Tema 11: Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas.

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1 Tema 11: Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas. Ejercicio 1. Hallar los ites siguientes: a) b) 5 5 c) 4 7 d) ( sen ) / 4 a) ( ) 9, pues f ( ) es continua en b) Como dicha función está definida en, es continua en y, entonces, f ( ) coincide con el valor de la función, f (). c) d) ( sen ) / 4 / 4 ( sen ) sen 4 (pues y sen es un función continua). Figura 1.

2 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura. Figura. Figura 4. Ejercicio. 5, Hallar los ites de la función f ( ) en los puntos, 1 y 7. 7, Veamos si coinciden los ites por la derecha y por la izquierda de : f ( ) 5 1 No coinciden. Por tanto, no eiste f ( ) f ( ) 7 4 Como consecuencia, f () no es continua en. Como 1, f ( ) ( 5) Como 7, f ( ) ( 7)

3 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 5. Figura 6. Figura 7. Ejercicio. Averiguar si la función 5, g( ) es continua en. 0, Calcularemos g( ) y, si eiste, compararemos su valor con g (). g( ) ( 5 ) ( ) 5( ) 5 g( ) Por tanto, la función no es continua en

4 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 8. Ejercicio 4. Calcular el valor de n para que la función 5 1, 4 f ( ) sea continua en todo. n 4 Cualquiera que sea n, f () es continua en los puntos distintos de 4. Puesto que f (4) , ha de ser f ( ). 4 f ( ) n n 11 f ( ) 4 n 8 n 4. 4

5 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 9. Figura 10. Ejercicio 5. Calcular el ite siguiente: 1 Puesto que para se anula el denominador pero no el numerador, el ite es. Estudiemos los ites por la izquierda y por la derecha del punto para analizar sus signos: 1,99 1 IZDA : 0,01 1,99; 99 0; 1,99 f ( ),011 DCHA : 0,01,01; 01 0;,01 f ( ) Figura 11. 5

6 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 1. Figura 1. 6

7 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Ejercicio 6. Calcular el ite siguiente: 1 ( 1) Puesto que para 1 se anula el denominador y no el numerador, el ite es. Pero, además, tanto el numerador como el denominador son positivos en las proimidades del punto 1. Por tanto, 1 Figura 14. ( 1) Figura 15. 7

8 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 16. Ejercicio 7. Hallar el siguiente ite: Para se anulan el numerador y el numerador. Puede simplificarse la fracción dividiendo ambos por ( ) : 5 6 ( )( ) 10 ( 5)( ) 5 Figura 17. El denominador no se anula y el ite se obtiene sustituyendo por : Figura 18. 8

9 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 19. Ejercicio 8. Calcular los ites cuando y de la siguiente función: 5 6 f ( ) Para.Tanto el numerador como el denominador se anulan para fracción:. Por tanto, podemos simplificar la ( )( ) f ( ) ( )( 5 6) 5 6 A hora, para, observamos que se anula el denominador pero no el numerador. Por tanto, los ites laterales son. Veamos sus signos: A la izquierda: 1,99 1,99 0,01 1,99 1,99 5 1,99 6 9

10 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS A la derecha:,01,01 0,01,01,01 5,01 6 f ( ) ; f ( ) ; No eiste f ( ). Para. Tanto el numerador com o el denom inador se an ulan para. Por tanto, podemos simplificar la fracción: ( )( ) ( )( f ( ) ) El denominador ya no se anula para. Por tanto, para hallar el ite simplemente sustituimos: f ( ) Figura 0. Figura 1. Figura. 10

11 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura. Figura 4. Ejercicio 9. Hallar el ite cuando de las siguientes funciones: a) f ( ) 5 5 Figura Como el grado del numerador es mayor que el del denominado r y, además, los coeficientes de los términos de mayor grado son ambos positivos, el ite es. 11

