Matemáticas Febrero 2013 Modelo A

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1 Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es cierta en un triángulo rectángulo: a) La longitud de la hipotenusa es mayor que la suma de los catetos. b) La longitud de la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. c) El ángulo opuesto a la hipotenusa es menos que π/5 radianes.. Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A = (,) y es perpendicular a x t y t a) x y =. b) x + y = 5. c) x y =. x t ; y t x t ; t y x y ; x x y ; y La ecuación de la perpendicular a la recta y ax b y x ; y x ; x y por el punto x, y es x 0 0 y x y a 0 0

2 y x x y 5. Cuál es la posición relativa de estas dos rectas? x t r: y t z t x p s: y p z p a) Se cortan. Están en el mismo plano, Secantes. b) Son paralelas. c) Se cruzan. Están en distintos plano. Si x x v w y y v w z z v w 0, en tonces Se cruzan. Están en distintos plano. 0

3 6. Para qué valor de α el sistema x y z 5x yz es compatible indeterminado? y z a) α =. b) α = /. c) α = El sistema es compatible indeterminado para.

4 Matemáticas Junio 0 Modelo A. Calcule el valor de α para que el polinomio P(x) = αx x + verifique P( ) = 0. a) α =. b) α = 0. c) α =. P( ) = α( ) ( ) + =. Cuánto es π/5 radianes en grados? a) 8 grados. b) 7 grados. c) 6 grados.. Calcular 0 0. a) 0. b) No se pueden multiplicar ambas matrices. 0 c) 0.. Tiene alguna solución el siguiente sistema? x y x y x y 9 a) No tiene ninguna solución. b) Tiene una única solución. c) Tiene infinitas soluciones. 5. Para cuantos valores de α el módulo del vector v = (α, α, ) es igual a? a) Ningún valor. b) Un único valor. c) Más de un valor.

5 6. La función f x x si x x si x verifica que: a) Es discontinua en x =. b) No está definida en x = 0. c) Es continua en x =. Hay que estudiar los límites laterales en x =. lim f x lim x 0 x x lim f x lim x x x Los límites laterales no coinciden, por lo tanto es discontinua en x =. f xx f x x

6 7. La función f(x) = x x tiene en el punto (, ): a) Un máximo. b) Un punto de inflexión. c) Un mínimo. La derivada de f(x) = x x es: f (x) = x x = 0; x = ±; En y en tenemos un posible máximo o mínimo. La derivada segunda es f (x) = 6x f () = 6 > 0, hay un mínimo. f ( ) = 6 < 0, hay un máximo.

7 x 6 es: x 8. El dominio de la función f x a) { 6,0}. b) [ 6,0) (0,+ ). c) (, 6] (0,+ ).

8 9. El valor del lim x x x a). b) 0. c). x es x x x x x x x x x lim x x x lim lim x x x x x x x x x x x x x x lim lim lim x x lim x x x x x x x x x x x x x x x x x 5

9 0. El valor de x x dx a) b) c) 8 ln 9 ln 8 arctg x x 8 dx dx ln x ln ln ln 8 ln ln x x 6

10 Matemáticas Junio 0 Modelo E. Cuál es el resto de dividir P(x) = x x x entre Q(x) = x +? a) x. b). c) x.. La igualdad sen(π α) = sen(α) es: a) Cierta para cualquier valor de α. b) Es cierta para algunos valores de α y es falso para otros valores de α. c) Es falsa para cualquier valor de α.. Cuánto debe valer α para que a) α = 0. b) α =. c) Para ningún valor de α ?. Para qué valor de α el sistema tiene única solución en la que x =? x y x y a) α = 0. b) α =. c) α =. 5. Cuál es el producto vectorial de v = (,,5) y w = (, 8,7)? a) ( 7, 9,7). b) (, 9,5). c) (7, 9, 7).

