EJERCICIOS RESUELTOS. x )

Transcripción

1 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 77 EJERCICIOS RESUELTOS Estudia el crecimiento, decrecimiento y los etremos relativos de la función f() = El dominio de f() es R, por lo tanto eiste en ]0, π[. Calculamos la primera derivada: sen cos sen f'() = = ( 4 cos ) ( 4 cos ) Como 4 cos 0 para todo número real, el dominio de f'() es R, por lo tanto también eiste en ]0, π[. Estudiamos ahora el signo de f'(), que es el de sen π π sen = 0 = 0, =, = π, 4 = y 5 = π en [ 0, π] consecuentemente: Signo de f '() 0 π/ π π/ π 4 cos en ]0, π[. π π y f() es creciente en y decreciente en π π,, 0, π π. π, π π Del estudio de la monotonía de f() (signo de f'()) se deduce que tiene máimo relativo en = y = y míni- mo relativo en = π. Los dos máimos tienen el mismo valor que es 4 y el valor del mínimo es. Representa gráficamente la función y =. ntes de representarla haremos el estudio de la función que comprende los siguientes puntos:. Dominio. Para que la función eista se necesita que 0 y 0. Por tanto: D(f) = ], ] [, [. síntotas. a) Horizontales: por la izquierda: lim = y = es asíntota horizontal por la izquierda por la derecha: lim = y = es asíntota horizontal por la derecha. b) Verticales. No tiene porque la función no tiende a infinito para valores finitos de. c) Oblicuas. No tiene por tener asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha. Tema 8. plicaciones de la derivada 77

2 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 78 EJERCICIOS RESUELTOS. Puntos de corte con los ejes. a) Con OX = (, 0) = 0 = 0 = (, 0) b) Con OY no puede tener pues 0 D(f ). 4. Simetrías. ( ) Como f( ) = = = f(), la función es impar y la curva es simétrica respecto del origen de coordenadas. 5. Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos. Estudiamos el signo de la primera derivada. y ( ) ' = = = y 0, luego no hay ni máimo ni mínimos Signo de y' ] [ Es creciente en todo su dominio. 6. Concavidad, conveidad y puntos de infleión. Estudiamos el signo de la segunda derivada ( y '' = = ) = = ( ) 4( ) 4( ) ( ) y'' = 0 = 0 = ±, ninguno de los dos valores pertenece al dominio de la función. Por tanto: Signo de y'' ] [ Es cóncava en ], [. Es convea en ], [. No tiene puntos de infleión. 7. Tabla de sistematización. f() 0 0 f' Su gráfica es: Y f'' f O X 78

3 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 79 Representa gráficamente la función y =, llamada «Tridente de Newton». Esta función también se puede epresar como y =, epresiones que utilizaremos indistintamente para su estudio.. Dominio. D(f )= R {0}. síntotas. a) Horizontales no tiene pues lim = lim = b) Verticales. Sólo puede ser la recta = 0. Veamos los límites laterales y lim lim = = ; luego = 0 es una asíntota vertical. 0 0 c) Oblicuas por la izquierda: lim = no tiene; por la derecha: lim = no tiene. Puntos de corte con los ejes a) Con OX = 0 = 0 = = (, 0) b) Con OY no puede tener pues 0 D(f) 4. Simetrías Como f( ) = ( ) = f() y f(), la curva no tiene simetrías. 5. Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos. Estudiamos el signo de la primera derivada. ; y' = 0 = y' = = = = Signo de y' 0 Por tanto es: decreciente en ], 0[ 0, ; creciente en, ; tiene un mínimo en, 4 (0,8,,9) no tiene máimo. Tema 8. plicaciones de la derivada 79

