LÍMITES DE FUNCIONES GBG

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Samuel Silva Pereyra
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1 LÍMITES DE FUNCIONES GBG

2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. de elementos del Decimos que f = L si y sólo si para cualquier sucesión { n } dominio, distintos de a, y que tenga por límite a, la sucesión de las imágenes f ( ) tiene por límite L. { n n f n n n } { } f = L, D, a, = a f = L { n } f ( ) 1 f ( 1) f ( ) 3 f ( ) f 3 n ( n ) a L { n } L { } a f ( ) n GBG - 010

3 LÍMITES LATERALES Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. LÍMITE POR LA IZQUIERDA de elementos del Decimos que f = L si y sólo si para cualquier sucesión { n } dominio, menores de a, y cuyo límite sea a, la sucesión de las imágenes por límite L. { } { n } f tiene { n n f n n n } f = L, D, < a, = a f = L LÍMITE POR LA DERECHA de elementos del Decimos que f = L si y sólo si para cualquier sucesión { n } dominio, mayores de a, y cuyo límite sea a, la sucesión de las imágenes por límite L. { } { n } f tiene { n n f n n n } f = L, D, > a, = a f = L GBG

4 LÍMITE POR LA IZQUIERDA LÍMITE POR LA DERECHA n < a n > a f ( ) f ( ) 1 f ( 1) 1 f ( 1) f ( ) f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 f n f n ( n ) 3 a L a L { n } L { } a f ( ) { } a f ( ) n f = L f n n { n } L = L GBG

5 RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. El f y se verifica que: eiste si y sólo si eisten los límites laterales f = f f y f, f f = L f f = f = L GBG

6 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES 1. El límite de una suma es igual a la suma de los límites = f g f g. El límite de una diferencia es igual a la diferencia de los límites = f g f g 3. El límite de un producto es igual al producto de los límites = f g f g 4. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites f g f = si g g 0 5. El límite de una potencia es igual a la potencia de los límites g f = f g a si f > 0 En los cinco casos siempre y cuando ambos límites eistan y tenga sentido la operación correspondiente. GBG

7 Consideramos a, siendo la recta real completada: = { } { }. O sea, a puede ser finito o infinito ( ó ). f g = M, podemos considerar que L, M R, o sea, tanto L como M pueden ser finitos o infinitos ( ó ). Igualmente, si = L y Debes aprender a operar con el infinito ( ó ). Algunas operaciones no tienen sentido, son las que llamamos indeterminaciones. INDETERMINACIONES k GBG

8 RECUERDA: Si k R ( ) ( ) = ( ) ( ) = k ( ) = k ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = k k = > 0 k = k = k < 0 k = k = 0 k = 0 k k > 0 k = = = k k < 0 = k k si k 0 = > 0 si k < 0 = = 0 0 k si k 0 = > 0 si k < 0 = = 0 0 GBG

9 k si k 1 = > 0 si 0 < k < 1 0 si k 1 > k = si 0 < k < 1 k si k 0 = > 0 si k < 0 k 0 si k 0 > = si k < 0 ( 0 ) ( ) = ( ) = = 0 = GBG

10 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f = 4 5 f f ( ) f ( ) ,9 4,61 4,1 5,41 3,99 4,9601 4,01 5,0401 3,999 4, ,001 5, = f f 5 = f f f = 5 4 = 5 GBG

11 f = 4 5 f = 4 5 = = GBG

12 LÍMITES EN UN PUNTO El límite de una función polinómica P() cuando tiende hacia a (a ) es igual al valor numérico de P() para = a. = P P a a f = 4 5 = = LÍMITES EN EL INFINITO El límite de una función polinómica en el infinito ( ó ) es igual al límite del término de mayor grado. f = 4 5 = = f = 4 5 = = GBG

13 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f = 3 Estudiemos f { } Dom f = Dom f f es un punto de acumulación de Dom f f ( ) f ( ) ,9 4,8,1 5, 1,99 4,98,01 5,0 1,999 4,998,001 5, = f f 5 = f f f = 5 = 5 GBG

14 f = f = = INDETERMINACIÓN = ( )( 1) f = = = ( 1) = 5 GBG

15 LÍMITES EN EL INFINITO f = 3 El límite de una función racional (cociente de dos polinomios) cuando tiende a infinito ( ó ) es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador, respectivamente. 3 f = = INDETERMINACIÓN 3 f = = = = 3 f = = INDETERMINACIÓN 3 f = = = = GBG

16 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f si 6 = si = 6 Dom f = Obsérvese que f ( 6) = 5 Estudiemos 6 f 6 6 f ( ) f ( ) 5 1,5 7 5,5 5,9,805 6,1 3,05 5,99, ,01 3,0005 5,999, ,001 3, = f f 3 = f f f = 3 Límite finito en un punto finito 6 = 3 GBG

17 f si 6 = si = f = = INDETERMINACIÓN = f = = = = = GBG

18 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1 si < 3 f = 1 si = si > 3 Estudiemos f f ( ) f ( ) 1,5 4 7,9 1,95 3,1 4,39,99 1,995 3,01 4,0399,999 1,9995 3,001 4, = f f f f 3 3 f 3 GBG No eiste el límite de f cuando tiende a 3 3 = 4

19 1 si < 3 f = 1 si = si > 3 Límites en un punto finito f = = = 3 3 f = = = f f 3 3 Límites en el infinito 1 f = = f 3 f = = = GBG

20 LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO Y LÍMITES EN EL INFINITO. Estudia los límites en 4, y de la función f = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) , ,5 3,9 88 4, , , , , , , , , , , f = f = f = f 4 f f f = GBG

21 CÁLCULO DE LÍMITES Estudia los límites en 4, y de la función f = f = = INDETERMINACIÓN Estudiamos los límites laterales: 1 9 f = = = f f f f = = = f = = INDETERMINACIÓN 4 1 f = = = = 4 1 f = = INDETERMINACIÓN 4 1 f = = = = 4 GBG

22 f = 1 4 = f f = 4 4 f f = = f f f GBG - 010

23 f = 1 4 Asíntota Horizontal y = Asíntota vertical = 4 GBG

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