11 6. El valor de x x dx a) 7 ln 0. b) 7 0. c). 7 0 x dx x x dx 7 0 x x

12 7. El valor del a). b). c) 0. x0 ln cos x lim sen x es: ln cos x lim, resulta una indeterminación. Aplicamos L hopital x0 sen x tg x 0 lim 0 x0 cos x tg x cos x

13 8. La función f x x x x x si x si x verifica que: a) Para el valor x = es discontinua. b) En x = no está definida. c) Es continua en x =. Hay que estudiar los límites laterales en x =. lim x x lim x x x x Los límites laterales no coinciden, por lo tanto es discontinua en x =.

14 9. El dominio de la función a) {,} b) (,] [,+ ). c) (,) (,+ ). f x x 5x es: El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen. La expresión f x x 5x define una función f : I R, en (,] [,+ ) porque en el dominio de definición de una raíz la expresión que está dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que 0, en el caso que sea negativa no tiene imagen. Por lo tanto tenemos: x 5x b b ac a x x 5

15 0. La gráfica de la función f x a) y =. b) y =. c) x =. x, tiene la asíntota vertical. x Las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Para f x x en x = hay una asíntota vertical, ya que x = 0 x 6

16 Matemáticas Junio 0 Modelo F x x 5x 6x. El dominio de definición de la función hx es: a) {/}. b) {0,,}. c) {0,,}.. Cuál de estas afirmaciones es verdadera? a) El periodo de la función f(x) = tg(x) es π. b) La función f(x) = tg(x) no está definida para x = π/6 k π/, donde k. c) El periodo de f(x) = tg(x) es π/6.

17 . Sea la función f x a) f x lim 0 x b) f x lim 0 x c) f x lim 0 x x x. Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

18 . Sea x f x x x si x < 0 si x 0 si x Entonces: a f es continua en. b f es derivable en {0,}. c) f es derivable en (0, )

19 5. Consideramos la función: f x x 9x x definida en [0,]. Entonces: a) El valor mínimo de f(x) es y se alcanza para x =. b) El valor mínimo de f(x) es 9 y se alcanza para x =. c) El valor mínimo de f(x) es 9 y se alcanza para x = 0. f x x 8x La derivada de f x x 9x x es b b ac a x x En y en tenemos un posible máximo o mínimo. La derivada segunda es f (x) = 6x 8 f () = 6 > 0, hay un mínimo. f () = 6 < 0, hay un máximo.

20 6. Una primitiva de x 5x x x x dx es: x a) ln ln x. x b) ln x x x. x 5x x c) x x x x x x x x x x 5x A B C A( x) ( x) Bx( x) Cx( x) x x x x x x x ( x ) ( x ) x 5x A x x Bx x Cx x x A 0 0 B 0 0 C 0 0 A A x 5 A B C B 6 B x 5 ABC6C C x 5x dx x x x x x x x x x x ln xln x ln x ln ln xk x 5

21 Matemáticas Junio 0 Modelo J. La función definida por f x x, para todo x, verifica a) Está acotada. b) Está acotada inferiormente. c) Está acotada superiormente.. En el intervalo (0,π/) el valor exacto de la expresión tg (arc sen (/)) es a) b) c)...

22 0 si x 0 si x 0 verdadera?:. Sean f x a g f es continua en. b) f es continua en x = 0. c) g es continua en x =. y gx x si x < x si x Cuál de las siguientes afirmaciones es

23 . El valor de a). b) e. c). x lim x x x x x es: Utilizaremos el número e en el cálculo de límite de expresiones x sucesión y n tiende a la fórmula es: y lim ( ) lim n y n x n n x e n y n n, cuando la base tiende a y la x x x x xx x lim lim x x x x x lim x lim x x x x x x x x x x x x x e e e e e x lim x x x

24 5. Decir si la función f x x x, presenta alguna de las siguientes simetrías: x a) Respecto del eje Y. b) Respecto al origen. c) No es par ni impar. 6. El valor de x 0 xe dx es a) e. b). c) e. Hacemos un cambio de variable. x = t, xdx = dt Si x = 0 t = 0 Si x = t = x t t xe dx e dt e e 0 0 0