4 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 80 EJERCICIOS RESUELTOS 6. Concavidad, conveidad y puntos de infleión. Estudiamos el signo de la segunda derivada. ( ) y '' = = y'' = 0 = = Signe de y" 0 Y Del signo de y'' se deduce que es cóncava en ], [ ]0, [ convea en ], 0[ tiene un punto de infleión en (, 0). 7. Tabla de sistematización Su gráfica es: 0 f() 0 f' 0 O X f'' 0 f 4 las h. de la noche, un barco está a 75 km al este de otro B. El barco navega hacia el oeste a 0 km/h y el B navega hacia el sur a 5 km/h. Si mantienen esos rumbos, cuál será la mínima distancia entre ellos? y a qué hora se producirá? Sean 0 y B 0 las posiciones de los barcos y B a las h. y y B sus posiciones después de navegar t horas. Se tiene así la siguiente figura: B t 0 5t d O N E S B La distancia entre los barcos después de t horas de navegación es: dt () = ( 75 0t) ( 5t) = t 65t 80

5 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 8 la distancia d será mínima cuando también lo sea D = d por lo que calcularemos el valor de t para cuando D sea mínima. D(t) = t 65t D'(t) = t D'(t) = 0 50t = 000 t =,4 h ó h 4 min Veamos si D es mínimo para este valor de t D'' = 50 > 0 sí es mínimo. Por tanto se encuentran más próimos a las h. 4 min. y la distancia entre ellos es: dt () = , 4 65(, 4) = 05 = 45 km 5 Un espejo plano tenía forma de un cuadrado de 80 cm de lado y se ha roto por una esquina según una recta. Uno de los trozos tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 40 y cm. Hallar las dimensiones del espejo rectangular de área máima que se puede recortar del otro trozo, de modo que los bordes del nuevo espejo sean paralelos a los del primitivo. Con los datos del problema, podemos construir las figuras siguientes. y 80 y 40 D 80 y B E F C Si e y son las dimensiones pedidas, la función área que hay que hacer máima es: S = y Por la semejanza de los triángulos DB y EC sabemos: B C = es decir: = DB EC 80 y despejando y: y = Sustituyendo en S tenemos: S = =. 5 5 Esta función nos permite obtener el área buscada en función de una sola variable. Para obtener el máimo de dicha función derivamos: S' = ; S' = = 8 = 70 5 como S'' = 8/5 < 0; para = 70 hay un máimo. Obteniendo para este valor de el correspondiente valor de y, las dimensiones pedidas son: = 70; y = 56. Tema 8. plicaciones de la derivada 8

6 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 8 EJERCICIOS RESUELTOS 6 Calcular los posibles máimos y mínimos de las funciones siguientes en los intervalos que se indican: a) f() = ( ) ( ) en [, ] b) g() = 8 en [, ] a) Obtendremos una epresión más simple de f si operamos: f() = ( )( ) = 4 Derivando: f'() = 4 4 = 4( ) f'() = 0 si = 0 pues 0 para todo. Como f''() = 4 entonces f''(0) = 4 > 0, luego en = 0 hay un mínimo relativo en (0, ) y dicho punto pertenece al intervalo [, ]. demás en dicho intervalo sólo hay un punto que anule a la primera derivada, luego deducimos que los posibles valores máimos y mínimos absolutos los alcanzará la función en los etremos del intervalo. sí pues: f( ) = y también es f() = pues la función es par, luego f alcanza el máimo absoluto en los puntos (, ) y (, ). b) Como g() = 8, derivando: g'() = 8 g'() = 0 8 = 0 = y = 4 La derivada segunda es: g''() = 6 y verifica 4 g''() = 0 > 0 y g'' = 0 < 0 luego hay un mínimo relativo en P(, ) y un máimo relativo en Q y ambos etremos tiene la abscisa en el intervalo [, ]. El máimo absoluto lo puede obtener la función en el etremo inferior del intervalo, pero en él es 0 g( ) = 5 < y por tanto el máimo relativo obtenido es también máimo absoluto en el intervalo [, ]. 7 7 Obtén el valor de las constantes a, b y c para que la gráfica de la curva f() = a b c pase por el punto (, ) y sea tangente a la recta g() = en el punto (0, 0). Por pasar por el punto (, ): f() = a b c = Por pasar por el punto (0, 0): f(0) = 0 c = 0 Por ser tangente a la recta g() = en el (0, 0): f '(0) = b = Se deduce que a = y por tanto la curva es f() = 8

