5 ),Q(,4 )..Calcula la distancia del punto P (-,4) a las rectas: a) r x y 0 0, b) s x y 5 0.Calcula la distancia entre los siguientes pares de rectas: Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana -

12 x y 5 0 a) x y 4 0 b) x y 0 x 4y Clasifica el triángulo de vértices A (,5), B( 6,0) y C(,) según la longitud de sus lados y calcula su área. 5.Halla la ecuación de las rectas paralelas a r x 4y 6 0 que distan de r unidades. 6.Determina el valor de k para que la distancia del punto P(-,) a la recta 4x y k 0 sea igual a. 7.Halla el valor de a para que la distancia del punto Q(,-4) a la recta r ax y 5 0 sea igual a. 8.a) Determina el punto de corte A de la recta x y 0 y la recta que pasa por B(,) y C(4,0). b) Desde A traza una perpendicular a BC y halla el punto de corte D, con el eje de ordenadas. c) Calcula el área del triángulo BCD. 9.Dado el triángulo de vértices A(-,-), B(4,) y C (5,-), escribe la ecuación de dos de sus medianas y calcula su punto de intersección (baricentro). 0.En el triángulo determinado por las rectas y x, y y 5x y 0 0, calcula sus vértices y su área..dados los puntos A(-,), B(-,-) y C (4,), comprueba que: a) ABC es un triángulo rectángulo isósceles. b) La altura relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa..los puntos A(,), B(4,6), C(-,4) y D (-,-) son los vértices de un rombo. Prueba que: a) Los cuatro lados son iguales. b) Los lados contrarios son paralelos. c) Las diagonales son perpendiculares entre sí y se cortan en el punto medio..halla el punto C de la recta r 4x 8y 7 0 que determina un triángulo isósceles con los puntos A(,) y B (,-), en el que AB es el lado desigual. 4.Dadas las rectas r x y 6 0 y s ax y 5 0, calcula el valor de a para que r y s formen un ángulo de 45º. 5.Los puntos A(-,-) y C (,) son vértices de un rombo que tiene el vértice B en el eje de ordenadas. Calcula los vértices B y D y el área del rombo. Matemáticas I Tema 8. Geometría métrica plana -