25 Matemáticas Septiembre 0 Modelo A. Cuál es el resto de dividir P(x) = x x x entre Q(x) = x +? a). b). c) 0.. Sea x un valor real positivo Existe un triángulo rectángulo cuyos catetos midan x y x, y la hipotenusa mida x? a) Sí, para cualquier x positivo. b) Para un único x. c) No, para ningún x.. Supongamos que α es un número real tal que 0 0, entonces se verifica que: 0 a) α debe ser un valor menor que 0. b) α debe ser un valor mayor que 0. c) No existe tal α.. La solución del sistema a) x <. b) y <. c) z >. x yz x y x y z 0 verifica: 5. Cuál es el producto vectorial de u = (,, ) y v = (, 0, )? a) (,,). b) (,, 6). c) (,0,). e uv e 0 ee 6e e, 6 e

26 6. El valor de x x edx 0 es a) 0. b). c) e. u xu x x ve v e x x x x x x ( ) ( ) 0 xedx xe e xee e x e e (0 ) 0 ( ) 0 0 0

27 7. El valor de a). b). c) 0. x0 lim ln cos x sin x es x0 ln cos x lim sen x, resulta una indeterminación. Aplicamos L hopital tg x cos x x0 tg x 0 lim 0 cos x

28 8. La función f x x x x x si x si x verifica que: a) Para el valor x = es discontinua. b) En x = no está definida. c) Es continua en x =. Hay que estudiar los límites laterales en x =. lim x x lim x x x x Los límites laterales no coinciden, por lo tanto es discontinua en x =.

29 9. La función f x x x tiene en el punto (0,0): a) Un máximo. b) Un mínimo. c) Un punto de inflexión. x x x x x xx x x x f x x x x x x x x x 8x x x fx x 8x 8x x x 8x x x 8x x x x 8x 8x x x x x x x x8x 8x 6x 0x 0 x x 5

30 0. La gráfica de la función f x a) y =. b) y =. c) x =. x, tiene la asíntota vertical: x Asíntotas verticales, se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. x + = 0; x = 6

31 Matemáticas Septiembre 0 Modelo C x. Descomponga en fracciones simples x. a) b) c) x x. x x. x x.. Cuánto es π/ + π/ radianes en grados? a) 0 grados. b) 0 grados. c) 50 grados.. Calcular 0 0. a) 0. 0 b). 0 c) No se pueden multiplicar ambas matrices.. Para qué valor de α el sistema xyz x y z es compatible indeterminado? x yz a) α =. b) α = /. c) α = Cuál es la distancia del punto A = (,) a la recta x y + = 0? a) b) /5 5 c)

32 6. La función f x x es creciente en: a) (,). b) (,). c) (,). Miramos dos puntos a ver cómo se comporta la función. O también, Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f 0. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f 0. x x x x x 0 0 f 6 6 f f 0 0 En el intervalo (,0), la función crece. Recordar que no puedo comprobar en x = porque no está definida.

33 7. El valor de x x dx a) b) c) 7 ln 5 7 ln 5 7 ln 5 x x 7 dx dx lnx ln ln ln7 ln5 ln x x 5

34 8. La función f x x si x x si x verifica que: a) Es continua en x =. b) Es discontinua en x =. c) No está definida en x =. Hay que estudiar los límites laterales en x =. lim f x lim x 7 x x lim f x lim x x x Los límites laterales no coinciden, por lo tanto es discontinua en x =.

35 9. El valor del a). b). c) 0. x0 ln cos x lim sen x es: x0 ln cos x lim sen x, resulta una indeterminación. Aplicamos L hopital tg x cos x x0 tg x 0 lim 0 cos x 5

36 0. El dominio de la función f x x 5x 6 es: a) (,) (,+ ). b) {,}. c) (,). Asíntotas verticales, se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. x 5x 6 b b ac a x x 6

37 Matemáticas Septiembre 0 Modelo D. Calcule el coeficiente que acompaña a x al desarrollar (x + ). a) 6. b). c).. En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 y el ángulo opuesto mide π/6, Cuánto vale la hipotenusa? a) 0 6. b). c).. Calcular el rango de. a) b) c). Tiene alguna solución el siguiente sistema? x y 0 x y x y 9 a) No tiene ninguna solución. b) Tiene una única solución. c) Tiene infinitas soluciones. 5. Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A = (,) y es perpendicular a x t y t a) x y = 0. b) x + y =. c) x + y =. t x ; x y ; y x t y La ecuación de la perpendicular a la recta y ax b y x ; y x; yx 0 por el punto x, y es x 0 0 y x y a 0 0

