EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

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1 Etremos y optimización de funciones EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. EXTREMOS RELATIVOS En 1º de Bachillerato, basándonos en la interpretación geométrica de la derivada, vimos que el signo de esta determinaba el crecimiento o decrecimiento de la función. Proposición Sea I un intervalo y f ( ) una función derivable en I, entonces se verifica: Si f ( ) > 0 I f ( ) es creciente en I Si f ( ) < 0 I f ( ) es decreciente en I PUNTOS CRÍTICOS En el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función, los puntos en los que la derivada se anula desempeñan un papel fundamental. Estos puntos de derivada nula, junto a aquellos del domino en los que la función no es derivable, reciben el nombre de puntos críticos de la función. En la figura aparece la gráfica de una función derivable en R y con tres puntos críticos: =, = 0 y = 4. En =, la función pasa de ser creciente a decreciente y en él alcanza el máimo valor de sus proimidades. En matemáticas se dice que en =, la función alcanza un máimo relativo. En = 0 la función pasa de ser decreciente a creciente y en él alcanza el mínimo valor de sus proimidades. Diremos que en = 0 la función alcanza un mínimo relativo. En 4 f ' 4 = 0, pero la función es creciente tanto a la izquierda de = 4 como a su = es ( ) derecha. En 4 = no hay etremos relativos, es un punto de infleión, que estudiaremos con mas detalle en el tema siguiente

2 Etremos y optimización de funciones EXTREMOS ABSOLUTOS f ( γ ) f ( α ) f ( b ) f ( β ) f ( a ) a α β γ b En la figura aparece la gráfica de f ( ), función continua en el intervalo [ a, b ]. El teorema de Weierstrass asegura que la función alcanza un máimo y un mínimo absoluto en este intervalo. En este apartado vamos a estudiar la forma de localizar estos etremos absolutos. Los etremos absolutos pueden alcanzarse en los límites del intervalo, es decir, en = a, = b, o en el interior del intervalo, es decir, en el abierto ( a, b ). Si se alcanza en el interior del intervalo, además de etremo absoluto también será relativo, y en consecuencia un punto crítico. Según el razonamiento anterior, para localizar los etremos absolutos: Encontramos los puntos críticos. En el ejemplo son tres: γ, en el que la función no es derivable, y α y β en los que la derivada se anula. Calculamos los valores de la función en los puntos críticos y en los etremos del dominio, y comparamos los valores obtenidos. En el ejemplo: f a < f β < f b < f α < f γ La función alcanza un mínimo absoluto en = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y un máimo absoluto en = γ. Ejercicio resuelto Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimo relativos y absolutos de: 1, R Solución f = + ( ) La función es continua por ser suma de funciones continuas, luego en el cerrado [ 1, ] alcanza un máimo y un mínimo absolutos si 0 ( ) f = + = + si 0 < 1 + si < 0 La función es derivable en R { 0 }, siendo ( ) f = si 0 < Los puntos críticos son = 0, porque en el la función no es derivable, y aquellos en los que ( ) 0. f = Podemos comprobar que la derivada, teniendo en cuenta su dominio, solo se anula para = 1, por lo que los etremos relativos únicamente se pueden alcanzan en 1 o en 0. Si estudiamos el signo de f (), obtenemos: - -

3 Etremos y optimización de funciones Si observamos el crecimiento y decrecimiento de la función, podemos afirmar que: en = 0 se alcanza un máimo relativo y en = 1 un mínimo relativo. Para estudiar los etremos absolutos, se compara los relativos con el valor que toma la función en 1,. los etremos del intervalo [ ] 1 5 f = 4 f (0) = f (1) = 1 5 f = 4 La función alcanza un máimo absoluto en = 0, que vale, y un mínimo absoluto en = 1, que vale 1 Ejercicio resuelto e 1 si 0 Se considera la función f ( ) = + si > 0 preguntas. a) Es continua la función en el punto = 0. b) Es derivable en = 0. c) Alcanza algún etremo?. Contestar razonadamente las siguientes Solución f (0) = 0 a) lím f ( ) = lím e 1 = 0 lím ( ) = (0 lím ( ) = 0 ) 0 0 f f f 0 0 lím f ( ) = lím + = b) La función es derivable en { } c) f ( ) R 0, siendo ( ) ( ) lím f = lím e = 1 lím f = lím + 1 = ( ) ( ) e f ( ) = + 1 si < 0 si > 0 f ( ) es continua en 0. La función no es derivable en = 0. no se anula, pues e 0 y > 0. El único punto crítico de la función es 0, { 0} = el estudio del signo de f '( ) en R nos permite asegurar que en = 0 se alcanza un mínimo relativo. Como además es lím f ( ) lím f ( ) = =, la función no está acotada superiormente, el mínimo relativo es también un mínimo absoluto, siendo este el único etremo de la función. sig ( f '( )) = 0 - -