7 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 8 8 Las gráficas siguientes representan las funciones f 'y g', derivadas respectivamente de sendas funciones f y g. Y Y f g' O X O X Esboza, razonadamente, una posible gráfica de las funciones f y g. Como f' < 0 si ], [ y f' > 0 en ], [, entonces f es decreciente en ], [ y creciente en ], [. l ser f'( ) = 0 entonces f tiene un mínimo en =. Una posible gráfica es: Y f O X La función g' es positiva en los intervalos ], [ y ], [, por tanto g será creciente en dichos intervalos. sí mismo g' es negativa en ], [ por tango g será decreciente en dicho intervalo. Como g'( ) = 0 y en dicho punto g pasa de ser creciente a decreciente se deduce que en = hay un máimo relativo. l igual, en = se verifica que g'() = 0 y la función g pasa de ser decreciente a creciente, luego en = la función g tien un mínimo relativo. Una posible gráfica de g es: Y O X 9 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los etremos relativos de la función f() = El dominio de la función es D(f) = R {}. Tema 8. plicaciones de la derivada 8

8 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 84 EJERCICIOS RESUELTOS f'() = ( ) = ( ) ( ) f'() = 0 = 0 = 0, =. Los puntos críticos de f son los de abscisa = 0 y =. El signo de f' queda determinado por el signo de puesto que ( ) es siempre positivo en el dominio de f. Signo f ' 0 f es creciente en ], 0[ ], [; f es decreciente en ]0, [ ], [ f tiene en = 0 un máimo relativo y en = un mínimo relativo. Estos puntos etremos son M(0, 0) y m(, 4). Y 4 O X 0 Halla el valor de «a» para que la recta tangente a la gráfica de la función f() = a a en el punto de abscisa forme un ángulo de 45 con el eje OX. Se resuelve aplicando la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. En realidad se trata de ver qué valor debe tomar a para que la derivada de la función valga cuando = f'()= ( a) ( a) 6a = ( a) ( a) Eigiendo la condición mencionada: 6a = ( a) 6a = 0 a 4a = 0 a = ó a =. ( a) 84

9 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 85 Halla a, b y c para que la función f() = a b c pase por el punto P(, ) y tenga un mínimo en m(, 4). Si pasa por P(, ) entonces = a b c. Si tiene un mínimo en m(, 4) entonces en primer lugar se deduce que f'() = 0, es decir: f'() = a b f'() = 4a b = 0 Pero además el punto mínimo m(, 4) también pertenece a la gráfica, luego se cumple que f() = 4 es decir: 4a b c = 4 a b c = Estas condiciones han generado el sistema de ecuaciones: 4a b = 0 4a b c = 4 Cuyas soluciones son: a =, b = 8, c = 4, y por tanto la función buscada es: f() = 8 4. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen debe ser de 9 m, su altura m y que el coste de construcción por m es de 0 euros para la base, 6 euros para la tapadera y 4 para cada pared lateral. Si e y son las dimensiones de la base del contenedor, V = y = y = 9. y y La función a minimizar será el coste de construcción. C(, y) = 0 y 6 y 4 4 y = 66y 48 48y 9 Como y = 9 entonces y = y sustituyendo en la función obtenemos una epresión del coste en función de una sola variable: 4 C() = Derivando: C'() = C'() = 0 48 = = = Como C''() =, entonces C''() > 0 luego la función coste es mínima si =. Las dimensiones óptimas de la base son: = e y =. Tema 8. plicaciones de la derivada 85

10 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 86 FORMULRIO Monotonía Si f'( 0 ) > 0 f() es creciente en 0 Si f'( 0 ) < 0 f() es decreciente en 0 Etremos relativos Criterio de la primera derivada Si f'( 0 ) > 0 y f'( 0 ) < 0 entonces hay un máimo en 0. Si f'( 0 ) < 0 y f'( 0 ) > 0 entonces hay un mínimo en 0. Si f'( 0 ) y f'( 0 ) tienen igual signo entonces hay una infleión en 0. Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que admita segunda derivada en ]a, b[ y sea 0 un punto del intervalo tal que f'( 0 ) = 0. Entonces: Si f''( 0 ) < 0 f() tiene un máimo relativo en 0. Si f''( 0 ) > 0 f() tiene un mínimo relativo en 0. Si f''( 0 ) = 0 f() puede tener un máimo o un mínimo o un punto de infleión en 0. Concavidad y conveidad Si f''( 0 ) > 0 f() es cóncava en 0 Si f''( 0 ) < 0 f() es convea en 0 Si f''( 0 ) = 0 y f''() tiene distinto signo a ambos lados de 0 f() tiene un punto de infleión en ( 0, f( 0 )) Si una función f tiene en 0 un punto de infleión y además es f'( 0 ) = 0, entonces es un punto de infleión de tangente horizontal Criterio de la tercera derivada Si f es una función que admite tercera derivada en un punto 0, entonces: Si f''( 0 ) = 0 y f'''( 0 ) 0 la función tiene un punto de infleión en 0 86

11 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 87 EJERCICIOS FINLES 0 4 Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de la función: f ( ) = 6 8 Demostrar que la función f() = 5 9 no tiene etremos. Halla los etremos relativos de las funciones: a) f() = ( ) b) g() = Halla los etremos relativos de las funciones: a) h() = ln ( ) b) j() = ln Calcular los intervalos de concavidad, conveidad y puntos de infleión de: a) f() = 4 6 b) g() = ( ) 0 b) En qué momentos el rendimiento es nulo. c) Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? El beneficio diario obtenido por una empresa, en función del número de unidades producidas, viene dado por la función f() = 4. Dibuja la gráfica de dicha función para 0 8, deduciendo su forma del estudio del signo de f'(), y deduce de la gráfica para qué valores de, con 0 8, se obtienen los beneficios máimos y mínimos. a) Calcula la derivada de la función f() = y justifica si esa función es creciente o decreciente en el intervalo [, 7]. b) Representa la gráfica de y = Obtén el área de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio en función de la base del rectángulo. Representa la función área obtenida, deduciendo de la derivada dónde es creciente o decreciente, así como cuál es el rectángulo de área máima inscrito en dicha circunferencia. Hallar las funciones polinómicas f() = a b c d, cuya segunda derivada sea. Cuál o cuáles de ellas tienen un mínimo relativo en el punto (4, /)? Determina una función polinómica de segundo grado tal que su gráfica corte al eje OX en = y que tenga un mínimo relativo en el punto (, 6). La función f() = a b c pasa por (, 0) y tiene un máimo en (0, 4). Halla: a) La función. b) El punto de infleión. 4 5 l vender un producto a un precio entre 40 y 65 euros, el beneficio es y = euros. Obtener, razonadamente, el precio que maimiza y. Representa gráficamente la función y = ( ) ( ), indicando máimos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y conveidad. Durante los treinta días consecutivos de un mes las acciones de una determinada compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función f() = 0, 8 00, donde es el número de días transcurridos. Halla los días en que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza. Qué día del mes alcanzaron el valor máimo? Y el valor mínimo? Hallar a, b, c y d en la función y = a b c d sabiendo que su tangente en el punto (, ) es la recta y = y que tiene un etremo en el punto (0, ). 9 Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un eamen de una hora viene dado por r = 00t ( t), donde 0 t es el tiempo en horas. Se pide: a) En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? 6 El área ocupada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 según la función t f(t) = 0 t a) Calcular la superficie ocupada por la infección al principio. Tema 8. plicaciones de la derivada 87

12 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 88 EJERCICIOS FINLES b) Hallar el instante en que es máima el área infectada y calcular dicha área. c) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo. Se estabiliza o desparece la infección? Del al 45. Representar gráficamente las funciones: a) f() = b) f() = Dada la función f() = 5, se pide: Máimos y mínimos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Intervalos de concavidad y conveidad. Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo que se esté jugando a través de la epresión: G ( ) = (donde representa el tiempo de juego epresado en minutos). Se pide: a) Cuanto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia que se obtiene? Justificar la respuesta. b) Determinar el tiempo de juego que proporciona la mayor ganancia. c) Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas (ganancias negativas)? Por qué? k Se define la función f() =. Se pide: a) Determina k, de modo que dicha función tenga un máimo para =. b) Dibujar una gráfica razonable de la función f() para el valor de k obtenido en el apartado anterior. Estudiar el crecimiento y decrecimiento y los máimo y mínimos de la función f() = Demostrar que la función f ( ) = ln es creciente en todo su dominio de definición a) f() = b) f() = 4 a) f() = b) f() = 5 a) f() = b) f() = a) f() = ( ) ( ) b) f() = a) f() = e b) f() = a) f() = b) f() = 6 a) f() = b) f() = a) f() = b) f() = e / a) f() = b) f() = ( )( ) e a) f() = b) f() = e 6 5 a) f() = b) f() = ( ) 8 6 ( ) Calcular los valores de a, b y c sabiendo que la función f() = a b c pasa por los puntos (, 0) y (0, ) y presenta un máimo en = f() = ( )( ) Cuál es el número que sumado con su recíproco da una suma máima relativa? 88

13 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t segundos, la altura h = 500t 5t metros. Cuál será la altura máima que puede alcanzar? Inscribir en una circunferencia de radio 0 m un triángulo rectángulo de perímetro máimo. Hallar el área del triángulo rectángulo máimo que tenga 0 m de hipotenusa. De todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio 5 m, cuál es el de área máima? De todos los rectángulos de 64 cm de perímetro, determina el de área máima Un depósito cuadrado de forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada tiene de volumen 5 m. Calcular las dimensiones de sus aristas para que la cantidad de material empleado sea mínima. Un triángulo isósceles que tiene 0 cm de perímetro gira alrededor de su altura engendrando un cono. Hallar las longitudes de los lados del triángulo para que el volumen engendrado sea máimo. De la siguiente figura, formada por un rectángulo y un semicírculo, se sabe que su perímetro es 50 m. Se pide determinar: 5 De todos los rectángulos de 6 cm de superficie, determina el de perímetro mínimo. 5 De todos los rectángulos de 6 cm de superficie, determina el de diagonal mínima. y Determinar la diagonal mínima de todos los rectángulos de 8 m de perímetro. La suma de la base y de la altura de un triángulo es 0 cm. Qué longitud debe tener la base para que el área del triángulo sea máima? Hallar la base de un triángulo isósceles de perímetro 0 m y área máima. De qué clase de triángulo se trata? Inscribir un rectángulo en un triángulo isósceles de modo que tenga un lado sobre la base del triángulo y los otros dos vértices sobre cada uno de los lados iguales, y que el área del rectángulo sea máima. Las dimensiones del triángulo son: base = cm, altura = 0 cm. Se desea comprar un terreno rectangular de 400 m de superficie. Cuáles serán las dimensiones más convenientes para que la construcción de la cerca resulte lo más económica posible? Calcular las dimensiones que debe tener un estanque de forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada de modo que su volumen sea máimo. Entre las cinco caras del estanque tienen 9 m de área a) El área en función de. b) para que su área sea máima. De todos los cilindros que tienen m de superficie total, cuál es el de volumen máimo? El coste de un marco para una ventana se estima en 5 euros por cada metro de altura y 80 euros por cada metro de anchura. La ventana tendrá un metro cuadrado de superficie. Qué dimensiones debe tener el marco para que resulte lo más económico posible? De una lámina de cartón de 40 cm de ancho por 60 de largo se debe cortar de cada ángulo un cuadrado igual, de modo que con el cartón resultante, doblándolo convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. veriguar la longitud del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máima. Una hoja de papel debe contener 88 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno, y los laterales, cm. Se piden las dimensiones de la hoja para las que el gasto de papel sea mínimo. Tema 8. plicaciones de la derivada 89

