Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
|
|
- Alberto Soriano Vera
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee..- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para teto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máimo de,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la eposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar eplícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos. OPCIÓN A. a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 3 y + mz 0 + y m m 3y + mz m b) Resolverlo para m 0.. Sean el plano π + y + z 0, la recta r y z y el punto A (3,, ). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de π. 3. Sea f () ( + ) e. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. ln( + ) 4. a) Hallar Lim b) Calcular d. + Dpto. Matemáticas / 7 IES Ramón Olleros
2 OPCIÓN B. Sea la matriz M 0. a) Calcular M. b) Calcular la matriz X que cumple X M + M M.. Sean las rectas r y z y s y z m. a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m, calcular la distancia entre las rectas. 3. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. b) Estudiar la continuidad de la función / e si 0 < f () k si 0 cos( ) si > 0 sen( ) π π en el intervalo,, según los valores de k. 4. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f (). b) Calcular d. Dpto. Matemáticas / 7 IES Ramón Olleros
3 SOLUCIONES OPCIÓN A. a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 3 y + mz 0 + y m m 3y + mz m b) Resolverlo para m 0. Solución: a) Consideremos las matrices de los coeficientes, M, y la matriz ampliada, M, del sistema: 3 m 3 m 0 M 0 M 0 m m 3 m m 3 m m Veamos cual es el rango de M: M 3 m 0 m 3 m 3m 3m + 0 m 0 + m m + m Dicho determinante se anula para: Por tanto, tenemos que: m + m 0 m 0 y m Si m 0 y m rango (M) 3 rango ( M ) nº incógnitas Sistema compatible determinado (Solución única) Si m 0 rango (M) pues podemos encontrar un menor de orden dos no nulo: Por otra parte, si orlamos este menor con los elementos de la primera fila y la columna de términos independientes en la matriz ampliada, M, obtenemos que: (por tener una columna nula) Por tanto, rango ( M ) rango (A) < nº incógnitas 3 Sistema compatible indeterminado (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro) Dpto. Matemáticas 3 / 7 IES Ramón Olleros
4 Para m rango (M) pues podemos encontrar un menor de orden dos no nulo (el mismo que antes). Por otra parte, si orlamos este menor con los elementos de la primera fila y la columna de términos independientes en la matriz ampliada, M, obtenemos que: Por tanto, rango ( M ) rango (M) < nº incógnitas 3 Sistema compatible indeterminado (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro) 3 y 0 b) Para m 0 el sistema que tenemos es + y 0, que es compatible indeterminado (infinitas 3y 0 soluciones dependientes de un parámetro). El sistema equivalente con el que nos quedamos (eliminados la última ecuación, ya que es la que no forma parte del menor de orden dos no nulo que nos ha ayudado a decidir que rango (M) rango ( M ) ) es: 3 y 0 + y 0 Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y tomando z como parámetro (por ser la incógnita que no formaba parte del menor de orden dos no nulo que nos ha ayudado a decidir que rango (M) rango ( M ) ), z λ, tenemos que la solución del sistema es: 0 y 0 z λ con λ R. Sean el plano π + y + z 0, la recta r y z y el punto A (3,, ). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de π. Solución: a) Una recta queda determinada si se conocen dos puntos por los que pasa. En nuestro caso la recta buscada, s, pasa por el punto dado, A, y por un punto, R, de la recta dada, r, pues la corta. Para determinar eactamente dicho punto R tengamos e cuenta que como dicha recta es paralela al plano dado, π, el vector director de la recta buscada, vs AR, y el vector característico de dicho plano, p, deben ser perpendiculares, o dicho de otro modo, su producto escalar ha de ser nulo. Comencemos pues considerando un punto genérico R de la recta r (tomando z λ): R (λ, λ, λ) Dpto. Matemáticas 4 / 7 IES Ramón Olleros