4 Etremos y optimización de funciones Ejercicio resuelto Estudia los intervalos de monotonía y los etremos de e > 0 e. ln f ( ) =. Como aplicación, prueba que si Solución En primer lugar estudiamos el domino: = ( 0, ) domino. f ln ) = ( f ( ) D y la función es continua y derivable en su f 1 ln =. > 0 D f sig ( f ( ) ) = sig ( 1 ln ) 1 ln = 0 ln = 1 = e e 0 e Según esto, la función alcanza un máimo absoluto en = e. Por definición de máimo absoluto: lne ln f ( e) f ( ) Df > 0 lne eln > 0 e e e > 0 lne e ln > 0 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES En este apartado vamos a resolver problemas en los que una magnitud depende de una variable y se trata de averiguar para qué valor de la variable, el de la magnitud estudiada es el óptimo. Se tratará, por ejemplo, de conseguir que utilizando una cantidad de material determinado, el volumen del recipiente obtenido sea máimo; que el tiempo invertido en hacer un recorrido sea mínimo, etc. Ejercicio resuelto P 4 Km A 10 Km B Un hombre se encuentra en un punto P del mar con una barca, y desea trasladarse hasta un punto B de una costa rectilínea. Con la barca es capaz de navegar a una velocidad de 4 Km/h, mientras que por tierra puede avanzar a 0 Km/h. En qué punto de la costa le conviene desembarcar para que el tiempo invertido en el recorrido sea mínimo? - 4 -

5 Etremos y optimización de funciones Solución. El tiempo invertido en hacer el recorrido, que es la magnitud a optimizar, depende de la distancia, que determina el punto de desembarco A. El tiempo total es la suma del tiempo que está en el agua y del que está en tierra, que en cada caso es el espacio en ese medio, dividido por la velocidad correspondiente t( ) = Es evidente que el valor mínimo del tiempo corresponde a algún valor de tal que El problema planteado se reduce a encontrar el mínimo absoluto de la función: t [ 0,10] R t( ) = t( ) = + ( ) = t t ( ) = 0 = 5 = = 16 + = = = El mínimo absoluto se alcanza en el punto crítico o en algún etremo del dominio: t ( 0) 1.5 horas, t ( 10).69 horas, t + = = = 1, 48 horas, = 10 Conviene desembarcar en el punto A para el cual es = Km. Ejercicio resuelto A un espejo rectangular de 0 cm. de largo y 0 de ancho se le ha roto en una esquina un trozo de forma triangular, de modo que la longitud ha disminuido 5 cm. y la anchura en cm. Con la parte restante se quiere hacer un nuevo espejo con bordes paralelos a los primeros y con la mayor superficie posible. Encuentra las dimensiones del nuevo espejo. Solución 0 Si hacemos un dibujo, enseguida nos damos cuenta que poner la magnitud a optimizar, la superficie, en función de dos variables es muy sencillo. Si designamos por e y las dimensiones del nuevo espejo es: S(, y) = y. 5 5 y 5 y En bachillerato solo estudiamos las funciones que dependen de una S, y está fuera de los variable, por lo que optimizar la función ( ) objetivos de este curso. Sin embargo, son frecuentes las situaciones en las que, como en esta, es sencillo plantear el problema utilizando dos variables. En esos casos habrá que, analizando el enunciado, encontrar una relación entre ellas para despejar una en función de la otra. Si observas la figura, hay varios triángulos semejantes en los que aparecen nuestras variables e y. Aplicando a dos de ellos el teorema - 5 -

6 Etremos y optimización de funciones de Tales tenemos que ( ) 5 y = y = 0 Llevando la relación entre e y a la función (, ). S y obtenemos la superficie en función de una única variable: S(, y) = y 5( 5 ) ( 5 ) S ( ) = = y = Por otra parte, es evidente que los valores lógicos de nuestra variable están comprendidos entre y 0 cm. Se trata de encontrar el máimo absoluto de S ( ) = con [ 17, 0] S ( ) = S ( ) La función tiene un punto crítico en = 5. Comparamos los valores que alcanza la función en el punto crítico y en los etremos del dominio: S (17) = 510 cm, S (0) = 500 cm y S cm = 15 El espejo de superficie máima que podemos conseguir es el que tiene por dimensiones: = = 18.5 cm. e y = 9.17 cm

