TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.

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1 TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia ortonormal formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base, y. ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta en el espacio queda determinada por un punto por el que pasa y por un vector no nulo que tenga su misma dirección. A éste se le llama vector director de la recta. Hallemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto como vector director al vector. y que tiene Para ello consideramos un punto cualquiera de r, X, de modo que. Como además y tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales ( ), con lo que la ecuación de la recta es: En coordenadas: si O(0,0,0), X(x,y,z), y, se tiene que: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta: Por último, si despejamos el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores e igualamos se obtiene la ecuación continua de r:

2 ECUACIONES DEL PLANO. Un plano queda determinado en el espacio por un punto A y dos vectores paralelos a él, no nulos y no paralelos entre sí. Hallemos la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto vectores directores y. y que tiene como Para ello consideramos X un punto cualquiera del plano, de modo que. Como además, y so coplanarios, es combinación lineal de y, se tiene que, con lo que la ecuación vectorial del plano es: En coordenadas: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano: Los vectores, y son coplanarios, por tanto linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos es nulo: Desarrollando el determinante se obtiene una expresión de la forma que es la ecuación general del plano. El vector es perpendicular al plano, se llama vector normal o asociado al plano.

3 PROBLEMAS DE INCIDENCIA. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Consideremos las rectas y y la matriz Si y son paralelos las rectas son paralelas o coincidentes. - Si son coincidentes, y tienen la misma dirección con lo que rg(a)=1. - Si son paralelas la dirección de es distinta de la de y, luego rg(a)=2. Si y no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan. - Si se cortan los vectores, y son coplanarios, es decir, linealmente dependientes, pero y no son paralelos con lo que rg(a)=2 - Si se cruzan los vectores, y son linealmente independientes y rg(a)=3. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS. Consideremos los planos y. Si y son proporcionales los planos coinciden o son paralelos. - Si los planos coinciden. - Si los planos son paralelos. (Condición de paralelismo) Si y no son proporcionales los planos son secantes. A las ecuaciones de dos planos que al cortarse definen una recta se les llama ecuaciones implícitas de la recta. POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA. Consideremos la recta. y el plano de ecuación Si y son perpendiculares son paralelos o la recta está contenida en el plano. - Si el punto pertenece al plano, la recta está contenida en el plano. - Si el punto no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.

4 Si y no son perpendiculares son secantes. Si además y son proporcionales el plano y la recta son perpendiculares. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Consideremos los planos, y, el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones y sus matrices asociada y ampliada: Estudiando las posibles soluciones del sistema puede ocurrir: Si rg(a)=rg(m)=3 el sistema es compatible determinado, la solución es única, luego los tres planos se cortan en un punto.

5 Si rg(a)= 2 y rg(m)=3 el sistema es incompatible y hay dos casos: - Los planos se cortan dos a dos siendo las caras laterales de un prisma triangular. - Dos planos son paralelos y el otro los corta. Si rg(a)=rg(m)=2, el sistema es compatible indeterminados, hay infinitas soluciones que dependen de un parámetro, con lo que la intersección es una recta. En este caso: - Los tres planos son distintos. - Dos planos coinciden y el otro los corta. Si rg(a)=1 y rg(m)=2, el sistema es incompatible. Pude ocurrir: - Los planos son distintos y paralelos dos a dos. - Dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos. Si rg(a)=rg(m)=1, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay infinitas soluciones que dependen de dos parámetros, con lo que la intersección es un plano. O lo que es lo mismo los tres planos son coincidentes.

6 PAEU 1. Determinar la posición relativa de la recta y el plano. Halla el plano perpendicular a que contiene a r. (junio 2011) 2. Sean la recta y el plano. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m. (septiembre 2011) 3. Calcular el plano que contiene a las rectas y 4. Se consideran las rectas y. (septiembre 2011) a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas. (junio 2012) 5. Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6). a) Calcular la ecuación de la recta r. b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. (junio 2012) 6. Dados el punto A(2,1,1) y las rectas, y, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. (septiembre 2012) 7. Sea s la recta de ecuaciones paramétricas a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s. (septiembre 2012) 8. Sean los puntos A(1,2,-1), P(0,0,5), Q(1,0,4) y R(0,1,6). a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda. (junio 2013) 9. Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,3,-2) y la recta y. a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto de R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R. (junio 2013)

7 10. Dados la recta y el punto P(1,0,1) exterior a r. a) Hallar la ecuación en forma general del plano que contiene a r y P. b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r. (septiembre 2013) 11. Dados la recta y los puntos P(1,-2,0) y Q(0,1,3). a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralela a PQ. b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r. (septiembre 2013) 12. Calcular la recta contenida en el plano, paralela al plano, y que pasa por el punto simétrico de B(-1,1,1) respecto de. (junio 2014) 13. Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación a) Calcular el plano perpendicular a la recta que pase por A. (septiembre 2014) 14. Dados el punto A(3,5,1), la recta y el plano, determinar el punto B de tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (septiembre 2014) 15. a) Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZ y que pasa por el punto P(1,2,3). b) Estudiar en función del parámetro a la posición relativa de la recta y el plano (junio 2015) 16. Hallar el valor de a para que exista una recta que pase por el punto P(1+a, 1-a, a), corte a la recta y que sea paralela a la recta (junio 2015) 17. Sean las rectas y a) Comprobar que las rectas r y s se cruzan. b) Calcular la recta que corta perpendicularmente a las rectas r y s. (septiembre 2015) 18. a) Calcular la ecuación del plano que es perpendicular al segmento de extremos A(0,- 1,3) y B(2,-1,1) y que pasa por el punto medio de dicho segmento. b) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los cortes del plano 2x+y+2z-2=0 con los ejes de coordenadas. (septiembre 2015) 19. Consideramos las rectas y a) Comprobar que las rectas se cruzan. b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas r y s. (junio 2016)

8 20. a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano. b) Dadas las rectas y, calcular el plano que contiene a r 1 y es paralelo a r 2. (septiembre 2016) 21. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano y que contiene a los puntos A(-2,0,0) y B(0,1,0). (septiembre 2016)