38 6. La función f x a) Es discontinua en x =. b) No está definida en x = 0. c) Es continua en x =. x si x verifica que: x si x Hay que estudiar los límites laterales en x =. lim f x lim x x x lim f x lim x 5 x x Los límites laterales no coinciden, por lo tanto es discontinua en x =.

39 7. La función f(x) = x 9x + x tiene en el punto (,9): a) Un máximo relativo. b) Un máximo absoluto. c) Un mínimo. La derivada de f(x) = x 9x + x es: f (x) = x 8x + x 8x + = 0; x = y en x = tenemos un posible máximo o mínimo. La derivada segunda es f (x) = 6x 8 f () = 6 8 = 6 < 0, hay un máximo. f () = 6 8 = 6 > 0, hay un mínimo.

40 x 6 es: x 8. El dominio de la función f x a) { 6,0}. b) [ 6,0) (0,+ ). c) (, 6] (0,+ ). Asíntotas verticales, se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. x 6 x Para f x, en x = 0, tenemos una asíntota vertical. Y además como tenemos una raíz tenemos que mirar que pasa en el numerador x + 6 = 0. Para valores mayores o iguales de 6 la función está definida excepto para x = 0.

41 9. El valor de a) /. b). c). lim x x x x x 5 es: lim x x x x lim x x x x x5 x x 5 0 x x x x x

42 0. El valor de x x dx a) b) c) 8 ln 9 ln 8 arctg x x 8 dx dx ln x ln ln ln 8 ln ln x x 6

43 Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcule el coeficiente que acompaña a x y al desarrollar (x + y) 5. a) 0. b) 0. c) 0.. Sea x un valor real positivo Existe un triángulo rectángulo cuyos catetos midan y, y cuya hipotenusa mida 5x? a) Sí, para cualquier x positivo. b) Únicamente cuando x =. c) No, para ningún x.. Si A 0 Qué afirmación e cierta? a) A = A. b) A = A. c) A = A.. Cuándo el sistema x yz y z z es compatible determinado? a) Si α = 0. b) Si α 0. c) Para ningún valor de α es compatible determinado.

44 5. Qué recta que pasa por el punto A = (,) y es perpendicular a x 7 t? y t a) x + y =. b) x y = 0. c) 7x y =. x 7 t ; y t t x7 ; x 7 y ; y x t y La ecuación de la perpendicular a la recta y ax b y x ; y x ; yx por el punto x, y es x 0 0 y x y a Cuál es la distancia del punto A = (,,) al plano x + y + z = 0? a). b). c).

45 Matemáticas Febrero 0 Modelo B. Cuál es el cociente de dividir P(x) = x + x + 5x + 9x + 6 entre Q(x) = x +? a) x + x + 5x 9. b) x + x + x + 6. c) x + 5x + 9x Sea T un triángulo rectángulo que tiene sus dos catetos de igual longitud. Sea h la longitud de la hipotenusa de T y sea c la longitud de cada uno de los catetos de T. Entonces: a) Siempre se tiene que h < c. b) Siempre se tiene que h = c. c) Siempre se tiene que h > c.. Si 0 A 0 y O Qué afirmación e cierta? a) A = A. b) A A. c) A = O.. Cuándo el sistema x yz yz z es incompatible? a) Si β = 0. b) Si β 0. c) Para ningún valor de β es incompatible. 5. Cuál es la distancia del punto A = (,5) a la recta x =? a). b). c). 6. Consideramos los vectores u = (,,α), v = (,,β), w = (,,γ). Entonces: a) Para todo α, β y γ los vectores u, v y w son linealmente dependientes. b) Para todo α, β y γ los vectores u, v y w son linealmente independientes. c) No se da ninguna de las dos circunstancias anteriores.