5 La recta buscada, s, tendrá como vector director a vs AR : v AR (λ 3, λ, λ ) s Por otra parte el vector característico del plano π, p, es: Entonces: p (,, ) v s p 0 (λ 3, λ, λ ) (,, ) λ 3 + λ + λ 0 3λ 6 λ Así, el punto de la recta r en que la recta buscada s la corta es: R (,, ) Dicha recta s queda pues determinada por los puntos A y R. Un vector director de la misma es: v AR (, 0, ) s Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta s son: s 3 µ y z + µ con µ R Veamos otra forma de resolver este mismo apartado. Realmente consiste en otra forma de calcular el punto R de la recta r en el que se cortan dicha recta y la recta buscada, s. Para ello, tengamos en cuenta que la recta s estará contenida en un plano paralelo al plano dado, π, que pase por el punto A. La intersección de dicho plano, al que llamaremos π, y la recta r es el punto R que junto con el punto A determinan la recta buscada s. El plano π paralelo al plano dado π tiene por ecuación: π + y + z + k 0 Como dicho plano pasa por el punto A, las coordenadas de este punto verifican la ecuación de dicho plano. Entonces: Por tanto π tiene por ecuación: A π k 0 k 6 π + y + z 6 0 Dpto. Matemáticas 5 / 7 IES Ramón Olleros
6 La intersección de este y de la recta r nos dará el punto R que buscamos: R π r Para calcular dicha intersección podemos sustituir las coordenadas de un punto genérico de la recta r, R (λ, λ, λ), en la ecuación de π : Por tanto se tiene que R tiene por coordenadas: λ + λ + λ 6 0 3λ 6 λ R (,, ) A partir de aquí continuamos como anteriormente hemos procedido. b) Comencemos pensando que si R es un punto de la recta r, que equidista de A y π, debe cumplir que: d (R, A) d (R, π) Pues bien, consideremos un punto genérico de la recta r, R, de coordenadas (λ, λ, λ). Entonces: d (R, A) (3 λ ) + ( λ ) + ( λ ) d (R, π) λ + λ + λ 3 λ Por tanto, se tiene que: (3 λ ) + ( λ ) + ( λ ) 3 λ 3 Elevando los dos miembros al cuadrado, desarrollando las igualdades notables y despejando λ, obtenemos el punto R buscado: (3 λ) + ( λ) + ( λ) 3λ 3λ λ + 4 3λ λ Llegamos entonces a que el punto R de la recta r que equidista de A y de π es: R 7 7 7,, Dpto. Matemáticas 6 / 7 IES Ramón Olleros
7 3. Sea f () ( + ) e. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. Solución: En primer lugar tengamos en cuenta que el dominio de esta función es todo R por ser producto de funciones (una polinómica y otra eponencial) cuyo dominio es todo R : Dom f R Estudiemos el crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. Para ello calculemos la derivada primera: f () e ( +) e e Obtenemos los puntos singulares igualando dicha derivada a cero: f () 0 e 0 0 Representemos sobre una recta este punto singular y veamos que signo toma la derivada primera en cada uno de los intervalos en que queda dividida la recta: f () > 0 f () < 0 Entonces, la función es creciente en (, 0) y decreciente en (0, + ). Por tanto, como para 0 cambia la monotonía de la función (de creciente a decreciente), en dicho punto, f () tiene un máimo: Máimo en (0, ) Estudiemos a continuación la curvatura y los puntos de infleión. Para ello, calculemos la derivada segunda: f () e + e ( ) e Los puntos de infleión se presentan en las soluciones de la ecuación que resulta de igualar la derivada segunda a cero: f () 0 ( ) e 0 ( ) 0 Al estudiar la curvatura de la función tenemos que: 0 f () < 0 f () > 0 Dpto. Matemáticas 7 / 7 IES Ramón Olleros
8 De aquí se deduce que la función es cóncava hacia abajo en (, ) y cóncava hacia arriba en (, + ). Por tanto, como para cambia la curvatura de la función (de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo), en dicho punto, f () tiene un punto de infleión: Punto de infleión en, e Calculemos ahora las asíntotas. Estas pueden ser de tres tipos: Asíntotas verticales: La función f () no presenta asíntotas verticales por ser Dom f R. Asíntotas horizontales: Estudiemos qué pasa si + : ( + ) Lim e Lim Lim e e L Hopital ( + ) Por tanto hay asíntota horizontal si +, cuya ecuación es y 0. Estudiemos qué pasa si : Lim( + ) e Lim( + ) e ( ) ( + ) + Por tanto no hay asíntota horizontal si. Asíntotas oblicuas: Si eiste asíntota oblicua, esta debe ser para. Para el caso + no puede haber asíntota oblicua pues ya eiste asíntota horizontal y estas son ecluyentes. Las asíntotas oblicuas son de la forma y m + n, donde m y n se calculan a través de los siguientes límites, que deben eistir y ser finitos: m Lim f ( ) y n Lim( f ( ) m) Así: m ( + ) e ( + ) e L Hopital e Lim Lim Lim Lim e Como m no es finito, no eiste asíntota oblicua si. Dpto. Matemáticas 8 / 7 IES Ramón Olleros
9 Con toda la información obtenida anteriormente, tenemos que la representación gráfica de la función es: ln( + ) 4. a) Hallar Lim b) Calcular d. + Solución: a) Podemos observar que si intentamos calcular este límite vamos obteniendo indeterminaciones del tipo, que podemos resolver aplicando la regla de L Hopital: ln( + ) + ln( + ) L Hopital ( + ) ln( + ) + L Hopital Lim Lim + Lim + ( + ) ln( + ) + ( + ) + ( + ) ln( + ) + L Hopital Lim Lim Lim + Lim 0 ( + ) b) Para resolver esta integral, hagamos el siguiente cambio de variable: Entonces: t + t dt d + + d + t + t + tdt dt + dt t + ln t + C t t t Deshaciendo el cambio de variable, como t +, se tiene: + + d + + ln + + C + + ln ( + ) + C + Dpto. Matemáticas 9 / 7 IES Ramón Olleros
10 OPCIÓN B. Sea la matriz M 0. a) Calcular M. b) Calcular la matriz X que cumple X M + M M. Solución: a) Para calcular la inversa de una matriz, esta debe ser regular, es decir, su determinante ha de ser no nulo ( M 0). En este caso, su matriz inversa viene dada por: M t Ajd( M ) M donde Ajd (M t ) es la matriz adjunta de la transpuesta de M. Veamos si M es regular: M Por tanto Mes regular y eiste M. Calculémosla: M t 0 Ajd (M t ) 0 M t Ajd( M ) M 0 b) Calculemos la matriz X que cumple X M + M M. Para ello despejemos la matriz X de la ecuación matricial anterior: X M + M M X M M M X (M M) M X M I Procedamos: X M I Otra forma de calcular X es a partir de la epresión X (M M) M, aunque es más larga: M M Dpto. Matemáticas 0 / 7 IES Ramón Olleros
11 M M X (M M) M Sean las rectas r y z y s y z m. a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m, calcular la distancia entre las rectas. Solución: a) Consideremos los vectores directores de las rectas r y s, v r y v s, y un tercer vector w que una un punto de la recta r con uno de la recta s. Si estos tres vectores fueran linealmente independientes (el determinante formado por ellos tres fuese no nulo) entonces formarían una base de V 3 y las dos rectas no serían coplanarias. Si por el contrario esos tres vectores fuesen linealmente dependientes (el determinante formado por ellos tres fuese nulo) entonces las dos rectas estarían contenidas en un plano. Veamos para qué valores de m ocurre esto último. Para ello tengamos en cuenta que las ecuaciones paramétricas de r y s son respectivamente: r λ y λ z + λ con λ R y s + µ y µ z m + µ con µ R Por tanto, de aquí deducimos que: v r (,, ) ; v s (,, ) ; w (, 0, m ) Como estos tres vectores han de ser linealmente dependientes, se debe cumplir que: 0 m 0 (m ) (m ) 0 m 6 0 m 3 Por tanto, el valor de m para que las rectas r y s sean coplanarias es m 3. Podemos resolver este apartado de otra manera si tenemos en cuenta que dos rectas coplanarias o son paralelas o secantes. En este caso las rectas r y s no son paralelas, pues como se comprueba fácilmente sus vectores directores, v r y v s, no son proporcionales, y por tanto, se han de cortar. Entonces el sistema formado por las cuatro ecuaciones de los planos que determinan las rectas r y s (ecuaciones implícitas de las mismas) ha de ser un sistema compatible determinado (solución única). Dpto. Matemáticas / 7 IES Ramón Olleros
12 Las ecuaciones implícitas de las rectas son: r + y 0 y + z y s y y z m Consideremos las matrices de los coeficientes, M, y la matriz ampliada, M, del sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos que determinan las ecuaciones implícitas de r y s. M y M m Este sistema ha de ser compatible determinado y por tanto se ha de cumplir que: rango M rango M nº incógnitas 3 Se comprueba fácilmente que en la matriz M hay un menor de orden tres no nulo (tres primeras filas): rango M 3 Como el rango de M también ha de ser tres, su determinante ha de ser nulo. Calculemos M : M m ( ) + 0 m + ( ) m (5 m) + ( m + ) 6 m Por tanto: 6 m 0 m 3 b) Para m, tenemos las rectas r y z y s y z. La distancia de r a s viene dada por: d (r, s) RS ( vr vs ) v v r s siendo R un punto de la recta r, S un punto de la recta s y v r y v s los vectores directores de ambas rectas. Dpto. Matemáticas / 7 IES Ramón Olleros
13 Como las ecuaciones paramétricas de r y s son respectivamente: se tiene que: r λ y λ z + λ con λ R y s + µ y µ z + µ con µ R R (0, 0, ) S (, 0, ) RS (, 0, ) Entonces: v r (,, ) i j k v r v s v s (,, ) i + k RS ( v r v s ) (, 0, ) (, 0, ) Así: d (r, s) RS ( vr vs ) v v r s ( ) u. Otra forma de hallar la distancia entre las dos rectas es a través del cálculo de los puntos de corte de la perpendicular común a r y a s con dichas rectas. Para ello debemos tener en cuenta que cualquier recta que se apoya en r y en s, tiene como vector director la diferencia entre los puntos genéricos de las dos rectas. Como la recta buscada es la perpendicular común, el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas dadas, r y s, ha de ser nulo. Entonces, para calcular los puntos de corte de la perpendicular común a r y a s con dichas rectas podemos seguir el siguiente procedimiento: a) Calculamos la ecuaciones parámetricas de las rectas r y s (a partir de las cuales podemos obtener el vector director y un punto de cada una de ellas). b) Con las coordenadas genéricas de los puntos de r y s obtenidas en el paso anterior podemos calcular un vector que una un punto genérico de r con un punto genérico de s. c) Dicho vector ha de ser perpendicular simultáneamente a los vectores directores de r y s, v r y v s. De aquí deduciremos cuánto valen los parámetros necesarios para determinar los puntos eactos de corte de la perpendicular común con ambas rectas. Procedamos pues, calculando las ecuaciones paramétricas de la recta r y s (obtenidas anteriormente): r λ y λ z + λ con λ R y s + µ y µ con µ R z + µ Dpto. Matemáticas 3 / 7 IES Ramón Olleros
14 Un punto genérico de la recta r será R (λ, λ, + λ). Un punto genérico de la recta s será S ( + µ, µ, + µ). El vector determinado por estos puntos es: RS ( + µ λ, µ + λ, + µ λ) Imponemos la condición de que el vector RS sea perpendicular simultáneamente a los vectores directores de r y s, v r y v s : RS v r 0 ( + µ λ, µ + λ, + µ λ) (,, ) 0 µ 3λ RS v s 0 ( + µ λ, µ + λ, + µ λ) (,, ) 0 3µ λ Si resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (λ y µ) que hemos obtenido, se llega a que λ 3 3 y µ. Por tanto, los puntos R y S en los que la perpendicular común corta a las 4 4 rectas r y s, respectivamente, son: R 3 3 7,, y S 5 3 5,, Calculemos finalmente la distancia entre ellos, que será la distancia entre las rectas dadas r y s: d (r, s) d (R, S) u. 3. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. b) Estudiar la continuidad de la función / e si 0 < f () k si 0 cos( ) si > 0 sen( ) π π en el intervalo,, según los valores de k. Solución: a) El teorema del valor medio de Lagrange: Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces eiste al menos un punto c (a, b), tal que: f (c) f ( b) f ( a) b a Dpto. Matemáticas 4 / 7 IES Ramón Olleros
15 Su interpretación geométrica nos dice que si una función f cumple las hipótesis de estar definida y ser continua en el intervalo [a, b] y ser derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces eiste al menos un punto c (a, b) en que la recta tangente a la curva en dicho punto c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). b) La función f () es una función definida a trozos que consta de otras dos funciones (f () e / y f () cos( ) ), cada una de las cuales es continua en los trozos donde están definidas dentro sen( ) π π del intervalo,. El primer trozo, f () e /, es continua en su dominio (Dom f R {0}), π y por tanto es continua en el intervalo,0. El segundo trozo, f () cos( ), es continua sen( ) en su dominio (Dom f R { / mπ, con m Z }), y por tanto es continua en el intervalo π 0,. Por tanto, el único punto en el que la función f () puede presentar una discontinuidad es para 0. Veamos qué valor debe tomar k para que sea continua en él. Dicha función f () será continua en 0 si se cumple que: f (0) Lim f ( ) Lim f ( ) Por una parte tenemos que: f (0) k Por otra parte: Lim f ( ) Lim e 0 0 / ( ) / 0 e e 0 Finalmente: cos( ) sen( ) Lim f Lim Lim sen( ) cos( ) L Hopital ( ) Por tanto para que f () sea continua en 0 debe ser k 0. Si k fuese distinto de cero (k 0), la función f () tendría una discontinuidad evitable en 0. Dpto. Matemáticas 5 / 7 IES Ramón Olleros
16 4. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f (). b) Calcular d. Solución: a) En primer lugar tengamos en cuenta que al dominio de esta función no pertenecerán aquellos valores que anulen el denominador. Así pues: Por tanto: Calculemos ahora las asíntotas pedidas: Asíntotas verticales: 0 y Dom f R {, } La función f () puede presentar asíntotas verticales en aquellos puntos que no pertenecen al dominio, o son frontera en su dominio. En este caso puede haber asíntotas verticales para y. Veámoslo: Lim 0 y Lim 0 Por tanto hay asíntotas verticales en y. Asíntotas horizontales: Lim ± 0 Por tanto hay asíntota horizontal, cuya ecuación es y 0. b) Esta es una integral racional. Descompongamos en fracciones simples el integrando: A B A( ) + B( + ) ( A + B) A + B + + ( + ) ( ) Igualando los coeficientes de los numeradores de la primera y última epresión tenemos: A + B 0 A + B Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene que A 3 y B 3. Dpto. Matemáticas 6 / 7 IES Ramón Olleros
17 Así: d + + d d d Ln Ln + C Dpto. Matemáticas 7 / 7 IES Ramón Olleros
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Septiembre 01 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesPruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Junio 14 Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de
Más detallesSelectividad Junio 2007 JUNIO 2007
Selectividad Junio 7 JUNIO 7 PRUEBA A PROBLEMAS 1.- Sea el plano π + y z 5 = y la recta r = y = z. Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano. b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular
Más detallesSEPTIEMBRE 2003 PRUEBA A
PROBLEMAS SEPTIEMBRE 003 PRUEBA A 1.- a) Discutir en función de los valores de m: x 3y 0 x y+ z 0 x + y + mz m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior..- Calcular el área de la región
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS II Nuevo currículo Teto para los Alumnos Nº páginas CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los
Más detalles, donde denota la matriz traspuesta de B.
Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº Páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) f(x) x El denominador de f(x) nunca se anula; por
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones
Más detallesOPCIÓN A. = en el punto ( ) b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función
Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº Páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesy = x ln x ; con los datos obtenidos representa su gráfica. f x es continua y derivable en 0, por ser producto de funciones continuas y derivables.
Matemáticas II Curso 0/4 Opción A (ª evaluación) Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Estudia las características de la función = ln = ( 0, + ) ( + ) f Dom f y = ln ; con los datos obtenidos representa
Más detallesMATEMÁTICAS: PAU 2015 JUNIO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: PAU 05 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A m + 0 0 Dada la matriz A = ( 3 m + ), se pide: 0 m a) Hallar los valores de m para que la matriz A 0 tenga inversa. ( 5 puntos) La condición
Más detallesx + y + bz = a x + y + az = b bx + ay + 4z = 1
UC3M Matemáticas para la Economía Eamen Final, 3 de junio de 017 RESUELTO 1 Dados los parámetros a y b, se considera el sistema de ecuaciones lineales + y + bz = a + y + az = b b + ay + 4z = 1 (a) (5 puntos)
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)
IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim
Más detallesSEPTIEMBRE 2005 PRUEBA A. b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1, 1, 1) y se apoya en r y s.
Selectividad Septiembre 5 SEPTIEMBRE 5 PRUEBA A PROBLEMAS - a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r x = λ y s y = 3+λ son perpendiculares z = + a λ b) Para a =, calcúlese la recta que
Más detallesOPCIÓN A. rga < rga S. I. rga = m 0 m m = 0 Habrá que estudiarlo. rga. z
San Blas, 4, entreplanta. 98 0 70 54 OPCIÓN A m + y + z = 0 E.-a) Discutir, en función del valor de m, el sistema de ecuaciones y my + mz = resolverlo para m = b) Para m = añadir una ecuación al sistema
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO - MATEMÁTICAS II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la
Más detallesSEPTIEMBRE b) (1 punto) Calcular el valor de a 0 para el cual se verifica la igualdad = 2
SEPTIEMBRE INSTRUCCIONES: El eamen presenta dos opciones A B; el alumno deberá elegir una de ellas contestar raonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en h. min. OPCIÓN A Ejercicio.
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h
Más detallesPROPUESTA A., se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos)
PROPUEST. Dada la función f ( ), se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(). (, puntos) b) Coordenadas de los máimos y mínimos relativos de f(). (, puntos). Calcula las siguientes integrales:
Más detallesI.- Representación gráfica de una función polinómica
Los campos a considerar en el estudio de una representación gráfica son; Dominio de la función Continuidad y derivabilidad Simetrías Periodicidad Asíntotas Verticales Horizontales Oblicuas Posición de
Más detallesOPCIÓN A. E2.-a) Consideramos los puntos P(-1,-4,0), Q(0,1,3), R(1,0,3). Hallar el plano π que contiene a los puntos P, Q y R
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 OPCIÓN A E.-a) Sea M =. Estudiar, en función del parámetro a, cuando M posee 3 a inversa (,5 puntos) b) Siendo A =, calcular A y A 3 7 (,75 puntos) a) Eiste M ( M )
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ARAGÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz. Algebra Opción A a) Las matrices correspondientes son: A m m m m m m A* El determinante
Más detallesa a a 1 1 a a a 2 0 a rg A rg B rg A rg B
Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 997. Matemáticas II. OPCIÓN A a y z 0. Discutir el sistema y az según los valores del parámetro a [,5 puntos]. Resolverlo en los casos en y que
Más detallesm m 7m 7 0 m 1, m m
5 4 La matriz de los coeficientes es A 4 m El único menor de orden de A es: 5 4 0 y la matriz ampliada B 0 4 m m 5 4 5m 6 4 4 58m 7m 7 0 m, m 4 m Tenemos entonces: Para m y m : rga rgb nº de incógnitas
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a
Más detallesa) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím
Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que
Más detallesPrueba de nivelación correspondiente a los contenidos de prerrequisitos. Prueba de nivelación de prerrequisitos
Fundamentos Matemáticos de la informática (G. en Ing. Informática) Prueba de nivelación correspondiente a los contenidos de prerrequisitos Nombre apellidos: Instrucciones: El alumno debe resolver la prueba
Más detallesOpción de examen n o 1
Septiembre-206 PAU Cantabria-Matemáticas II Opción de examen n o. a) Según el enunciado, se tiene: A B = C Ö è Ö è a b 2 c b c a = Ö è 0 Al igualar las matrices obtenidas se llega a: 2 + a + b = 2c + +
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA TEMA 2: Puntos, rectas y planos del espacio.
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA TEMA 2: Puntos, rectas y planos del espacio. 2.1 SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO Elegimos un punto del espacio que llamamos origen
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) Calculamos previamente los vectores directores de
Más detallesEjercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de Solución
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de 2004 [2 5 puntos] Calcula Para calcular determinamos primero las raíces del denominador, para descomponerlo en producto de factores y aplicarle la técnica de
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ANÁLISIS) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Día: CURSO 56 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios
Más detallesObservaciones del profesor:
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros
Más detallesMATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: EBAU 207 MODELO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A x y + z = Dado el sistema de ecuaciones lineales { 3x + λy =, se pide: 4x + λz = 2 a) Discutir el sistema (existencia y número de soluciones)
Más detallesPROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas
PROPUESTA A 1A a) Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función sea continua en x = 0. b) Calcula el límite 2A. Calcula las siguientes integrales (1 25 puntos por cada integral) Observación: El cambio
Más detallesMATEMÁTICAS: PAU 2016 JUNIO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: PAU 26 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A 5 a a) Discutir para qué valores de a R la matriz M = ( ) tiene inversa. Calcular M a para a =. ( 5 puntos) Para que exista inversa de una
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 2013 Capítulo 9 Año 2008 9.1. Modelo 2008 - Opción A Problema 9.1.1 2 puntos Se considera la función
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 Reserva 1 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_1 014 tan(x) - sen(x) [ 5 puntos] Calcula lim
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A El punto de infleión es aquel en el que la derivada segunda se anula. Calculamos
Más detalles10.APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
.APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS. DERIVADAS SUCESIVAS Antes de introducirnos en algunas importantes aplicaciones de las derivadas, vamos a ver una ampliación de los puntos estudiados en el tema anterior que
Más detallesX X Y 2X Adj Y Y 1 0. : Y Y Adj Y Y
Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 99. Matemáticas II. OPCIÓN A X Y 5. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales. Se pide hallar X Y 0 X e Y [ punto]
Más detalles1.- Sea la función f definida por f( x)
Solución Eamen Final de la 3ª Evaluación de º Bcto..- Sea la función f definida por f( ) a) El dominio de la función es Dom( f) estudiando las asíntotas verticales:, por tanto vamos a empezar La función