12 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS b) f ( ) Figura El ite es 0 pues grado de P () grado de Q (). Figura 7. c) 5 1 f ( ) d) f ( ) Figura Figura 9. 1

13 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 0. Figura 1. Figura. Figura.a. Figura.b. 1

14 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura.c. Figura.d. Ejercicio 10. Hallar los ites cuando de: a) f ( ) 5 7 Figura 4. ( 5 7) b) f ( ) 5 7 Figura , tomando valores negativos. c) f ( ) 7 Figura 6. 7 ( ) 14

15 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. d) f 7 1 ) 11 ( Figura Figura 8. Figura 9. Figura

16 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 41. Figura 4.a. Figura 4.b. Figura 4.c. Figura 4.d.. Ejercicio 11. Averigua si las siguientes funciones son continuas en 1 y en 0. a), 1 f ( ) (4 ) /, 1 16

17 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. La función está definida en 1, y su valor es f ( 1) 5 /. Para calcular f ( ), tenemos que ver si coinciden los ites laterales, porque la función está definida 1 de diferente forma por la izquierda y por la derecha de f ( ) ( ) f ( ) 1 No coinciden. Por tanto, no eiste f () 1 La función no es continua en 1. En , f (0) y f ( ) 0 0 Puesto que 0 f ( ) f (0), f es continua en 0. b), 1 g ( ) 1, 1 En 1, g ( 1) ( 1) 0 g( ) ( ) 0 1 g( ) ( 1) 0 g( ) Como coincide con (1) g, g es continua en 1. En 0, g ( 0) 1; g ( ) ( 1) 1; g es continua en c) 1 /, 1 h ( ), 1 El único pu nto donde cambia el valor de la función es en 1; calculamos h( ) y lo comparamos con h (1). 1 1 h( ) 1 1 1; como no coincide con h ( 1), la función h no es continua en 1. Tampoco h es continua en 0 porque no está definida en ese punto. 17

18 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 4. Figura 44. Figura

19 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 46. Figura 47. Ejercicio 1. Halla los siguientes ites: a) 4 4 1, pues f ( ) es continua en. 4 b) , porque 5 f ( ) es continua en. 19

20 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS c) 0 1, porque f ( ) es continua en. d) ln ( 1 ) ln ( 1) ln 1 0, pues f ( ) ln ( 1) es continua en. e) simplificar la fracción:. Tanto el numerador como el denominador se anulan para 1. Por ello, podemos ( 1) 1 ( 1) ( ) 1 La función f ( ) 1 no es continua, pero tiene ite en 1. Figura 48. 0

21 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 49. Figura 50. Figura 51. Figura 5. Ejercicio 1. Halla los ites cuando y cuando, de las siguientes funciones: a) f 4 ) 1 ( 4 4 ( ) 1 4 ( ) 1 Como el grado del numerador es mayor que el del denominador y los coeficientes de los términos de mayor grado son de distinto signo, el lí mite es. Figura 5. 1

22 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS La función f 4 ) 1 ( tiene ramas parabólicas hacia abajo. 1 b) f ( ) 1 0 con valores mayores que con valores menores que 0. Figura 54. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, el ite es 0. La recta asíntota horizontal. Para saber encima o por debajo del eje y 0 (eje X ) es si la función está por X, estudiamos el signo de la función para 100 y 100, por ejemplo. c) 1 f ( ) 1 1 y es una asíntota horizontal. Como el grado del numerador es igual que el del denominador, el ite es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado. P ara estudiar la posición, calculamos algún punto de la función para valores grandes de. Por ejemplo: y,05 98 La curva está bajo la asíntota cuando y,95 10 La curva está sobre la asíntota cuando. O bien estudiamos el signo de la diferencia entre la 1 curva y la asíntota ( ) para valores grandes de. Figura 55.

23 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 11. Límites de funciones. Figura 56. Figura 57. Figura 58. Figura 59.a. Figura 59.b. Figura 59.c. E nlace con el ejercicio resuelto en la Web: