Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
|
|
- Sergio Bustos Sánchez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ejercicio: El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < <. c) < o >. - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) >. c) <. - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4.3 El conjunto de los números reales que verifican <, es igual al intervalo: a) [, ). b) (, ). c) (, ]. Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los números reales, a < b.
2 Ejercicio: La epresión f a) I = (,]. b) I = [,). c) I = (, ]. = define una función f : I R cuando: El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen. La función f = está definida en el intervalo I = (, ], porque el denominador se anula en = y hay una asíntota vertical. Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asíntotas horizontales, hay asíntota horizontal en las funciones racionales cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador. lim f lim = f : I R, la función f está definida en un intervalo de R, es decir de una parte de R. Porque presenta problemas en un punto. I,, +. { } La I representa cualquier intervalo donde no se presentan problemas. Función: aplicación R R. Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B.
3 Ejercicio: 4.5 Septiembre pregunta. 4.5 La epresión f = define una función f : I si a) I = (, ). b) I = [, ). c) I = (, ). El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen. La epresión f = define una función f : I R si: I = [, ], porque en el dominio de definición de una raíz la epresión que está dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que, en el caso que sea negativa no tiene imagen. Por lo tanto tenemos: = = Para la función f = estará definida
4 Ejercicio: La epresión f a) I = (,]. b) I = (,8). c) I = ( 4, ). = define una función f : I si = en = y hay una asíntota vertical. La epresión f define una función f : I R si: I = ( 4, ), porque el denominador se anula Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asíntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador ecede en una unidad del grado del denominador, son incompatibles con las asíntotas horizontales. Son rectas del tipo y = a+ b f a= lim ; b= lim( f a) f lim a = = = Aplicamos L'hopital b= lim( f a) = ( ) = = = y = +, asíntota oblicua. La epresión es continua en (,) (, + ). = = = f = y = +
5 Ejercicio: El gráfico de la función a) (,5). b) (,3). c) (,7). El gráfico de la función f = + + pasa por el punto f = + + pasa por el punto (,7). a) b) c) = + +
6 Ejercicio: El gráfico de la función 3 a) (,5). b) (-,). c) (-,3). El gráfico de la función 3 a) 3 = + b) ( 3 ) c) ( 3 ) 5 = f = + NO pasa por el punto f = + NO pasa por el punto (-,3).
7 Ejercicio: El gráfico de la función f = definida en el intervalo a) (,.5) y (4,). b) (,.5) y (4,.5). c) (.5, 3) y (.5, 4). El gráfico de la función f = pasa por los puntos (,.5) y (4,.5).,, pasa por los puntos:
8 Ejercicio: El gráfico de la función a) (, 3 ) y (, ) b) ( 6,3 ) y ( 3, 6 ) c) (, ) y ( 3, 3 ) f = + 3 definida sobre (, ), pasa por los puntos El gráfico de la función f = + 3 definida sobre (, ), pasa por los puntos ( 6,3 ) y ( 3, 6 ) 3= ( 6) = ( 3) + 3
9 Ejercicio: 4. Junio 7 Reserva pregunta 6. El gráfico de la función f = pasa por los puntos (-,) y (,)
10 Ejercicio: 4. Junio 7 Reserva pregunta 6. f 4. Si f es la función = 4 definida en (, ) a) Por encima de la gráfica de f. b) Por debajo de la gráfica de f. c) Sobre la gráfica de f., el punto (,) está f = 4 =, por lo tanto como f = <, el punto (,) está por encima de la gráfica de f.
11 Ejercicio: Si f es la función f ( ) = definida en (, ), el punto (3,.5) está a) Por encima de la gráfica de f. b) Por debajo de la gráfica de f. c) Sobre la gráfica de f. f ( 3) = 3, por lo tanto como de f. f 3 = 3, 73 >,5, el punto (3,.5) está por debajo de la gráfica
12 Ejercicio: Si f es la función f = definida en (, ), y g es la función g (, ) el punto (.5, 7) está a) Por debajo de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g. b) Por debajo de la gráfica de f y por debajo de la gráfica de g. c) Por encima de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g. = + definida en f (,5) = 6, 5, por lo tanto como g (,5) = 6, por lo tanto como f,5 = 6, 5 < 7, el punto (.5, 7) está por encima de la gráfica de f. g,5 = 6 < 7, el punto (.5, 7) está por encima de la gráfica de g.
13 Ejercicio: 4.4 Septiembre Reserva pregunta. Septiembre 9 pregunta Las gráficas de las funciones f = y g los puntos. a) (,4) y (,). b) (,) y (,). c) (,) y (,4). Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f = g = = ( ) = = = f = f = 4 Las gráficas de las funciones f = y g = definidas en el intervalo (,, se cortan en = se cortan en (,) y (,4). )
14 Ejercicio: Las gráficas de las funciones f y g definidas en el intervalo, por f y g cortan en: a) Ningún punto. b) Un único punto. c) Dos puntos. se Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f g 4 4 a 44 b b ac f Las gráficas de las funciones f y g se cortan en un único punto (,).
15 Ejercicio: Si f es creciente en el intervalo (-3,) se cumple: a) f ( ) f ( ). b) f f ( ) c) f ( ) f.. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. En la función f = vemos que en el intervalo (-3,) es creciente y por lo tanto f ( ) f ( )
16 Ejercicio: Si f es creciente en el intervalo (-4,) no puede ser: a) f ( 3) > f ( ). b) f ( ) f ( ) c) f ( 3) = f ( ). >. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( 3) = 3 y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, como aumenta dentro del intervalo y f f ( 3) = 3 y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. En la función f = vemos que en el intervalo (-4,) es creciente y por lo tanto f ( 3) < f ( )
17 Ejercicio: Si f es decreciente en el intervalo (-,) tiene que ser: a) f ( ) f. b) f ( 3 ) f ( ) c) f ( ) f ( ).. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f =, aumenta dentro del intervalo y f f ( 3 ) = 3 y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) = y f ( ) =, aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. La función f = vemos que en el intervalo (-,) es decreciente y por lo tanto f ( 3 ) f ( )
18 Ejercicio: Si f es decreciente en el intervalo (-3,) no puede ser: a) f ( 4 3) f ( 3) b) f ( 4 3) f ( 5 3) c) f ( 7 3) f ( 4 3) <. <. =. Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( 4 3) = 4 3 y f ( 3) = 3, aumenta dentro del intervalo y f f ( 5 3) = 5 3 y f ( 4 3) = 4 3, aumenta dentro del intervalo y f f ( 7 3) = 7 3 y f ( 4 3) = 4 3, aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. La función f = vemos que en el intervalo (-3,) es decreciente y por lo tanto f ( 4 3) < f ( 3) f ( 3) =,6 f ( 4 3) =,3 f ( 5 3) =,6 f ( 7 3) =,3
19 Ejercicio: La función f = es: a) Creciente en el intervalo (-,-). b) Creciente en el intervalo (,3). c) Decreciente en el intervalo (,). Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = 4 y f ( ) = como aumenta dentro del intervalo y f f = 4 y f ( 3) = 9 como aumenta dentro del intervalo y f f = y f = 4 como aumenta dentro del intervalo y f disminuye, la función decrece. aumenta, la función crece. aumenta, la función crece. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f ( ) = 4 < f = 4 > f = > f = < Como -4 y - son menores que, en este intervalo la función decrece. f 3 = 6 > Como 4 y 6 son mayores que, en este intervalo la función crece. f = 4 > Como y 4 son mayores que, en este intervalo la función crece.
20 Ejercicio: La función f = es: a) Decreciente en el intervalo (-,). b) Creciente en el intervalo (-,-3). c) Creciente en el intervalo (,). Función creciente, cuando aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( ), f es creciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y Función decreciente, cuando aumenta dentro de un intervalo entonces f ( ) disminuye, f es decreciente en el intervalo si se verifica: f ( ) f ( ), pertenecen al intervalo. siempre que < y f ( ) = y f (, ) =, aumenta dentro del intervalo y f f ( ) =,5 y f ( 3) =,3, aumenta dentro del intervalo y f f = y f =,5 como aumenta dentro del intervalo y f Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. disminuye, la función decrece. Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f f 4 f = = < f = < = = < = = < Al ser los dos valores menores que la función decrece. f 3 = < 9 Al ser los dos valores menores que la función decrece. f = < Al ser los dos valores menores que la función decrece.
21 Ejercicio: 4. lim f = + es: 4. El límite de a). b) -. c) 3. lim f = + = = 4.3 El límite de a). b) -. c) No eiste. lim f = es: lim f = = = 4.4 El límite de lim f a). b). c) = es: lim f = = = + = =
22 Ejercicio: La función lim f = ( ) es: a) Tiene límite. b) Tiene límite. c) No tiene límite. lim f = = = + ( ) Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a por la izquierda, es decir para valores más pequeños que pero muy próimos. f (, 9) = = =, = (,9 ) (,) f (,99) = = =, = (,99 ) (, ) Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a con valores más pequeños la función se va a +. Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a por la derecha, es decir para valores más grandes que pero muy próimos. f (,) = = =, = (, ) (,) f (, ) = = =, = (, ) (,) Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a con valores más grandes la función se va a +.
23 Ejercicio: Si f es la función definida por f a) f lim =. b) f lim =. c) lim f =. = se cumple: f = = Aplicamos L'hopital f = = = f ( ) ( ) = = = Valor opuesto. lim =
24 Ejercicio: La función lim f a) Tiene límite. b) No tiene límite. c) Tiene límite. = se cumple: ( ) ( + ) f = = = + lim f = + = lim f = = Aplicamos L'hopital f = = =
25 Ejercicio: Si f es la función definida por lim f lim a) f lim = 3. b) lim f = +. c) No eiste límite. f = = = ± = se cumple: Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a,5 por la izquierda, es decir para valores más pequeños que,5 pero muy próimos. f (, 4) = = = = 5, 4,8, f (, 499) = = = = 5, 499,998, Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a,5 con valores más pequeños la función se va a +. Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproimamos a,5 por la derecha, es decir para valores más grandes que,5 pero muy próimos. f (,6) = = = = 5,6,, f (,5) = = = = 5,5,, Como podemos ver cuanto más nos aproimamos a,5 con valores más grandes la función se va a.
26 Ejercicio: Si f tiene un mínimo relativo en a) lim f f >. b) lim f f =. c) lim f f. = y eiste lim f, se verifica: Como f f en algún intervalo ( ab, ) alrededor de, si eiste lim = lim f lim f f f, tiene que ser 4.3 Si f tiene un máimo relativo en a) lim f f. b) lim f f =. c) lim f f <. = y eiste lim f, se verifica: Como f f en algún intervalo ( ab, ) alrededor de, si eiste lim = lim f lim f f f, tiene que ser
27 Ejercicio: La función f ( ) = : a) Es continua en = y =. b) Es discontinua en = y continua en =. c) Es discontinua en = y =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una = ( ) =, Además lim f = ( ) =, Además lim f f = y coincide con el valor del límite en que es. f = y coincide con el valor del límite en que es.
28 Ejercicio: 4.3 f = + + : 4.3 La función a) Es continua en todos sus puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una = + + =, Además lim f = + + =, Además lim f 3 f = y coincide con el valor del límite en que es. f = 3 y coincide con el valor del límite en que es 3.
29 Ejercicio: 4.33 = La función f a) Es continua en todos los puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con ( ) discontinuidad en. lim f = = + lim f = = + =. f la función f es discontinua o tiene una, Además f = y coincide con el valor del límite en que es., Además f = y coincide con el valor del límite en - que es.
30 Ejercicio: 4.33 Junio 8 Reserva pregunta 3 La función f =, es continua en todos los puntos a) Es continua en todos los puntos. b) Es discontinua en =. c) Es discontinua en =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. lim f = = lim f 4 ( + 6) = = 7 4 ( + 6) =. f la función f es discontinua o tiene una, Además f = y coincide con el valor del límite en que es., Además f = y coincide con el valor del límite en - que es 7. 7
31 Ejercicio: La función definida como f = para y f = c. a) Tiene una discontinuidad en =, independientemente del valor de c. b) Es continua en = si c =. c) Es continua en = si c =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + = + = Además lim f f = y coincide con el valor del límite en que es. Una función f() es continua en el punto a si cumple:. La función está definida en a, es decir eiste f(a). Tiene límite en el punto a 3. El límite es igual al valor de la función en el punto a lim f = f ( a) Si falla alguna de estas condiciones, la función no es continua en el punto a, diremos que es discontinua en a, diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos donde está definida. a
32 Ejercicio: La función definida por f = ( ), si y f =. a) No tiene discontinuidades. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. lim f = = = ( ) tenemos una discontinuidad. =. f la función f es discontinua o tiene una, pero f = no coincide con el valor del límite en que es, así que
33 Ejercicio: La función definida por f = y f a) No tiene discontinuidades. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. = cuando. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + = ( + ) =, Además el valor de lim f lim f = no coincide con el valor del límite en que es.
34 Ejercicio: La función definida por f = +, si y f = c. a) Tiene una discontinuidad en =, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en = si c =. c) Es continua en = si c =. Una función f es continua en el punto si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una ( ) ( + ) f = = = + + = ( ) =, Además si lim f lim f = coincide con el valor del límite en - que es.
35 Ejercicio: La función definida por f, si y f c si. a) Tiene una discontinuidad en, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en si c. c) Es continua en si c. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim c c Como se puede ver coinciden los límites laterales si c. f f c
36 Ejercicio: La función f 3, si y f c si. a) Tiene una discontinuidad en, independientemente del valor que tome c. b) Es continua en si c. c) Es continua en si c. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim 3 lim f lim c c Como se puede ver coinciden los límites laterales si c. 3 f f c
37 Ejercicio: La función f, si y f a) Es continua en todos los puntos. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. si. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim Como se puede ver no coinciden los límites laterales por lo tanto en = hay una discontinuidad. f f
38 Ejercicio: La función f, que se define como f si y f si. a) Es continua en todos los puntos. b) Tiene una única discontinuidad. c) Tiene dos discontinuidades. Hay que estudiar los límites laterales en el punto. lim f lim lim f lim Como se puede ver coinciden los límites laterales por lo tanto es continua en todos sus puntos. f f
39 Ejercicio: Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Toda función continua en un punto es derivable en ese punto. b) Toda función derivable en un punto es continua en ese punto. c) Algunas funciones derivables en un punto no son continuas en ese punto. Hay funciones continuas en un punto que no son derivables, por ejemplo, la función f =, que se define f si si < = Es continua en =, pero no es derivable en ese punto. = =, Además lim f lim + + = =, Además lim f lim Una función f es continua en el punto f = y coincide con el valor del límite en que es. f = y coincide con el valor del límite en que es. si se verifica lim f f ( ) Tanto si el límite no eiste como si no coincide con discontinuidad en. =. f la función f es discontinua o tiene una f = f = <
40 Ejercicio: La función f = tiene derivada a) f =. b) f =. c) =. f Solución: f = 4.44 La función 3 f = + tiene derivada a) 3 f = 3 +. b) f = 3 +. c) f = 3 +. f = 3 + Solución: 4.45 La función f = tiene derivada a) f =. f =. f =. b) c) Solución: f = 4.46 La función f ( 3) 3 a) f = 3 ( 3). b) f = 9 3. =. c) f 6 ( 3) = tiene derivada Solución: f = 3 ( 3) ( 3) = 9 ( 3) 4.47 Para a) f = 3. b) f = 3. f =. La función 3 c) 3 Solución: f 3 3 = = f = tiene derivada
41 4.48 Para 3 La función f ( 3) a) f = 3 ( + 3). b) f = 3 ( + 3). c) = ( + ). f 3 Solución: f ( ) ( + 3) ( + 3) = = 4.49 La función f ( ) a) f = ( + ). = +. b) f ( ) = +. c) f ( ) Solución: f = + tiene derivada = + tiene derivada ( ) ( + ) ( + ) + = = 4.5 La función f f = +. a) = +. b) f = +. c) f = + tiene derivada f = = + + Solución: 4.5 La función f ( ) ( ) = + + tiene derivada f = f = + +. f = + +. a) b) c) f = = = + + Solución: La función f = tiene derivada f =. f 3 =. f =. a) b) c) 3 Solución: f = = = 3 3 f = =
42 Ejercicio: La derivada de la función f = en el punto = 3, es igual a: a) 7. b). c). f = 3 f 3 = 3 3 3= La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (3,8) y = f + f y = = 45 = + ( ( )) y además pasa por el punto.
43 Ejercicio: Si f es la función f a) 5. b) -5. c) -. = 5 ( ), definida para, la derivada de f en =, es igual a: 5 ( ) 5 ( ) ( ) f = = ( ) 5 5 f = = = 5 La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,-5) y = f + f y = 5 5= 5 5 = + ( ( )) y además pasa por el punto.
44 Ejercicio: La derivada de la función f ( ) = en el punto =, es igual a: a). b) -. c) /. f = f () = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,) y = f + f y = ( ) + = + = + ( ( )) y además pasa por el punto.
45 Ejercicio: La derivada de la función f = cumple: a) f () = 5 6. b) f ( 4) = 3 4. c) f ( 9) =. f = 3 f ( 4) = = = Si f es la función f a) 4. b). c). = ( + ) ( ), definida para, la derivada de f en =, es igual a: ( ) ( ) ( ) f = = = f = = = ( ) ( ) La derivada de la función f a) f =. b) f = 7. c) f () = 3. = + cumple: f = 4 = a) f 3 4 = = b) f = = = = = = = 4 + ( 6) + ( 7 6) 4 ( 7 6) 4 4 ( 7 4 ) c) f () = = 4 +
46 4.59 La derivada de la función f = + + cumple: a) f =. b) f = ( 3). c) f ( 3) =,5. f = + f = = La derivada de la función f = + no cumple: a) f =. b) f () =. c) f ( 3) = 8. ( ) ( + ) ( + ) ( + ) f = = = + f = = () ( + ) + f = = ( + ) f ( 3) = = = = 6 8 ( 3 + ( 3+ ) ) 4.6 La derivada de la función 3 a) f = 3. b) f () =. c) f ( ) = 8. f = 6 + no cumple: 3 f = + f = 3 ( + ) = 3 f () = 3 ( + ) = f ( ) = ( ) 3 ( + ) =
47 Ejercicio: La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t) = t t. La velocidad del móvil en el instante t es: a) v( t) t =. b) v( t) = t t. c) v( t) = t t. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = t La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t) = t + t. La velocidad del móvil en el instante t= es: a). b). c) 3. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = t +. La velocidad en el instante t = es: v f = = + = 3 f t = 3t t. Su 4.64 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función posición en el instante en que su velocidad es es: a) 3. b) 9 4. c) 3 4. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: 3 v t = f t = t. La velocidad es igual a en el instante t que cumple3 t =, es decir t = 3. En ese instante, la posición es f ( 3 ) = = 9 4.
48 f t = t 3t. La 4.65 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función 3 velocidad del móvil verifica: a) v = 3. b) v = 3. c) v ( ) = 8. La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo tanto: v t = f t = 6t 3. v = v = 3 v 3 = 9 La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando t tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo. v t ( + ) e f t t f t = lim = lim = e t t t t t Aceleración instantánea La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. a = v ( t) Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo. a = e ( t) El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función metros y el tiempo en segundos. Hallar la ecuación de la velocidad. v( t) = e ( t) = 6t Hallar la velocidad en el instante t =. v = e t = 6 = m / s a t = v t = e t = 6 m / s Hallar la ecuación de la aceleración. e t = 3t t +. El espacio se mide en
49 Ejercicio: La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f = en el punto de abscisa = vale: a) -. b). c). La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto. f = f () = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,) y = f + f y = + = = + ( ( )) y además pasa por el punto.
50 Ejercicio: La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f = en el punto de abscisa = vale: a). b) -8. c) -7. La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto f = 3 f = 4 3 = 7 ( ) ( ( )) La derivada f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f ( ). La ecuación de dicha recta tangente es y = f ( ) ( ) + f ( ) y además pasa por el punto Punto (-,) y = f + f y = = 7 5 f.
51 Ejercicio: La gráfica de la función f a) 3 en el punto de abscisa = 4. b) en el punto de abscisa =. c) 3 en el punto de abscisa = 9. =, definida para, tiene tangente de pendiente La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( ) es igual al valor de la derivada en ese punto. f = f ( 4) = = 4 4 f = = f ( 9) = = La tangente a la gráfica de la función a) = 5 4. b) = 7 4. c) = 3. f = + 3 = 8 + f ( 5 4) = 8 ( 5 4) + = f ( 7 4) = 8 ( 7 4) + = f ( 3 ) = 8 ( 3 ) + = 4.7 La tangente a la gráfica de la función a) =. b) =. c) =. f = + f = = + f = = + 5 ( ) f ( ) = = + 3 f = + 3 tiene pendiente - en el punto de abscisa: f = + tiene pendiente en el punto de abscisa:
52 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función de abscisa: a) =. b) =. c) = 3. La recta y = 3, tiene como pendiente. f = + + es paralela a la recta y = 3, en el punto La derivada de la función f = + + es: f = + Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale, resolvemos la ecuación + = + = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (/, 7/4) y = f + f 7 3 y = + = = + ( ( )) y además pasa por el punto. f = y = + y = 3 4
53 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función f ( ) = definida para > es paralela a la recta 3 y+ = en el punto de abscisa: a) =. b) =. c) = 3. La recta 3 y+ =, es igual a + y = tiene como pendiente 3 3. La derivada de la función f = es: f = = Tenemos que buscar una pendiente igual a, por lo tanto la respuesta correcta es 3 = 3 La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( f ). La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto ( 3, 3) ( ) ( ) = + y además pasa por el punto f. y = f + f 3 y = ( 3) + 3 = y = f =
54 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función abscisa: a) =. b) = 3. c) =. La recta y =, tiene como pendiente. La derivada de la función f f = es: f = es perpendicular a la recta y =, en el punto de = Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale, resolvemos la ecuación = = La derivada f ( ( f ( ) )) f ( ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto. La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (,34) = + y además pasa por el punto. ( ( )) y = f + f 3 5 y = + + = y = + 4 = f
55 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función abscisa: a) y. b) y. c) y. f es perpendicular a la recta en los puntos de Para que la tangente a la gráfica sea perpendicular a la recta debe ser una recta horizontal, paralela al eje de abscisas y tiene que tener pendiente igual a. es: f La derivada de la función f Tenemos que encontrar la pendiente igual a de la ecuación. La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto Punto, Punto, y f f y f f y y f. f
56 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función 4 a) y = +. b) y = 3. c) y = 3. f = en el punto de abscisa = tiene por ecuación: 4 La derivada de la función f 3 f = 4 3 f () = 4 = La derivada f = es: es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( f ). La ecuación de dicha recta tangente es y f ( ) ( ) f ( ) Punto (, ) 3 y = f + f y = = ( ) ( ) = + y además pasa por el punto f. 4 f = y = 3
57 Ejercicio: La tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa tiene por ecuación: a) y. b) y. c) y. La derivada de la función f f f es: La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto Punto, y f f y f. Respuesta correcta y y f y
58 Ejercicio: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f es: a) 4y3. b) 43y5. c) 4y3. La derivada de la función f es: f 3 f 4 en el punto de abscisa La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto f. Punto, y f f y Respuesta correcta 4y3 3 y 4 4 f 3 y 4 4
59 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f definida en el intervalo en que la recta y3 corta a la gráfica de f tiene por ecuación: a) 4y3. b) 4y4. c) 4 y4.,, por el punto Primero calcularemos el punto en que la recta y3 corta a la gráfica de la función y luego trazaremos la tangente a la gráfica por ese punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema de ecuaciones: y y Como el intervalo de definición es,, comprobamos el punto de corte El punto de corte es,. La derivada de la función f es f La pendiente de la tangente es f 4, f La ecuación de la recta tangente es: y4 4 y4 y3 f y 44
60 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f ( ) = definida en el intervalo paralela a la recta 9 + y = tiene por ecuación: a) 9+ y 3=. b) 9+ y 6=. c) 9+ y 9=. La recta 9 + y = tiene pendiente igual a -9.,, que es Para hallar en qué punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente, hacemos: La derivada de la función f = es f Y el punto tiene coordenadas ( 3,3 ). = = 9 = 3 La ecuación de la recta tangente es: y 3= y 6= f = y = 9+ 6
61 Ejercicio: La recta tangente a la gráfica de la función f ecuación:, paralela a la recta y tiene por a) b) c) y. 4 y. y. La recta y y tiene por pendiente. Para hallar en que punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente hallamos la derivada y la igualamos a. La derivada de la función f es: f 4 La derivada f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto f. La ecuación de dicha recta tangente es y f f y además pasa por el punto f. Punto, Ecuación de la recta tangente: 4 y f f y y 4 y y 4 f
62 Ejercicio: Si la tangente a la gráfica de la función 3 y+ 4= se verifica: f = f = 5 f = 5 a) 5 y b) y c) y f =. f = 3. f = 3. La abscisa del punto de tangencia es =. La ecuación de la recta tangente: y f = f ( ) f, en el punto de abscisa =, tiene por ecuación El valor de f es igual a la pendiente de la recta tangente f = 3 3 y f = ( ) 3 y 6+ f = 6+ f = 4 f = 5
63 Ejercicio: La función 3 a) [,]. b) [,]. c) [,3 ]. f = 3 es decreciente en el intervalo: Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. = La derivada de la función f = 3 es f 3 3 =± = f 3 = 3 3 3= 4 f ( ) = 3( ) 3= 9 f f = 3 3= 94 f = 3 3= 94 f = 3 3= 9 f ( 3) = 3( 3) 3= 4 f f
64 Ejercicio: La función f =, definida para, es: a) Decreciente en el intervalo [, ]. b) Creciente en el intervalo [, ]. c) Creciente en el intervalo [, ]. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. = La derivada de la función f = es f f = = f = =,5 f Intervalos de decrecimiento f = =, 5 f Intervalos de decrecimiento f = = f = = f = =,5 f Intervalos de decrecimiento
65 Ejercicio: La función f ( ) = ( 3 ) 3 es decreciente en los intervalos: a) (, 3] y [ 3, ). b) (, 3] y [ ) c) (, ). 3,. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. La derivada de la función f = ( 3) 3 es f 9( 3 ) será negativa, además la función es continua en todos los puntos ( ) ( ) f 5 = = 5 f Intervalos de decrecimiento f 3 = = 89 f = 9 3 = 36 f f 3 = = 89 = = =, como es negativa cualquier valor de f Intervalos de decrecimiento
66 Ejercicio: La función a),. b),. c),3. f es creciente en los intervalos: Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. La derivada de la función f es f El intervalo, no es correcto ya que en el intervalo, función también crece. Además en hay una asíntota vertical. lim f lim f lim f lim f f f,5 3 f Intervalos de crecimiento,5 f, 5, 5 3 f 4 f Intervalos de decrecimiento 8 f la función crece y en el intervalo, la
67 Ejercicio: La derivada segunda de la función 3 a) 3. b) 6. c) 3 +. f = + es igual a: f = 3 + f = La derivada segunda de la función f = 4 definida para > es igual a: a).. b) 3 c) 4( ). 4 f = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = = = = La derivada segunda de la función f ( ) a) ( ) ( ) 3 b) ( ) c) ( + ) 3. = + es igual a: ( + ) ( + ) ( + ) + + f = = = ( + ) ( + ) f = = = + = + + =
68 4.89 La derivada segunda de la función f = 4 en el punto de abscisa = 4 vale: a). b) 4. c) 8. f = 4 = f = = = = = La derivada segunda de la función f ( ) d) f =. e) f = 4. f) f = 4 3. = cumple: ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = ( ) ( ) 8 4 f = = = 4 4 a) f = 4. b) f = 4. c) f = 4 7.
69 Ejercicio: La función f = 3+ 5 tiene un mínimo relativo en: a) =. b) = 3. c) =. 3 f = 3= 3 = =, 5 En =, 5 tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = > Como es mayor que entonces tenemos un mínimo relativo.
70 Ejercicio: La función 3 f = 3 tiene un máimo relativo en: a) =. b) =. c) =. f = = b± b ac ± + ± = = a = = En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f ( ) = ( ) 6= 8< Máimo relativo
71 Ejercicio: La función f = definida para >, tiene un máimo relativo: a) = 4. b) =. c) = 34. f = = = = = = = 4 En = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. 4 f = f = = = < Máimo relativo
72 Ejercicio: La función f = 3+ 6 tiene un máimo relativo en: a) =. b) =. c) =. f = = b± b ac ± + ± = = a = = En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f ( ) = ( ) 6= 8< Máimo relativo
73 Ejercicio: La función a) = 3. b) =. c) = f = = 3 3 f = 9 3 tiene un mínimo relativo en: b± b 4ac ± 4+ ± = = a 4 = 3 = En = 3 = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = 6 6 f ( 3) = 6 6 ( 3) = > () 6 6 () Mínimo relativo f = = < Máimo relativo
74 Ejercicio: La función 3 a) =. b) =. c) = 3. f = = = = = f = 3 tiene un máimo relativo en: En = = tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. f = f = = > Mínimo relativo f = = < Máimo relativo
75 Ejercicio: La función f a) =. b) =. c) =. + = tiene un máimo relativo en: + + f = = = = = = = = En tenemos un máimo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo. = f = = = = f () = = > Mínimo relativo 3 f ( ) = = < Máimo relativo 3
76 Ejercicio: La función f = en el intervalo [, ]: a) Es convea. b) Es cóncava. c) No es cóncava ni convea. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. () f = 3 f = 3 = > La pendiente de la recta tangente es f = 3 = 8> La pendiente de la recta tangente es 8 Como la pendiente de la recta tangente crece en el intervalo [, ] la función es convea. f = 6 f () = 6 = 4> f = 6 = > Como la segunda derivada es positiva en el intervalo [, ] y deducimos que la primera derivada es creciente en el intervalo [, ].
77 Ejercicio: La función f = + en el intervalo(, ) : a) Es convea. b) Es cóncava. c) No es cóncava ni convea. Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f = ( + ) ( 3 ) 3 ( + ) Si la función que obtenemos de la segunda derivada la igualamos a tenemos como soluciones: ( ) 3 ( + ) 3 = = 3 = 3 Quiere decir que en estos dos puntos hay un punto de infleión, es decir un cambio de curvatura, por lo tanto vamos a ver cómo se comporta la función antes y después de este punto, en concreto en = 3 ya que el intervalo de definición es (, ). Tomamos la primera derivada para hacer el estudio, f = Primero miramos el intervalo (, 3 ), f, = =,3698 ( +, ),4 f, 4 = =,5945 ( +,4 ) Como la pendiente decrece la función es cóncava. Segundo paso miramos el intervalo ( 3,+ ) (,6) + () () f,6 = =,6487 () (,6 ) f = =,5 ( + ) f = =,6 ( + ) Como la pendiente crece la función es cónvea. ( + )
78
79 Ejercicio: La función f a) Creciente. b) Es convea. c) Es cóncava = en el intervalo(, ) : Si f es una función definida y derivable en un intervalo I: Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f. Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f. f = f () = = = < La pendiente de la recta tangente es - ) f ( 3) = = =,< La pendiente de la recta tangente es, ) 3 9 f ( 5) = = =,4< La pendiente de la recta tangente es,4 5 5 f = 3 f () = = > 3 f ( 5) = =, 6 > 3 5 Como la segunda derivada es positiva en el intervalo creciente en el intervalo (, ). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, y deducimos que la primera derivada es = crece y la función es convea
Estudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje
Más detallesMatemáticas Febrero 2013 Modelo A
Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las
Más detallesx + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado
Más detallesPágina 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales:
Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = +@ 8 0 f () = +@ 8 0 + Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesFUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detallesAsíntotas en una función.
Asíntotas en una unción. Las asíntotas son rectas a las cuales la unción se va aproimando indeinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al ininito. Deinición: Si un punto, y )
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesTema 1. Cálculo diferencial
Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesTeoría Tema 9 Representación gráfica de funciones
página 1/24 Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones Índice de contenido Gráficas de funciones...2 Gráfica de una parábola...3 Gráfica de un polinomio de grado 3...6 Gráfica de un cociente de
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 9-OCTUBRE-199 1) 3 > 4. +1 ) Sea la función 3 si 1 a + b si 1 . Encontrar los valores de a, b, c para que la función
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio nº 1.- Calcula (), utilizando la definición de derivada, siendo: f () + 5 f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 18 (4 + 4 + )
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesFUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Función Derivada Función compuesta Derivada y f x y f x y f g x
Tabla de derivadas Función Derivada Función compuesta Derivada k ' 0 ' ' n ' ' ' e ' n n n n ' n ' e a ' ln ln log a a a ' ' e a ln ln a Reglas de derivación log a ' ' ' ' ' ' ' ' ' ln ' ' ' ' e a a '
Más detallesProfesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Más detalles5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente
5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas Recta tangente Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta
Más detallesa) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím
Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 07 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesAplicaciones de la derivada
CAPÍTULO 8 Alicaciones de la derivada 8.3 Concavidad conveidad Observemos que f 00./ > 0 en un intervalo ) f 0./ es creciente en dicho intervalo, or lo tanto, al recorrer la gráfica de la función f de
Más detallesTEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea
Más detallesTEMA 1: Funciones elementales
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo
Más detalles8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.
7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.
ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite
Más detalles= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x)
UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 6 Funciones Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesLas superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2
MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base
Más detallesDerivada de una función
0 Derivada de una función Derivada de una función L I T E R A T U R A M A T E M Á T I C A S La ciudad Rosa y Roja Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar que cada día
Más detallesExamen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2
Curso º Bachillerato 16/05/017 Ejercicio 1 a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 1+3 ; g() = ln(1 5) + e7 b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de la función dada por: a)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL 9 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA COLECCIÓN DE PROBLEMAS - CAPÍTULO 3 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesAPUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO
APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable
Más detalles1. f(x) = x3 1 x 2. 2. f(x) = x2 9 x 2 4. 3. f(x) = x 3 x + 2. x 3 (x 1) 2. 4. f(x) = 5. f(x) = x + 5 x 2 9. 6. f(x) = x2 3 x 2. x 2 3 x 2. 7.
. f() =. f() = 9. f() =. f() = ( ). f() = 9 6. f() = 7. f() =. f() = 9. f() = p. f() =. f() =. f() = ( ). f() = 9. f() = ( ) . f() = Función racional con asíntota oblícua. Einamos los puntos que anulan
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesTeorema de máximos y mínimos para funciones continuas:
Matemática II 7 Modulo 4 Estudio de funciones. Valores etremos de funciones En muchos casos las funciones que se presentan no pueden graficarse hallando unos pocos puntos, a que no es fácil deducir el
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.
Más detalles2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.-
Más detallesANÁLISIS. d) No, se podrían haber considerado infinitas funciones diferenciadas en una constante.
Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. ANÁLISIS Junio 99. Sea f: una función cuya primera derivada es f () =. Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad
Más detallesTEMA 11: ESTUDIO LOCAL Y GLOBAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN
TEMA 11: ESTUDIO LOCAL Y GLOBAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN ESTUDIO DE LA MONOTONÍA DEF.- Una función es CRECIENTE en un intervalo I del dominio de la función si: x1 < x2 I f ( x1 ) f ( x2). Si se cumple
Más detallesGuía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos
Más detallesSOLUCIONES ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) Fecha: La pendiente de la recta es m = = x = 4. x = 2 2x. Ejercicio nº 1.- Solución: La recta será:
Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta y. SOLUCIONES ' Fecha: La pendiente de la recta es m Cuando, y La recta será: Ejercicio nº.- y ( ) Averigua
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Función: Es toda aplicación definida entre conjuntos numéricos. Cuando el conjunto inicial y final son los números Reales, se llaman funciones reales de variable real.
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detalles1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. Ejemplo: Estudiar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) de la función 2
UNIDAD 11.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Estudiando el signo de la derivada primera podemos saber cuándo una función es creciente o decreciente.
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio nº.- Estudia y representa la siguiente unción: ( ) + 6 Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de la unción: ( + ) ( ) Ejercicio nº.- Dada la unción: y sen sen, [0, ] a) Halla
Más detallesIES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada (Modelo del 01) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo de 01 Sea la
Más detallesEcuación de la recta tangente
Ecuación de la recta tangente Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto
Más detallesAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas. Recta tangente a una curva en un punto La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto ( 0, f( 0 )) viene dada por f ( 0 ) siempre que la función
Más detalles2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas
Más detalles5. [2013] [EXT-A] En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días
. [204] [ET-A] Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 0 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) =
Más detallesPROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa
Más detallesa) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 2- III- 16 CURSO
EXAMEN DE MATEMÁTICAS GRÁFICAS E INTEGRALES Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: - III- 6 CURSO 05-6. [ punto] Estudia si las siguientes funciones presentan simetría par (respecto del eje de ordenadas)
Más detallesAPLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 2º Bachillerato
Recta Tangente a una curva en uno de sus Puntos Si f(x) es derivable en x 0, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en x 0 es: Tipos: y y 0 = m (x-x 0 ) y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x-x 0 ) 1)
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 8 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detalles5 APLICACIONES DE LA DERIVADA
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA La derivada va a ser la herramienta más potente a la hora de dar forma a la representación gráfica de una función. Ella determinará con toda fidelidad el crecimiento, decrecimiento,
Más detalles1 Elabora una tabla de valores de la función f(x) = x 2-4x + 3 en puntos x próximos a x = 2. Sugiere la tabla
Unidad nº 9 CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS! 1 PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Elabora una tabla de valores de la función f() - + en puntos próimos a. Sugiere la tabla que f() es continua en? 1 9 1 99 1 999 1 01
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesEjercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:
Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 26 - Todos resueltos
página 1/12 Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 26 - Todos resueltos Hoja 26. Problema 1 1. a) Calcula el número real m que cumple lim 0 ln(1+m ) sen(2 ) =. b) Obtener
Más detallesTipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x
Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: a) y = ; b) y = ; c) y = y= y= y= Representa las siguientes funciones: a) y = b)
Más detallesTEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES
TEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES 1 DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función está formado por aquellos valores de (números reales) para los que se puede calcular f(). PUNTOS
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA CCSS
APLICACIONES DE LA DERIVADA CCSS Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en
Más detallesOpción A. teorema se puede aplicar también si sale /, y cuando x. Como. , la recta x = 0 es una A.V. de la función f.
Opción A 1 Ejercicio 1. [ 5 puntos] Sea f la función definida, para 0, por f e. Determina las asíntotas de la gráfica de f. La recta = a es una asíntota vertical (A.V.) de la función f si lim f Veamos
Más detallesGráficas de las funciones racionales
Gráficas de las funciones racionales Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de crecen mucho. Es importante que
Más detallesEn las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2)
UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral..- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades.
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detalles1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN
.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Actividades del alumno/a Explica porqué la siguiente gráfica no corresponde a una función: Porque a un valor de x, por ejemplo x =, le corresponde más de un valor de y. .- CONCEPTO
Más detalles1.5 Límites infinitos
SECCIÓN.5 Límites infinitos 8.5 Límites infinitos Determinar ites infinitos por la izquierda por la derecha. Encontrar dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función., cuando Límites infinitos
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA
Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN
Más detalles