14 BXX5744_08 /6/09 09:59 Página 90 EJERCICIOS FINLES Hallar el número positivo que sumando con 5 veces su recíproco de un valor mínimo. De todos los pares e y de números reales positivos cuya suma sea 0, determina razonadamente el par (, y) cuyo producto y es máimo. La siguiente figura indica la posición de tres ciudades, B y C. La distancia entre y C es de 4 km y entre B y C es de 8 km. Se desea hacer un tendido eléctrico entre las ciudades y B. El tendido que sigue la carretera (CD) cuesta unidad monetaria el kilómetro y el tendido que atraviesa el campo (D) cuesta unidades monetarias el kilómetro. Justificar que el costo del tendido es (8 ), y hallar a qué punto (D) de la carretera hay que dirigirse para que el costo del tendido sea mínimo. 8 C D B Qué dimensiones debe tener una caja de 6 dm de volumen, base rectangular y 4 dm de altura para que su superficie total (con tapa) sea mínima? De entre todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de lado 0 cm hallar las dimensiones del que tiene área mínima. Hallar las dimensiones de un bote cilíndrico de 0 litros, si el gasto de la chapa ha de ser mínimo. Descomponer 8 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. Un terreno rectangular se va a vallar y dividir en tres rectángulos iguales mediante dos vallas divisorias paralelas a los lados más pequeños del rectángulo. Si únicamente se dispone de m de valla qué dimensiones del terreno maimizan el área vallada? Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máima. Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? dosada a un muro se quiere construir una parcela rectangular para lo que se dispone de 00 m de alambrada. Se pide hallar: a) El área de la parcela en función del lado perpendicular al muro. b) Las dimensiones de la parcela de área máima. Se corta una cuerda de 00 m en dos partes para construir un cuadrado y un rectángulo de base el doble que altura. a) Obtener la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo en función de la base del rectángulo. b) Halla razonadamente las dimensiones del cuadrado y del rectángulo para que la suma de sus áreas sea mínima El consumo de un coche depende de la velocidad en km/h según la función e, fv ( ) = 00ν litros/km ν Cuál es la velocidad más económica? Cuántos litros por cada 00 km se gastarán a esta velocidad? Nota: e,78. El índice de inflación de cierto país fue variando, durante el año 008, según la epresión t 8t it () = 5 0 donde t es el tiempo en meses desde principios del año. Se pide: a) Durante qué meses el índice de inflación fue creciendo? b) partir de qué mes se supera la inflación inicial del mes de enero? El propietario de un inmueble tiene alquilados los 40 pisos del mismo a 600. al mes cada uno. Por cada 60 euros de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro piso más económico. Cuál es el alquiler que más beneficio produce al propietario? 90

15 BXX5744_08 /6/09 0:00 Página 9 UTOEVLUCIÓN La función f() = es creciente en: ], [ ]0, [ B ], 0[ C [, 0] D nada de lo anterior La función f() = 4 tiene un máimo en: = B = 0 C = D nada de lo anterior La función f() = 6 tiene un mínimo en: (4, ) B no tiene C (0, 0) D nada de lo anterior 4 La función f() = es convea en: R { } B ], [ C ], [ D nada de lo anterior 5 Los puntos de infleión de la función f() = ln son: no tiene B (, 0) C (0, ) D nada de lo anterior 6 Si una función es par entonces es simétrica respecto de: el eje OX B el eje OY C el origen de coordenadas D nada de lo anterior 7 Las asíntotas de la función f() = son: no tiene B = y = C y = 0 D nada de lo anterior 8 Dos números positivos cuyo producto es 6 y la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro es mínima, son: 4 y 4 B 6 y C 8 y D nada de lo anterior 9 La ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y determina con los ejes coordenados un triángulo de área mínima, no nula, es: y = 4 6 B y = 4 C y = D nada de lo anterior 0 De todas las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = 6 4 la máima es: B C D nada de lo anterior Tema 8. plicaciones de la derivada 9