7 Etremos y optimización de funciones EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Estudia el dominio, crecimiento, máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones: a) d) f ( ) = b) f ( ) = e c) f ( ) = ln e sen f ( ) = ln e) f ( ) = f) f ( ) = e cos ( ). Si f ( ) es una función definida en (,π ) 0 tal que crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f ( ). cos f ( ) =, obtén los intervalos de. Si la curva (I) es la gráfica de la función f ( ), cuál o cuáles de las otras tres pueden ser la gráfica de f ( )? Razona la respuesta (I) (II) (III) (IV) - 7 -

8 Etremos y optimización de funciones 4. Si la gráfica I corresponde a la curva y = f ( ), cuál o cuáles de la otras tres puede corresponder a y = f ( )? ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) Puede haber dos funciones distintas con la misma función derivada?, en qué se diferencian dos funciones que tienen la misma derivada? 5. Sean f ( ) y g( ) dos funciones tales que f '( ) = g '( ). Podemos asegurar que f ( ) = g( )? Qué se puede afirmar de las funciones f ( ) y g( )? 6. Indicar cuál o cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas. Justifica la respuesta: a) Si f () alcanza un máimo o un mínimo relativo en = a y f es derivable en a, entonces f ( a) = 0 b) Si f ( a) = 0, entonces f alcanza un máimo o un mínimo relativo en = a. c) Si f () alcanza un máimo o un mínimo relativo en = a, entonces f ( a) = 0 7. Halla b y c para que la curva y + b + c = tenga un mínimo relativo en el punto (,4) Halla a, b y c para que la función f ( ) = a + b + c tenga un mínimo relativo en el punto 6, 1 y se anule en = 8. ( ) - 8 -

9 Etremos y optimización de funciones 9. Halla a y b para que la función f ( ) = a ln + b + tenga etremos relativos en 1 = 1y en =. De qué tipo son esos etremos? 10. Halla el valor de k para que la función trata de un máimo o un mínimo? e f ( ) = tenga un etremo único. En ese caso, se + k 11. Halla los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones: f ( ) ( 1) ( 1) con,1 f = con 1,1 a) = + [ ] b) ( ) [ ] = d) f ( ) = ( 4 ) con [ 1, ] c) f ( ) 4 + con [, 4 ] 1. Halla los máimos y mínimos de la función ( ) f = e 1 1. Halla los puntos de la curva y = 1+ en los que la recta tangente tiene pendiente máima y el valor de esa pendiente. 14. Encuentra dos números cuya suma sea 4 y que el producto del cubo de uno por el cuadrado del otro sea máimo. 15. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de. 600 m de superficie para poder cercarlo con una valla de longitud mínima. 16. Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm., cuál es el de área máima? 17. Entre los rectángulos de 4m de perímetro, determina el de diagonal mínima. 18. De una lámina rectangular de cartón, cuyas dimensiones son 6 dm. y 8 dm. respectivamente, se cortan cuadrados iguales para construir una caja sin tapa. Qué dimensiones deben tener estos cuadrados para que el volumen sea máimo? 19. Se quiere cercar una zona rectangular de una finca. Uno de los lados de la parte cercada da a un camino, por lo que en ese lado se pondrá una valla de calidad superior al resto, que quedara en el interior de la finca. Si la valla que está al lado del camino cuesta 6 /m y la de los otros lados 1 /m. Hallar el área máima que podemos cercar con Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en una circunferencia de 5 cm. de radio. 1. Halla las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm. y 15 cm. de altura.. La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional a la anchura y al cuadrado de la altura. Halla las dimensiones de la viga de máima resistencia que se puede obtener de un madero de 60 cm. de diámetro.. Halla la base y la altura del triángulo isósceles de área máima que podemos inscribir en una circunferencia de 1 cm. de radio

10 Etremos y optimización de funciones 4. Con una cuerda hacemos un recinto con la forma indicada en la figura. Si la longitud de la cuerda es 50 cm., cuánto debe medir "" para que el área del recinto encerrado sea máimo? 5. Queremos construir una caja abierta de base cuadrada y 108 litros de capacidad. Hallar las dimensiones para que el material utilizado, y en consecuencia el coste, sea mínimo. 6. En un triángulo isósceles de 1 cm. de base y 5 cm. de altura, determinar un punto sobre esta tal que la suma de sus distancias a los tres vértices sea mínima. 7. Cuál es el punto de la curva 4y 0, 4? = más próimo a ( ) 8. Halla los vértices de un rectángulo que se debe inscribir en la elipse área sea máima. y + = 1, para que su Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con un perímetro de 0 m. Cuál será el radio que da el parterre de área máima? 0. Se desea hacer un cono, recortando su superficie de una chapa circular de radio conocido R. Halla el ángulo del sector circular que hay que cortar para que el volumen del cono se máimo. 1. Las manecillas de un reloj miden 6 y 8 cm. Uniendo sus etremos se forma un triángulo. Hallar el instante entre las 1 horas y las 1 y media en el que el área del triángulo es máima.. Halla el punto del suelo desde el cual se ve un segmento vertical de m de longitud, y cuyo etremo inferior dista 1 m. del suelo, bajo un ángulo máimo. CUESTIONES PROPUESTAS EN SELECTIVIDAD 1. Se sabe que y = f () e y = g() son dos curvas crecientes en = a. Analícese si la curva y = f ( ) g( ) ha de ser, entonces, creciente en = a. Si la respuesta es afirmativa, justifíquese, en caso contrario, encuéntrese un contraejemplo.. Dada la función f ( ) ln ( 4 5) = +, se pide: a) Determinar el dominio de la función y las asíntotas verticales de su gráfica. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( ). + 6 < 0 1 =, se pide: a) Estudiar su continuidad b) Estudiar la eistencia de asíntotas de su gráfica y, en su caso, calcularlas. c) Hallar los etremos relativos y esbozo de la función. Dada la función f ( )

