sea paralela al plano

Transcripción

1 x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B. b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B. 2. [ANDA] [EXT-B] Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r. b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas. 3. [ANDA] [JUN-A] Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C(-2,3,2). b) Calcula la distancia de r a s. x + 2y - z = 3 4. [ANDA] [JUN-B] Sea r la recta definida por 2x - y + z = 1 a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas. b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1,1,0). 5. [ARAG] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = 2 x+ mz = 3 : 2x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (2,1,1) a la recta r cuando m = 2. sea paralela al plano x = [ARAG] [EXT-B] a) Estudie la posición relativa de los planos: : x-y-z = 0 ; ': y = z = b) Determine la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto P= (1,0,1). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. -2x +z -1 = 0 7. [ARAG] [JUN-A] Dados el punto P (1,-1,0) y la recta: s: 3x -y -3 = 0 a) Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D = 0) que contiene al punto P y a la recta s. b) Determine el águlo que forman el plano : 2x+y-z+1 = 0 y la recta s. 2x-4z = 2 8. [ARAG] [JUN-B] Considere las rectas: r: x+y+z = 1 ; z: x 2 = y+2 a = z-(1/2) 1 a) Deteremine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de a. b) Si a = 2, determine el ángulo que forman las rectas r y s. x+y+z = 5 9. [ASTU] [EXT-A] Considere las rectas r 1 : x = z = 0 y r 2 : 2x-y+3z = 1. a) Estudie la posición relativa de r 1 y r 2. b) Encuentre, si es posible, un plano paralelo a r 1 y que contenga a r [ASTU] [EXT-B] Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano x+y-2z-1 = 0 con los eje coordenados. 11. [ASTU] [JUN-A] Considere el punto P(-1,0,1) y el plano : x-y+z+2 = 0. Calcule: a) Las ecuaciones de una recta que pase por el punto P y sea perpendicular al plano. b) La distancia d del punto P al plano. Página 1 de 5

2 12. [ASTU] [JUN-B] Se consideran los puntos en el espacio A(0,-1,2), B(2,2,3) y C(0,0,3). a) Halle la ecuación general o implícita del plano que pasa por A, B y C. b) Dé las ecuaciones de una recta perpendicular a pasando por A. 13. [C-LE] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación r a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. x-y+2 = 0 z = [C-LE] [EXT-B] a) Dados el punto A(3,5,1), la recta r x-1 = y+2 = z+1 y el plano 3x-2y+z+5 = 0, determinar el punto B de 2 tal que la recta AB sea paralela a la recta r. b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1, que sea perpendicular a los vectores PQ y PR, siendo P(1,3,-1), Q(2,0,1) y R(-1,1,0). 15. [C-LE] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 2 = y+6-1 = z+3 2. a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano. b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano. 16. [C-LE] [JUN-B] Calcular la recta contenida en el plano 1 x+y+z = 3, paralela al plano 2 x = 0, y que pasa por el punto simétrico de B(-1,1,1) respecto de [C-MA] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos: 1 x+y-z = 3 ; 2 x-y+az = -1 ; 3 ax+y-z = 5 b) Calcula, en función del parámetro a, la distancia entre los planos 1 y 3. x+2y-z = [C-MA] [JUN-A] a) Halla a para que las rectas r -x+y-3z = 2 y s x+y = 0 3x+2y+z = a b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y s. se corten en un punto. x+z = [C-MA] [JUN-B] Dados el plano x-y = 4 y la recta r, a, se pide: 2x+y+az = 0 a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y sean paralelos. b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y se corten perpendicularmente. c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano ' que contenga a r y corte perpendicularmente a. x+y-z = [CANA] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r x-2z = 1. a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la recta r. b) Hallar la ecuación general de un plano que para por el punto P y contenga a la recta r. 21. [CANA] [EXT-B] Determinar la posición relativa de los siguientes planos: x = y = 4+ z = , 2 x+y+z = 2, 3 x y z 1 1 = [CANA] [JUN-A] Dados los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1): a) Estudiar si los puntos A, B y C están alineados. b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento AB y que pasa por C. Expresarla como intersección de dos planos. Página 2 de 5

3 23. [CANA] [JUN-B] Determinar el valor de a para que la recta r de ecuación r x-ay+10z = -3. x-y+2z = 2 2x+y+z = 3 sea paralela al plano 24. [CATA] [EXT] Sean r y s las rectas de 3 que tienen las siguientes ecuaciones: r: x+5 = y-5 = z-3 2 y s: x-3 2 = y-2 3 = z+1-1. a) Estudie el paralelismo y la perpendicularidad entre las rectas r y s. b) Halle la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz = D) del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. Calcule la distancia entre la recta s y el plano obtenido. 25. [CATA] [JUN] Considere el punto A(1,2,3). a) Calcule el punto simétrico del punto A respecto de la recta de ecuación r: (x,y,z) = (3+,1,3- ). b) Calcule el punto simétrico del punto A respecto del plano que tiene de ecuación : x+y+z = [CATA] [JUN] Sean r y s las rectas de 3 de ecuaciones r: x-2 3 = y = z+1 y s: (x,y,z) = (1+2,3-,4+3 ), con. 4 a) Compruebe que los puntos medios de los segmentos que tienen un extremo situado sobre la recta r y el otro extremo situado sobre la recta s forman un plano. b) Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz = D) del plano del apartado anterior. 27. [EXTR] [EXT-A] a) Calcule el valor del parámetro k para que la recta r: x+y+z = 0 sea paralela al plano de ecuación x-y-z = 0 kx+y+kz = 1. b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, calcule la distancia de la recta r al plano. 28. [EXTR] [EXT-B] En 3, considere los cuatro puntos A=(0,1,1), B=(-2,0,-1), C=(-1,1,0) y D=(-2,2,1), y sea r la recta que pasa por C y por D. a) Obtenga ecuaciones paramétricas de r. b) Halle los puntos P de la recta r para los que el triángulo APB sea rectángulo en su vértice P. 29. [EXTR] [JUN-A] Considere en 3 x = 0 las rectas r: z = 0, s: x+y = 1 x-y = 1. a) Obtenga un vector director de la recta s. b) Obtenga el plano que contiene a r y es paralelo a s. c) Obtenga el plano que contiene a r y es perpendicular a s. 30. [EXTR] [JUN-B] a) Dado el plano 1 de ecuación z = 0, escriba las ecuaciones de dos planos 2 y 3 tales que los planos 1, 2 y 3 se corten dos a dos pero no exista ningún punto común a los tres. b) Clasifique el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos 1, 2 y [MADR] [EXT-A] Dados los puntos A(2,0,-2), B(3,-4,-1), C(5,4,-3) y D(0,1,4), se pide: a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD. 32. [MADR] [EXT-A] Dados los planos 1 2x-z-1 = 0 ; 2 x+z+2 = 0 ; 3 x+3y+2z-3 = 0, se pide: a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por 1 y 2. b) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano 3. Página 3 de 5

4 33. [MADR] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r a) Estudiar la posición relativa de r y. b) Calcular la distancia entre r y. c) Obtener el punto P' simétrico de P(3,2,1) respecto del plano. x = 1-2t y = 2-2t, se pide: z = 1+t x = [MADR] [JUN-A] Dados el punto P(1,0,1), el plano x+5y-6z = 1, y la recta r, se pide: z = 0 a) Calcular el punto P' simétrico a P respecto de. b) Hallar la distancia de P a r. c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y las intersecciones de con los ejes coordenados OX, OY y OZ. x = [MADR] [JUN-B] Dados el plano 2x-y = 2, y la recta r, se pide: y-2z = 2 a) Estudiar la posición relativa de r y. b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a. c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a. 36. [MURC] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: x+3y = 8 r: ; s: x 4y+z = 10 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. 37. [MURC] [EXT-B] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones siguientes: r: x-2 3 = y+4-4 = z+1 y : 7x-y = 8 0 a) Compruebe que la recta r corta al plano y calcule el ángulo que forman. b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano. 38. [MURC] [JUN-A] a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r: x+y+z = 1 -x-2y+z = 0 : -6x+ay+2z = 0. b) Demuestre que si a = -8, la recta r corta al plano en un punto y calcule dicho punto de corte. es perpendicular al plano 39. [MURC] [JUN-B] Dos de los tres vértice de un triángulo son A=(1,1,1) y B=(1,1,3). El tercer vértice C está en la recta r que pasa por los puntos P=(-1,0,2) y Q=(0,0,2). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 15 unidades cuadradas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. 40. [RIOJ] [EXT] Sean u = (1,a,a), v = (0,0,1), w = (1,1,a). i) Halla los valores de a para los cuales los vectores u, v y w son ortogonales. ii) Determina los valores de a para los cuales el vector w está en el plano que contiene a O(0,0,0) y tiene por vectores directores a u y v. 41. [RIOJ] [EXT-A] Consideramos el plano : x-y+ z = 0, y la recta r: x = 3+2t y = 1-t z = 1+3t, t. i) Estudia, según los valores de, la posición relativa de plano y la recta r. ii) Cuando y r se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto. Página 4 de 5

5 42. [RIOJ] [JUN] i) Determina los valores de a que cumplen la ecuación a a 1 42a = 0. ii) Halla un punto P de la recta y = 0 que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4), B(1,2,2) y C(1,1,2). z = [RIOJ] [JUN-A] Consideremos los puntos A(2,6,-3) y B(3,3,-2). i) Halla una ecuación para la recta r que contiene a los puntos A y B. ii) Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de A y B. iii) Halla el punto de intersección de la recta r con el plano x = [VALE] [EXT-A] Se dan los puntos A=(1,5,7) y B=(3,-1,-1). Se pide obtener razonadamente: a) Las ecuaciones de los planos 1 y 2 que son perpendiculares a la recta r que pasa por los puntos A y B, sabiendo que el plano 1 pasa por el punto A y el plano 2 pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A y B. b) La distancia entre los planos 1 y 2. c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, y los puntos de la recta r que están a distancia 3 del punto C=(1,0,1) x-y = [VALE] [EXT-B] Se dan las rectas r z = 10 y s x+y = 8. Obtener razonadamente: x+y+z = 13 a) Un vector director de cada recta. b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. c) La distancia entre las rectas r y s. 46. [VALE] [JUN-A] Se dan el punto A=(-1,0,2) y las rectas r: x-1 2 = y = z-2 y s: 3 x = -1-2 y = 1+3. Obtener: z = 1+ a) La ecuación del plano que pasa por el punto A y contiene a la recta r. b) La ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta s. c) Un vector dirección de la recta l intersección de los planos y y la distancia entre las rectas s y l. 47. [VALE] [JUN-B] Se da el triángulo T, cuyos vértices son A=(1,2,-2), B=(0,-3,1) y C=(-1,0,0), y los planos 1 : x+y+z = 1 y 2 : x = y = -2 z = +. Obtener razonadamente: a) La posición relativa del plano 1 y del plano que contiene al triángulo T. b) Un vector director n 1 perpendicular al plano 1 y un vactor n 2 perpendicular al plano 2 y el coseno del ángulo formado por los vectores n 1 y n 2. c) Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos 1 y 2. Página 5 de 5