Más detallesMatemáticas II Curso
Matemáticas II Curso 03-04 Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD. Límites y continuidad Ejercicio. Dada la función f(x) = x 3 + x cos πx, demostrar que existe un valor x = a positivo y menor que, que verifica
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Teto para los Alumnos Nº páginas: y TABLAS CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada pregunta de la 1
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2012 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 01 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones
Más detallesPara calcular B, sustituimos A en la segunda ecuación y despejamos B:
Prueba de Acceso a la Universidad. SEPTIEMBRE 014. Matemáticas II. a) Multiplicamos por la segunda ecuación: 9 6A B 7 7 1 1 Sumamos ahora ambas ecuaciones: 7A A 0 7 0 1 Para calcular B, sustituimos A en
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesTema 4: Representación de Funciones
Tema 4: Representación de Funciones.- Dominio y recorrido: Dominio: Valores de para los que está definida (eiste) f () Recorrido: Valores que toma f () Funciones Polinómicas, son de la forma f ( ) ao a...
Más detallesa) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
Más detallesExamen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2
Curso º Bachillerato 16/05/017 Ejercicio 1 a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 1+3 ; g() = ln(1 5) + e7 b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de la función dada por: a)
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 2- III- 16 CURSO
EXAMEN DE MATEMÁTICAS GRÁFICAS E INTEGRALES Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: - III- 6 CURSO 05-6. [ punto] Estudia si las siguientes funciones presentan simetría par (respecto del eje de ordenadas)
Más detallesJUNIO Bloque A
Selectividad Junio 009 JUNIO 009 Bloque A 1.- Estudia el siguiente sistema en función del parámetro a. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario.
Más detallesa) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de f (x). 4. (SEP 04) Sabiendo que una función f (x) tiene como derivada
Matemáticas II - Curso - EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO COMUNIDAD DE MADRID (JUN ) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El estudio de la derivada de una función, junto con otras consideraciones sobre las funciones tales como el estudio de su campo de eistencia (dominio), de sus puntos de corte
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II CEUTA Y MELILLA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 009 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A Ejercicio Como esta función está definida en el intervalo
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesPROPUESTA A. b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1 25 puntos)
PROPUESTA A 1A. a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a) e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona, de hecho, es un mínimo absoluto. (1 25 puntos) b) Para el valor
Más detallesSolución. Como f(2) = 0, tenemos 0 = -3/(2+1) + K = -3/3 + K = -1 + K, de donde K = 1, y la función es
Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6) De la función f : (-1,+ ) R se sabe que f '(x) = 3/(x +1) 2 y que f(2) = 0. (a) [1'25 puntos] Determina f. [1'25 puntos] Halla la primitiva de
Más detallesFunciones en explícitas
Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos
Más detallesLímites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización.
TEMA 1 Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización. Límite finito en un punto: Consideremos una función f definida en las proimidades
Más detalles1. Examen de matrices y determinantes
1 EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 1 1. Examen de matrices y determinantes Ejercicio 1. Halla todas las matrices X no nulas de la forma [ ] a 1 X = 0 b tales que X = X. Puesto que: X = [ ] [ ] a 1 a
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesExamen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos
Eamen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dadas las matrices 2 4 2 2 0 A = 1 m m ; B = 0 X = y O = 0 1 2 1 1 z 0 (1 punto). Estudiar el rango
Más detallesTema 4. Representación de Funciones. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 4
Tema 4 Representación de Funciones 0.- Introducción.- Estudio de una función...- Dominio...- Simetrías...- Periodicidad..4.- Continuidad..5.- Puntos de Corte con los ejes..6.- Asíntotas y ramas infinitas..7.-
Más detallesIdea de Derivada. Tasa de variación media e instantánea
Idea de Derivada. Tasa de variación media e instantánea.- La variación de la altura de un niño con el paso de los años, se recoge en la guiente tabla: Edad (años) 0 6 9 8 Altura (cm.) 8 6 74 78 80 a) Representar
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 201 Capítulo 4 Año 200 4.1. Modelo 200 - Opción A Problema 4.1.1 2 puntos Determinar los valores
Más detallesUnidad 12 Aplicaciones de las derivadas
Unidad 1 Aplicaciones de las derivadas 4 SOLUCIONES 1. La tabla queda: Funciones Estrictamente Creciente Estrictamente Decreciente f( ) 4,,+ = ( ) ( ) 3 = + (,0) (, + ) (0,) f( ) 3 5 f( ) = 5 + 3 R 3 f(
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesEntonces M(0) tiene inversa. Por Gauss o por determinant se calcula la inversa.
OPCIÓN A Problema A.1. Para cada número real es la matriz Se pide: a) Obtener el determinante de la matriz, y justificar que para cualquier número real existe la matriz inversa de. (4 puntos). Veamos para
Más detallesDEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA APELLIDOS:
DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (5%) (Cada respuesta incorrecta resta, puntos)
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detalleslim x sen(x) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 23-II-2015 CURSO Instrucciones:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: II5 CURSO 5 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesMATEMÁTICAS: EBAU 2017 JUNIO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: EBAU 7 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A Sean A = ( 4 ) y B = ( 3 ), a) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible. ( punto) Una matriz cuadrada M tiene inversa
Más detalles1) La función no está definida para x = 0 ya que anula el denominador de su exponente, por tanto, D = R- {0}.
6. Estudiar y representar gráficamente las siguientes funciones: a) ( ) f e b) Solución f( ) + 3 + c) f( ) ln + a) Para estudiar la función e se realizan los siguientes pasos: f( ) ) La función no está
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 203 Capítulo 7 Año 2006 7.. Modelo 2006 - Opción A Problema 7.. 2 puntos Un punto de luz situado
Más detalles1 1 m m m 1 1 m 1 m 2 1 m m 1 m 1 m 1 m 2 1 m 2 m m 1 m 1 0 m
a) La matriz de los coeficientes es m A m m m m y la matriz ampliada B m m. Estudiemos sus rangos según los posibles valores de m : En la matriz A, el mayor rango posible es 3: m m m m m m m m m m m m
Más detallesy la matriz ampliada B λ λ 1
a) La matriz de los coeficientes es 0 A λ 0 λ λ y la matriz ampliada B λ 0 0. λ λ λ Estudiemos sus rangos según los posibles valores de λ : En la matriz A, el mayor rango posible es : 0 λ 0 λ λ λ λ λ λ
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II REGIÓN DE MURCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Bloque A Para saber si la matriz tiene inversa, el determinante de la
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II 1 Matemáticas II COMUNIDAD DE MADRID MODELO CURSO 009-010 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A Ejercicio 1 a) Para calcular los extremos y los intervalos
Más detallesPROPUESTA A. b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y a s. (1 25 puntos)
PROPUESTA A 1A. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función { sea continua y derivable en x = 0. (1 5 puntos) b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesPreparando Selectividad Solución Selectividad - Modelo 03
página 1/17 Preparando Selectividad Solución Selectividad - Modelo 03 Modelo 03. Opción A. Ejercicio 1 Sea f (x)=. x 5 x+6 a) Estudia el dominio y las asíntotas de la función. b) Estudia la monotonía c)
Más detallesJUNIO Opción A
Junio 010 (Prueba Específica) JUNIO 010 Opción A 1.- Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones: a x + a y + az 1 x + a y + z 0.- Una panadería se
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2013 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Hallar los valores del parámetro para los que la siguiente matriz
Más detallesSelectividad Matemáticas II septiembre 2016, Andalucía (versión 1)
Selectividad Matemáticas II septiembre 16, Andalucía (versión 1) Pedro González Ruiz 14 de septiembre de 16 1. Opción A Problema 1.1 Sabiendo que es finito, calcular m y el valor del límite. ( 1 lím x
Más detallesSolución. Restando estas dos últimas ecuaciones tenemos 9a = 9 de donde a = 1
Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2005 [2'5 puntos] De la función f : R R definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B =
S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 8 - IV 4 CURSO 03-4 a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro
Más detalles