11 Etremos y optimización de funciones 4. Dada la función f ( ) = + sen, se pide: a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar su monotonía y etremos relativos. 5. Sabiendo que una función ( ) f tiene como derivada f ( ) = ( 4) ( 8 + 7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Hallar máimos y mínimo relativos de la función c) Es el punto = 4 un punto de infleión? Razonar la respuesta. 6. a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [ 0,4] que tenga al menos un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo relativo en el punto (,4) b) Si la función fuera polinómica, cuál ha de ser como mínimo su grado? 7. La gráfica de la figura corresponde a la primera derivada de una función f ( ). Qué puede decirse de los posibles máimos y mínimos relativos de f (). Razonar la respuesta.. 8. Sea la función f ( ) = a + b + c + d un polinomio que cumple: f ( 1) = 0, f ( 0) = y tiene dos etremos relativos para = 1 y = a) Determinar a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? 9. Dado el polinomio P ( ) = + a + b + c, obtener a, b y c para que se verifiquen las siguientes condiciones: El polinomio P ( ) tenga etremos relativos en los puntos de abscisas = 1 y = 1. La recta de ecuación y = + sea tangente a la gráfica de P ( ) en el punto 0, P ( 0) Dada la función f ( ) = 1 + sen, se pide: a) Encontrar los puntos críticos en el intervalo ( π, π ). b) Calcular etremos relativos y/o absolutos de la función ( ) ( ) f en el intervalo [ π, π ]. π c) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( ) en = Halla los máimos y mínimos de la función ( ) f = e 1. Dados tres números reales r 1, r y r, hallar el número que minimiza la epresión: ( r ) + ( r ) + ( r ) D( ) = 1 1. Dos vías férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora (de longitud despreciable) dirigiéndose ambas al punto de corte; sus velocidades con 60 y 10 Km/h y han salido simultáneamente de estaciones situadas, respectivamente, a 40 y 0 Km del punto de corte

12 Etremos y optimización de funciones a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo transcurrido desde que inician su recorrido. b) Hallar el valor mínimo de esa distancia. 14. Dos avionetas se encuentran situadas a las nueve de la mañana a una distancia de 54 km, en las posiciones indicadas en la figura. La avioneta A se mueve hacia el sur a una velocidad de 70 km/h, mientras la avioneta B se dirige hacia el oeste a 00 km/h. a) Escribir las funciones que indican las posiciones de A y B en cada instante, así como la distancia entre ambas. b) A qué hora será mínima esa distancia? A A ( t ) 54 Km B ( t ) B 15. Se considera una caja sin tapa. Sabiendo que el fondo es un cuadrado y conociendo que el área total es de 1 cm, hallar sus dimensiones para que tenga la mayor capacidad posible. 16. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada, cuya capacidad sea de las dimensiones de la caja, para que la superficie eterior sea mínima. 8 dm. Averiguar 17. Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y volumen 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral usaremos un determinado material; pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de este envase para que su precio sea mínimo. 18. Se considera un triángulo isósceles cuya base, el lado desigual, mide 10 cm y cuya altura mide 6 cm. En él se inscribe un rectángulo, cuya base está situada sobre la base del triángulo. a) Epresa el área A de dicho rectángulo en función de la longitud de su base. b) Escribe el dominio de la función A() y dibuja su gráfica. c) Hallar el valor máimo de dicha función. 19. Se considera un círculo de radio r. a) Probar que el rectángulo de área máima inscrito en el círculo dado es un cuadrado. b) Considerando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los dos círculos. 0. Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 dm y área máima. 1. Dada la función f ( ) 1 = se pide: ( ) a) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto, ( ) a f a para a > 0. b) Hallar los puntos de corte de la recta hallada en el apartado anterior con los dos ejes de coordenadas. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima