Asíntotas en una función.
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- Rodrigo Fuentes Maestre
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1 Asíntotas en una unción. Las asíntotas son rectas a las cuales la unción se va aproimando indeinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al ininito. Deinición: Si un punto, y ) ( se desplaza continuamente por una unción y ( ) de tal orma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al ininito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la unción. Las asíntotas se clasiican en: Verticales Asíntotas Horizontales Oblicuas Asíntotas Verticales (paralelas al eje Y) Si eiste un número a tal, que: lim a () la recta " a " es la asíntota vertical Ejemplo. ( ) 1 ; lim 1, es la asíntota vertical. Asíntotas Horizontales (paralelas al eje X) Si eiste el límite: lim b, la recta y=b es la Asíntota horizontal
2 1 1 Ejemplo: ( ) ; lim 1, y 1es la asíntota horizontal. Asíntotas Oblicuas. (inclinadas) Si eisten los límites: lim m; lim m n La recta y m n es la asíntota oblicua. Ejemplo: lim lim m lim -6 n, y 6 Es la asíntota oblicua.
3 Nota: 1. Las asíntotas horizontales y oblicuas son ecluyentes, es decir la eistencia de unas, implica la no eistencia de las otras.. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la eistencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda dierentes o solo una de las dos. Posición relativa de la unción con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la unción con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema: y Pa,b y Asíntota Estos puntos determinan los cambios de posición de la unción respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perectamente establecidos estudiando el Signo [() - Asíntota]. Ejemplo: La unción y tiene por asíntota oblicua la rectan y 1 Calculamos los puntos de intersección de ambas: y y 1 8 El punto de corte de las dos unciones es P, 8 y 1
4 Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA Esto nos indica que en el intervalo, 1 1 unción está por encima de la asíntota y en el intervalo asíntota., la unción está por debajo de la la En resumen: Asíntotas verticales Se calcula el Dominio (Dm) de la unción Tomamos el límite, para los valores de que no pertenecen al Dm. Si el limite nos da ininito, en esos valores hay una asíntota vertical lim Para saber a valor tiende la unción hay que tomar el o los límites laterales.(la solución puede ser solo Son rectas paralelas al eje Y. Se escriben igual al valor de la asíntota vertical. Estas son algunas clases de unciones que pueden tener asíntotas verticales: k Funciones racionales indeterminadas de la orma 0 Funciones logarítmica Función tangente. a
5 Ejemplos de unciones 1 k Función racional. Indeterminación 0 : sea Dm -1 1 de ahí que: 1 lim que es un tipo de indeterminación tipo k 0 y hay una asíntota vertical en = Tomamos los límites laterales para ver a que tiende la unción por su izquierda y por su derecha. Sustituimos los valores de por la izquierda 0,99 y por la derecha 1, 1. Solo nos interesa el signo que tome no los números, la única solución va a ser o, 1 0, , 1 lim y lim la inormación de los límites 1-1 0, , 1 laterales la usamos para representar la gráica. Observe los límites laterales en =1 de la igura: Función logarítmica log Dm 0, lateral en cero por la derecha para ver el signo. lim log lim log 0, El 0 no está incluido, pero el 0, si. Tomamos el límite
6 Asíntotas horizontales Características y pasos para calcular asíntotas horizontales: las asíntotas horizontales nos indican a que tiende la unción cuando es muy grande o muy pequeña. Calculamos el límite de la unción cuando tiende a ininito. Si eiste el limite (valor inito), el valor del límite es de una asíntota horizontal. lim b y se escribe y=b Son rectas paralelas al eje X. se escriben y= al valor de la asíntota horizontal Las unciones Racionales tienen asíntota horizontal en estos casos: Q P 1 Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado Cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerador Las Funciones Eponenciales tienen una asíntota horizontal en y=0 Ejemplo de asíntotas horizontales lim 1-1 Luego hay una asíntota horizontal en y=1. Nota: para saber si la unción tiende a 1 por arriba o por debajo, damos valores grande y pequeño a i , La unción se acerca a uno por arriba de la asíntota cuando
7 ii , 81 La unción se acerca a uno por abajo de la asíntota cuando Ver la gráica en la página anterior. Asíntotas oblicuas DEFINICIÓN: Una recta de ecuación y m n, m 0. es asíntota oblicua de una unción () si lim m - n 0 Proceso: ordenada recta calculamos la pendiente "m" con: m abscisa recta calculamos la ecuación de la asíntota mediante: y = m + n tomamos la ecuación de la unción: y = () Esto quiere decir que "m" es un valor muy próimo al cociente entre () y, cuando toma valores grandes (en valor absoluto). Por tanto, para calcular "m" hallaremos el siguiente límite m lim Después de calcular "m" es ácil hallar el valor de "n". Fijándote en la deinición inicial, se cumple que lim m - n n lim m 0. Operando se obtiene que "n" tomará el valor En resumen. la pendiente m lim y m n, m 0. 1 Debemos calcular: Ordenada n lim m Funciones racionales y asíntotas oblicuas: una unción racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor al grado del denominador. De ahí que: P Q 1 1 lim lim 1 1 Tiene asíntota oblicua No tiene. tiene una rama parabólica Nota: las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede haber las otras. P Para unciones racionales se puede calcular el cociente ; este será la ecuación de la asíntota. El resto no nos interesa. Q
8 Ejemplos de asíntotas oblicuas Ejemplo 1: Sea Como el grado del numerador es una unidad mayor que el rado del 1 denominador, tiene una asíntota oblicua. Para ubicarla calculamos el límite así: lim 1 este valor indica que sí hay una asíntota oblicua a la que debemos calcular su ecuación. Para ellos buscamos la pendiente: Pendiente m lim lim lim ( 1) 1 Ordenada n lim 1 1 m lim lim 1 Como la ecuación es de la orma: y m n y 1 (para representarla damos valore y obtenemos l siguiente gráico) 1 Ejemplo. Sea en esta unción calculamos la ecuación de la asíntota oblicua dividiendo 1 el cociente es la educación de la asíntota. Recuerde que el residuo o resto no nos interesa veamos: P Q
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