Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

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1 Ejercicio: El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < <. c) < o >. - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) >. c) <. - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4.3 El conjunto de los números reales que verifican <, es igual al intervalo: a) [, ). b) (, ). c) (, ]. Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los números reales, a < b.

2 Ejercicio: La epresión f a) I = (,]. b) I = [,). c) I = (, ]. = define una función f : I R cuando: El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen. La función f = está definida en el intervalo I = (, ], porque el denominador se anula en = y hay una asíntota vertical. Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asíntotas horizontales, hay asíntota horizontal en las funciones racionales cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador. lim f lim = f : I R, la función f está definida en un intervalo de R, es decir de una parte de R. Porque presenta problemas en un punto. I,, +. { } La I representa cualquier intervalo donde no se presentan problemas. Función: aplicación R R. Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B.

3 Ejercicio: 4.5 Septiembre pregunta. 4.5 La epresión f = define una función f : I si a) I = (, ). b) I = [, ). c) I = (, ). El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen. La epresión f = define una función f : I R si: I = [, ], porque en el dominio de definición de una raíz la epresión que está dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que, en el caso que sea negativa no tiene imagen. Por lo tanto tenemos: = = Para la función f = estará definida

4 Ejercicio: La epresión f a) I = (,]. b) I = (,8). c) I = ( 4, ). = define una función f : I si = en = y hay una asíntota vertical. La epresión f define una función f : I R si: I = ( 4, ), porque el denominador se anula Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asíntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador ecede en una unidad del grado del denominador, son incompatibles con las asíntotas horizontales. Son rectas del tipo y = a+ b f a= lim ; b= lim( f a) f lim a = = = Aplicamos L'hopital b= lim( f a) = ( ) = = = y = +, asíntota oblicua. La epresión es continua en (,) (, + ). = = = f = y = +

5 Ejercicio: El gráfico de la función a) (,5). b) (,3). c) (,7). El gráfico de la función f = + + pasa por el punto f = + + pasa por el punto (,7). a) b) c) = + +

6 Ejercicio: El gráfico de la función 3 a) (,5). b) (-,). c) (-,3). El gráfico de la función 3 a) 3 = + b) ( 3 ) c) ( 3 ) 5 = f = + NO pasa por el punto f = + NO pasa por el punto (-,3).

7 Ejercicio: El gráfico de la función f = definida en el intervalo a) (,.5) y (4,). b) (,.5) y (4,.5). c) (.5, 3) y (.5, 4). El gráfico de la función f = pasa por los puntos (,.5) y (4,.5).,, pasa por los puntos:

8 Ejercicio: El gráfico de la función a) (, 3 ) y (, ) b) ( 6,3 ) y ( 3, 6 ) c) (, ) y ( 3, 3 ) f = + 3 definida sobre (, ), pasa por los puntos El gráfico de la función f = + 3 definida sobre (, ), pasa por los puntos ( 6,3 ) y ( 3, 6 ) 3= ( 6) = ( 3) + 3

9 Ejercicio: 4. Junio 7 Reserva pregunta 6. El gráfico de la función f = pasa por los puntos (-,) y (,)

10 Ejercicio: 4. Junio 7 Reserva pregunta 6. f 4. Si f es la función = 4 definida en (, ) a) Por encima de la gráfica de f. b) Por debajo de la gráfica de f. c) Sobre la gráfica de f., el punto (,) está f = 4 =, por lo tanto como f = <, el punto (,) está por encima de la gráfica de f.

11 Ejercicio: Si f es la función f ( ) = definida en (, ), el punto (3,.5) está a) Por encima de la gráfica de f. b) Por debajo de la gráfica de f. c) Sobre la gráfica de f. f ( 3) = 3, por lo tanto como de f. f 3 = 3, 73 >,5, el punto (3,.5) está por debajo de la gráfica

12 Ejercicio: Si f es la función f = definida en (, ), y g es la función g (, ) el punto (.5, 7) está a) Por debajo de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g. b) Por debajo de la gráfica de f y por debajo de la gráfica de g. c) Por encima de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g. = + definida en f (,5) = 6, 5, por lo tanto como g (,5) = 6, por lo tanto como f,5 = 6, 5 < 7, el punto (.5, 7) está por encima de la gráfica de f. g,5 = 6 < 7, el punto (.5, 7) está por encima de la gráfica de g.

13 Ejercicio: 4.4 Septiembre Reserva pregunta. Septiembre 9 pregunta Las gráficas de las funciones f = y g los puntos. a) (,4) y (,). b) (,) y (,). c) (,) y (,4). Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f = g = = ( ) = = = f = f = 4 Las gráficas de las funciones f = y g = definidas en el intervalo (,, se cortan en = se cortan en (,) y (,4). )

14 Ejercicio: Las gráficas de las funciones f y g definidas en el intervalo, por f y g cortan en: a) Ningún punto. b) Un único punto. c) Dos puntos. se Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f g 4 4 a 44 b b ac f Las gráficas de las funciones f y g se cortan en un único punto (,).

15 Ejercicio: Si f es creciente en el intervalo (-3,) se cumple: a) f ( ) f ( ). b) f f ( ) c) f ( ) f.. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. En la función f = vemos que en el intervalo (-3,) es creciente y por lo tanto f ( ) f ( )

16 Ejercicio: Si f es creciente en el intervalo (-4,) no puede ser: a) f ( 3) > f ( ). b) f ( ) f ( ) c) f ( 3) = f ( ). >. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( 3) = 3 y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, como aumenta dentro del intervalo y f f ( 3) = 3 y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. En la función f = vemos que en el intervalo (-4,) es creciente y por lo tanto f ( 3) < f ( )

17 Ejercicio: Si f es decreciente en el intervalo (-,) tiene que ser: a) f ( ) f. b) f ( 3 ) f ( ) c) f ( ) f ( ).. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f =, aumenta dentro del intervalo y f f ( 3 ) = 3 y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. La función f = vemos que en el intervalo (-,) es decreciente y por lo tanto f ( 3 ) f ( )

18 Ejercicio: Si f es decreciente en el intervalo (-3,) no puede ser: a) f ( 4 3) f ( 3) b) f ( 4 3) f ( 5 3) c) f ( 7 3) f ( 4 3) <. <. =. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( 4 3) = 4 3 y f ( 3) = 3, aumenta dentro del intervalo y f f ( 5 3) = 5 3 y f ( 4 3) = 4 3, aumenta dentro del intervalo y f f ( 7 3) = 7 3 y f ( 4 3) = 4 3, aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. La función f = vemos que en el intervalo (-3,) es decreciente y por lo tanto f ( 4 3) < f ( 3) f ( 3) =,6 f ( 4 3) =,3 f ( 5 3) =,6 f ( 7 3) =,3

19 Ejercicio: La función f = es: a) Creciente en el intervalo (-,-). b) Creciente en el intervalo (,3). c) Decreciente en el intervalo (,). Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = 4 y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f f = 4 y f ( 3) = 9 como aumenta dentro del intervalo y f f = y f = 4 como aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f ( ) = 4 < f = 4 > f = > f = < Como -4 y - son menores que, en este intervalo la función decrece. f 3 = 6 > Como 4 y 6 son mayores que, en este intervalo la función crece. f = 4 > Como y 4 son mayores que, en este intervalo la función crece.

20 Ejercicio: La función f = es: a) Decreciente en el intervalo (-,). b) Creciente en el intervalo (-,-3). c) Creciente en el intervalo (,). Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f (, ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) =,5 y f ( 3) =,3, aumenta dentro del intervalo y f f = y f =,5 como aumenta dentro del intervalo y f Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f f 4 f = = < f = < = = < = = < Al ser los dos valores menores que la función decrece. f 3 = < 9 Al ser los dos valores menores que la función decrece. f = < Al ser los dos valores menores que la función decrece.

21 Ejercicio: 4. lim f = + es: 4. El límite de a). b) -. c) 3. lim f = + = = 4.3 El límite de a). b) -. c) No eiste. lim f = es: lim f = = = 4.4 El límite de lim f a). b). c) = es: lim f = = = + = =

22 Ejercicio: La función lim f = ( ) es: a) Tiene límite. b) Tiene límite. c) No tiene límite. lim f = = = + ( ) Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a por la izquierda, es decir para valores más pequeños que pero muy próimos. f (, 9) = = =, = (,9 ) (,) f (,99) = = =, = (,99 ) (, ) Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a con valores más pequeños la función se va a +. Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a por la derecha, es decir para valores más grandes que pero muy próimos. f (,) = = =, = (, ) (,) f (, ) = = =, = (, ) (,) Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a con valores más grandes la función se va a +.

23 Ejercicio: Si f es la función definida por f a) f lim =. b) f lim =. c) lim f =. = se cumple: f = = Aplicamos L'hopital f = = = f ( ) ( ) = = = Valor opuesto. lim =

24 Ejercicio: La función lim f a) Tiene límite. b) No tiene límite. c) Tiene límite. = se cumple: ( ) ( + ) f = = = + lim f = + = lim f = = Aplicamos L'hopital f = = =

25 Ejercicio: Si f es la función definida por lim f lim a) f lim = 3. b) lim f = +. c) No eiste límite. f = = = ± = se cumple: Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a,5 por la izquierda, es decir para valores más pequeños que,5 pero muy próimos. f (, 4) = = = = 5, 4,8, f (, 499) = = = = 5, 499,998, Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a,5 con valores más pequeños la función se va a +. Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a,5 por la derecha, es decir para valores más grandes que,5 pero muy próimos. f (,6) = = = = 5,6,, f (,5) = = = = 5,5,, Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a,5 con valores más grandes la función se va a.

26 Ejercicio: Si f tiene un mínimo relativo en a) lim f f >. b) lim f f =. c) lim f f. = y eiste lim f, se verifica: Como f f en algún intervalo ( ab, ) alrededor de, si eiste lim = lim f lim f f f, tiene que ser 4.3 Si f tiene un máimo relativo en a) lim f f. b) lim f f =. c) lim f f <. = y eiste lim f, se verifica: Como f f en algún intervalo ( ab, ) alrededor de, si eiste lim = lim f lim f f f, tiene que ser

27 Ejercicio: La función f ( ) = : a) Es continua en = y =. b) Es discontinua en = y continua en =. c) Es discontinua en = y =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una = ( ) =, Además lim f = ( ) =, Además lim f f = y coincide con el valor del límite en que es. f = y coincide con el valor del límite en que es.

28 Ejercicio: 4.3 f = + + : 4.3 La función a) Es continua en todos sus puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una = + + =, Además lim f = + + =, Además lim f 3 f = y coincide con el valor del límite en que es. f = 3 y coincide con el valor del límite en que es 3.

29 Ejercicio: 4.33 = La función f a) Es continua en todos los puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con ( ) discontinuidad en. lim f = = + lim f = = + =. f la función f es discontinua o tiene una, Además f = y coincide con el valor del límite en que es., Además f = y coincide con el valor del límite en - que es.

30 Ejercicio: 4.33 Junio 8 Reserva pregunta 3 La función f =, es continua en todos los puntos a) Es continua en todos los puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. lim f = = lim f 4 ( + 6) = = 7 4 ( + 6) =. f la función f es discontinua o tiene una, Además f = y coincide con el valor del límite en que es., Además f = y coincide con el valor del límite en - que es 7. 7

31 Ejercicio: La función definida como f = para y f = c. a) Tiene una discontinuidad en =, independientemente del valor de c. b) Es continua en = si c =. c) Es continua en = si c =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + = + = Además lim f f = y coincide con el valor del límite en que es. Una función f() es continua en el punto a si cumple:. La función está definida en a, es decir eiste f(a). Tiene límite en el punto a 3. El límite es igual al valor de la función en el punto a lim f = f ( a) Si falla alguna de estas condiciones, la función no es continua en el punto a, diremos que es discontinua en a, diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos donde está definida. a

32 Ejercicio: La función definida por f = ( ), si y f =. a) No tiene discontinuidades. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. lim f = = = ( ) tenemos una discontinuidad. =. f la función f es discontinua o tiene una, pero f = no coincide con el valor del límite en que es, así que

33 Ejercicio: La función definida por f = y f a) No tiene discontinuidades. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. = cuando. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + = ( + ) =, Además el valor de lim f lim f = no coincide con el valor del límite en que es.

34 Ejercicio: La función definida por f = +, si y f = c. a) Tiene una discontinuidad en =, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en = si c =. c) Es continua en = si c =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + + = ( ) =, Además si lim f lim f = coincide con el valor del límite en - que es.

35 Ejercicio: La función definida por f, si y f c si. a) Tiene una discontinuidad en, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en si c. c) Es continua en si c. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim c c Como se puede ver coinciden los límites laterales si c. f f c

36 Ejercicio: La función f 3, si y f c si. a) Tiene una discontinuidad en, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en si c. c) Es continua en si c. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim 3 lim f lim c c Como se puede ver coinciden los límites laterales si c. 3 f f c

37 Ejercicio: La función f, si y f a) Es continua en todos los puntos. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. si. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim Como se puede ver no coinciden los límites laterales por lo tanto en = hay una discontinuidad. f f

38 Ejercicio: La función f, que se define como f si y f si. a) Es continua en todos los puntos. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim Como se puede ver coinciden los límites laterales por lo tanto es continua en todos sus puntos. f f

39 Ejercicio: Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Toda función continua en un punto es derivable en ese punto. b) Toda función derivable en un punto es continua en ese punto. c) Algunas funciones derivables en un punto no son continuas en ese punto. Hay funciones continuas en un punto que no son derivables, por ejemplo, la función f =, que se define f si si < = Es continua en =, pero no es derivable en ese punto. = =, Además lim f lim + + = =, Además lim f lim Una función f es continua en el punto f = y coincide con el valor del límite en que es. f = y coincide con el valor del límite en que es. si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una f = f = <

40 Ejercicio: La función f = tiene derivada a) f =. b) f =. c) =. f Solución: f = 4.44 La función 3 f = + tiene derivada a) 3 f = 3 +. b) f = 3 +. c) f = 3 +. f = 3 + Solución: 4.45 La función f = tiene derivada a) f =. f =. f =. b) c) Solución: f = 4.46 La función f ( 3) 3 a) f = 3 ( 3). b) f = 9 3. =. c) f 6 ( 3) = tiene derivada Solución: f = 3 ( 3) ( 3) = 9 ( 3) 4.47 Para a) f = 3. b) f = 3. f =. La función 3 c) 3 Solución: f 3 3 = = f = tiene derivada

41 4.48 Para 3 La función f ( 3) a) f = 3 ( + 3). b) f = 3 ( + 3). c) = ( + ). f 3 Solución: f ( ) ( + 3) ( + 3) = = 4.49 La función f ( ) a) f = ( + ). = +. b) f ( ) = +. c) f ( ) Solución: f = + tiene derivada = + tiene derivada ( ) ( + ) ( + ) + = = 4.5 La función f f = +. a) = +. b) f = +. c) f = + tiene derivada f = = + + Solución: 4.5 La función f ( ) ( ) = + + tiene derivada f = f = + +. f = + +. a) b) c) f = = = + + Solución: La función f = tiene derivada f =. f 3 =. f =. a) b) c) 3 Solución: f = = = 3 3 f = =

42 Ejercicio: La derivada de la función f = en el punto = 3, es igual a: a) 7. b). c). f = 3 f 3 = 3 3 3= La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (3,8) y = f + f y = = 45 = + ( ( )) y además pasa por el punto.

43 Ejercicio: Si f es la función f a) 5. b) -5. c) -. = 5 ( ), definida para, la derivada de f en =, es igual a: 5 ( ) 5 ( ) ( ) f = = ( ) 5 5 f = = = 5 La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,-5) y = f + f y = 5 5= 5 5 = + ( ( )) y además pasa por el punto.

44 Ejercicio: La derivada de la función f ( ) = en el punto =, es igual a: a). b) -. c) /. f = f () = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,) y = f + f y = ( ) + = + = + ( ( )) y además pasa por el punto.

45 Ejercicio: La derivada de la función f = cumple: a) f () = 5 6. b) f ( 4) = 3 4. c) f ( 9) =. f = 3 f ( 4) = = = Si f es la función f a) 4. b). c). = ( + ) ( ), definida para, la derivada de f en =, es igual a: ( ) ( ) ( ) f = = = f = = = ( ) ( ) La derivada de la función f a) f =. b) f = 7. c) f () = 3. = + cumple: f = 4 = a) f 3 4 = = b) f = = = = = = = 4 + ( 6) + ( 7 6) 4 ( 7 6) 4 4 ( 7 4 ) c) f () = = 4 +

46 4.59 La derivada de la función f = + + cumple: a) f =. b) f = ( 3). c) f ( 3) =,5. f = + f = = La derivada de la función f = + no cumple: a) f =. b) f () =. c) f ( 3) = 8. ( ) ( + ) ( + ) ( + ) f = = = + f = = () ( + ) + f = = ( + ) f ( 3) = = = = 6 8 ( 3 + ( 3+ ) ) 4.6 La derivada de la función 3 a) f = 3. b) f () =. c) f ( ) = 8. f = 6 + no cumple: 3 f = + f = 3 ( + ) = 3 f () = 3 ( + ) = f ( ) = ( ) 3 ( + ) =

47 Ejercicio: La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t) = t t. La velocidad del móvil en el instante t es: a) v( t) t =. b) v( t) = t t. c) v( t) = t t. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = t La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t) = t + t. La velocidad del móvil en el instante t= es: a). b). c) 3. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = t +. La velocidad en el instante t = es: v f = = + = 3 f t = 3t t. Su 4.64 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función posición en el instante en que su velocidad es es: a) 3. b) 9 4. c) 3 4. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: 3 v t = f t = t. La velocidad es igual a en el instante t que cumple3 t =, es decir t = 3. En ese instante, la posición es f ( 3 ) = = 9 4.

48 f t = t 3t. La 4.65 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función 3 velocidad del móvil verifica: a) v = 3. b) v = 3. c) v ( ) = 8. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = 6t 3. v = v = 3 v 3 = 9 La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando t tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo. v t ( + ) e f t t f t = lim = lim = e t t t t t Aceleración instantánea La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. a = v ( t) Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo. a = e ( t) El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función metros y el tiempo en segundos. Hallar la ecuación de la velocidad. v( t) = e ( t) = 6t Hallar la velocidad en el instante t =. v = e t = 6 = m / s a t = v t = e t = 6 m / s Hallar la ecuación de la aceleración. e t = 3t t +. El espacio se mide en

49 Ejercicio: La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f = en el punto de abscisa = vale: a) -. b). c). La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto. f = f () = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,) y = f + f y = + = = + ( ( )) y además pasa por el punto.

50 Ejercicio: La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f = en el punto de abscisa = vale: a). b) -8. c) -7. La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto f = 3 f = 4 3 = 7 ( ) ( ( )) La derivada f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f ( ). La ecuación de dicha recta tangente es y = f ( ) ( ) + f ( ) y además pasa por el punto Punto (-,) y = f + f y = = 7 5 f.

51 Ejercicio: La gráfica de la función f a) 3 en el punto de abscisa = 4. b) en el punto de abscisa =. c) 3 en el punto de abscisa = 9. =, definida para, tiene tangente de pendiente La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto. f = f ( 4) = = 4 4 f = = f ( 9) = = La tangente a la gráfica de la función a) = 5 4. b) = 7 4. c) = 3. f = + 3 = 8 + f ( 5 4) = 8 ( 5 4) + = f ( 7 4) = 8 ( 7 4) + = f ( 3 ) = 8 ( 3 ) + = 4.7 La tangente a la gráfica de la función a) =. b) =. c) =. f = + f = = + f = = + 5 ( ) f ( ) = = + 3 f = + 3 tiene pendiente - en el punto de abscisa: f = + tiene pendiente en el punto de abscisa:

52 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función de abscisa: a) =. b) =. c) = 3. La recta y = 3, tiene como pendiente. f = + + es paralela a la recta y = 3, en el punto La derivada de la función f = + + es: f = + Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale, resolvemos la ecuación + = + = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (/, 7/4) y = f + f 7 3 y = + = = + ( ( )) y además pasa por el punto. f = y = + y = 3 4

53 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función f ( ) = definida para > es paralela a la recta 3 y+ = en el punto de abscisa: a) =. b) =. c) = 3. La recta 3 y+ =, es igual a + y = tiene como pendiente 3 3. La derivada de la función f = es: f = = Tenemos que buscar una pendiente igual a, por lo tanto la respuesta correcta es 3 = 3 La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( f ). La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto ( 3, 3) ( ) ( ) = + y además pasa por el punto f. y = f + f 3 y = ( 3) + 3 = y = f =

54 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función abscisa: a) =. b) = 3. c) =. La recta y =, tiene como pendiente. La derivada de la función f f = es: f = es perpendicular a la recta y =, en el punto de = Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale, resolvemos la ecuación = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,34) = + y además pasa por el punto. ( ( )) y = f + f 3 5 y = + + = y = + 4 = f

55 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función abscisa: a) y. b) y. c) y. f es perpendicular a la recta en los puntos de Para que la tangente a la gráfica sea perpendicular a la recta debe ser una recta horizontal, paralela al eje de abscisas y tiene que tener pendiente igual a. es: f La derivada de la función f Tenemos que encontrar la pendiente igual a de la ecuación. La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto Punto, Punto, y f f y f f y y f. f

56 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función 4 a) y = +. b) y = 3. c) y = 3. f = en el punto de abscisa = tiene por ecuación: 4 La derivada de la función f 3 f = 4 3 f () = 4 = La derivada f = es: es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( f ). La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (, ) 3 y = f + f y = = ( ) ( ) = + y además pasa por el punto f. 4 f = y = 3

57 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa tiene por ecuación: a) y. b) y. c) y. La derivada de la función f f f es: La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto Punto, y f f y f. Respuesta correcta y y f y

58 Ejercicio: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f es: a) 4y3. b) 43y5. c) 4y3. La derivada de la función f es: f 3 f 4 en el punto de abscisa La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto f. Punto, y f f y Respuesta correcta 4y3 3 y 4 4 f 3 y 4 4

59 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f definida en el intervalo en que la recta y3 corta a la gráfica de f tiene por ecuación: a) 4y3. b) 4y4. c) 4 y4.,, por el punto Primero calcularemos el punto en que la recta y3 corta a la gráfica de la función y luego trazaremos la tangente a la gráfica por ese punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema de ecuaciones: y y Como el intervalo de definición es,, comprobamos el punto de corte El punto de corte es,. La derivada de la función f es f La pendiente de la tangente es f 4, f La ecuación de la recta tangente es: y4 4 y4 y3 f y 44

60 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f ( ) = definida en el intervalo paralela a la recta 9 + y = tiene por ecuación: a) 9+ y 3=. b) 9+ y 6=. c) 9+ y 9=. La recta 9 + y = tiene pendiente igual a -9.,, que es Para hallar en qué punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente, hacemos: La derivada de la función f = es f Y el punto tiene coordenadas ( 3,3 ). = = 9 = 3 La ecuación de la recta tangente es: y 3= y 6= f = y = 9+ 6

61 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f ecuación:, paralela a la recta y tiene por a) b) c) y. 4 y. y. La recta y y tiene por pendiente. Para hallar en que punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente hallamos la derivada y la igualamos a. La derivada de la función f es: f 4 La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto f. Punto, Ecuación de la recta tangente: 4 y f f y y 4 y y 4 f

62 Ejercicio: Si la tangente a la gráfica de la función 3 y+ 4= se verifica: f = f = 5 f = 5 a) 5 y b) y c) y f =. f = 3. f = 3. La abscisa del punto de tangencia es =. La ecuación de la recta tangente: y f = f ( ) f, en el punto de abscisa =, tiene por ecuación El valor de f es igual a la pendiente de la recta tangente f = 3 3 y f = ( ) 3 y 6+ f = 6+ f = 4 f = 5

63 Ejercicio: La función 3 a) [,]. b) [,]. c) [,3 ]. f = 3 es decreciente en el intervalo: Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. = La derivada de la función f = 3 es f 3 3 =± = f 3 = 3 3 3= 4 f ( ) = 3( ) 3= 9 f f = 3 3= 94 f = 3 3= 94 f = 3 3= 9 f ( 3) = 3( 3) 3= 4 f f

64 Ejercicio: La función f =, definida para, es: a) Decreciente en el intervalo [, ]. b) Creciente en el intervalo [, ]. c) Creciente en el intervalo [, ]. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. = La derivada de la función f = es f f = = f = =,5 f Intervalos de decrecimiento f = =, 5 f Intervalos de decrecimiento f = = f = = f = =,5 f Intervalos de decrecimiento

65 Ejercicio: La función f ( ) = ( 3 ) 3 es decreciente en los intervalos: a) (, 3] y [ 3, ). b) (, 3] y [ ) c) (, ). 3,. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. La derivada de la función f = ( 3) 3 es f 9( 3 ) será negativa, además la función es continua en todos los puntos ( ) ( ) f 5 = = 5 f Intervalos de decrecimiento f 3 = = 89 f = 9 3 = 36 f f 3 = = 89 = = =, como es negativa cualquier valor de f Intervalos de decrecimiento

66 Ejercicio: La función a),. b),. c),3. f es creciente en los intervalos: Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. La derivada de la función f es f El intervalo, no es correcto ya que en el intervalo, función también crece. Además en hay una asíntota vertical. lim f lim f lim f lim f f f,5 3 f Intervalos de crecimiento,5 f, 5, 5 3 f 4 f Intervalos de decrecimiento 8 f la función crece y en el intervalo, la

67 Ejercicio: La derivada segunda de la función 3 a) 3. b) 6. c) 3 +. f = + es igual a: f = 3 + f = La derivada segunda de la función f = 4 definida para > es igual a: a).. b) 3 c) 4( ). 4 f = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = = = = La derivada segunda de la función f ( ) a) ( ) ( ) 3 b) ( ) c) ( + ) 3. = + es igual a: ( + ) ( + ) ( + ) + + f = = = ( + ) ( + ) f = = = + = + + =

68 4.89 La derivada segunda de la función f = 4 en el punto de abscisa = 4 vale: a). b) 4. c) 8. f = 4 = f = = = = = La derivada segunda de la función f ( ) d) f =. e) f = 4. f) f = 4 3. = cumple: ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = ( ) ( ) 8 4 f = = = 4 4 a) f = 4. b) f = 4. c) f = 4 7.

69 Ejercicio: La función f = 3+ 5 tiene un mínimo relativo en: a) =. b) = 3. c) =. 3 f = 3= 3 = =, 5 En =, 5 tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = > Como es mayor que entonces tenemos un mínimo relativo.

70 Ejercicio: La función 3 f = 3 tiene un máimo relativo en: a) =. b) =. c) =. f = = b± b ac ± + ± = = a = = En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f ( ) = ( ) 6= 8< Máimo relativo

71 Ejercicio: La función f = definida para >, tiene un máimo relativo: a) = 4. b) =. c) = 34. f = = = = = = = 4 En = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. 4 f = f = = = < Máimo relativo

72 Ejercicio: La función f = 3+ 6 tiene un máimo relativo en: a) =. b) =. c) =. f = = b± b ac ± + ± = = a = = En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f ( ) = ( ) 6= 8< Máimo relativo

73 Ejercicio: La función a) = 3. b) =. c) = f = = 3 3 f = 9 3 tiene un mínimo relativo en: b± b 4ac ± 4+ ± = = a 4 = 3 = En = 3 = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = 6 6 f ( 3) = 6 6 ( 3) = > () 6 6 () Mínimo relativo f = = < Máimo relativo

74 Ejercicio: La función 3 a) =. b) =. c) = 3. f = = = = = f = 3 tiene un máimo relativo en: En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f = = < Máimo relativo

75 Ejercicio: La función f a) =. b) =. c) =. + = tiene un máimo relativo en: + + f = = = = = = = = En tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. = f = = = = f () = = > Mínimo relativo 3 f ( ) = = < Máimo relativo 3

76 Ejercicio: La función f = en el intervalo [, ]: a) Es convea. b) Es cóncava. c) No es cóncava ni convea. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. () f = 3 f = 3 = > La pendiente de la recta tangente es f = 3 = 8> La pendiente de la recta tangente es 8 Como la pendiente de la recta tangente crece en el intervalo [, ] la función es convea. f = 6 f () = 6 = 4> f = 6 = > Como la segunda derivada es positiva en el intervalo [, ] y deducimos que la primera derivada es creciente en el intervalo [, ].

77 Ejercicio: La función f = + en el intervalo(, ) : a) Es convea. b) Es cóncava. c) No es cóncava ni convea. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f = ( + ) ( 3 ) 3 ( + ) Si la función que obtenemos de la segunda derivada la igualamos a tenemos como soluciones: ( ) 3 ( + ) 3 = = 3 = 3 Quiere decir que en estos dos puntos hay un punto de infleión, es decir un cambio de curvatura, por lo tanto vamos a ver cómo se comporta la función antes y después de este punto, en concreto en = 3 ya que el intervalo de definición es (, ). Tomamos la primera derivada para hacer el estudio, f = Primero miramos el intervalo (, 3 ), f, = =,3698 ( +, ),4 f, 4 = =,5945 ( +,4 ) Como la pendiente decrece la función es cóncava. Segundo paso miramos el intervalo ( 3,+ ) (,6) + () () f,6 = =,6487 () (,6 ) f = =,5 ( + ) f = =,6 ( + ) Como la pendiente crece la función es cónvea. ( + )

78

79 Ejercicio: La función f a) Creciente. b) Es convea. c) Es cóncava = en el intervalo(, ) : Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f () = = = < La pendiente de la recta tangente es - ) f ( 3) = = =,< La pendiente de la recta tangente es, ) 3 9 f ( 5) = = =,4< La pendiente de la recta tangente es,4 5 5 f = 3 f () = = > 3 f ( 5) = =, 6 > 3 5 Como la segunda derivada es positiva en el intervalo creciente en el intervalo (, ). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, y deducimos que la primera derivada es = crece y la función es convea

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