Continuidad, límites y asíntotas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Continuidad, límites y asíntotas"

Transcripción

1 9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Parte entera de Ent () Parte decimal de Dec () 0,3 0,7 0,8 0,2 0,4 0,6 0,9 0, Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Aplica la teoría. Representa las funciones: y Ent(2) y y Ent(2) y 2. Representa las funciones: y Signo( 2 4) y SOLUCIONARIO

2 y Signo( 2 4) 4. Representa las funciones: si y 2 si > / si < 0 y si 0 y Representa las funciones: y log 2 y sen y log 2 5. Representa la función: 2 si y + 3 si < 2 log 2 si > 2 0 y sen TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 283

3 2. Continuidad Piensa y calcula Completa mentalmente las siguientes tablas: y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2,00 2,000 y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2, ,000 2 Aplica la teoría 6. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad analizando su gráfica: y y 2/ c) y y Representa la función f() + 3 y calcula los siguientes ites: f() f() 2 y + 3 Es una parábola y es continua en todo y Representa la función f() si 2 si > 2 y calcula los ites laterales en 2 Es una hipérbola y es discontinua en 0 c) y Es una función irracional y es continua en todo su dominio, Dom(f) [0, + ) 2 f() ( ) f() ( ) 284 SOLUCIONARIO

4 9. Representa la función f() 2 si 2/ si > y estudia la continuidad en f() 2 2 f() f() 2 2 La función es continua en 3. Discontinuidades Piensa y calcula Completa la siguiente sucesión: 2,9 2, ,0 3, 2,9 2,99 2,999 2,9999 2, ,0000 3,000 3,00 3,0 3, Aplica la teoría 0. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + si 3 f() 2 si 3 Se estudia el punto 3 f(3) f() ( + ) f() ( + ) 2 3 La función es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f(3) 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Dec() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 285

5 4. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y tg Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto uno. 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y + (2k + )π Es discontinua en,k, donde tiene una 2 discontinuidad de ª especie de salto infinito. 5. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 3 2 si 2 5 si 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda. 3. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 3 y Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( 2) 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 286 SOLUCIONARIO

6 4. Límites de funciones polinómicas y racionales Piensa y calcula Calcula mentalmente los siguientes cocientes y di cuál o cuáles no tienen solución, tienen una solución o tienen muchas soluciones c) d) Muchas soluciones. c) 0 d) No tiene solución. Aplica la teoría 6. Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( No eiste f() 7. Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: ( + 2)( 2) [ ] ( 2) Calcula mentalmente los siguientes ites: c) d) 7 3 e) f) e) 0 f) 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 287

7 5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones Piensa y calcula Halla el resultado de operar los siguientes símbolos; puede dar +, o indeterminado. @ @ Indeterminado. c) Indeterminado. Aplica la teoría 9. Representa la función f() Halla el ite de f() cuando 2 2. Halla el siguiente ite: 5 ( 5) ( ) ( + 3) (3 + 2 ) Representa la función f() + 2 Halla el ite de f() cuando + [ ] Halla el siguiente 7 ( 72 ) ( ( + 2) ( @ [ ] SOLUCIONARIO

8 23. Halla el siguiente ite: ( ) ( 2 +6)( ) 2 ( 2 + 6) ( [ ] Halla el siguiente ite: ( ( )( ) ( @ ( 2 4) @ [ ] 25. Halla el ite de la siguiente sucesión: ( n 2 + 3n 5 n 2 + ) n ( n 2 + 3n 5 n 2 +)( n 2 + 3n 5 + n 2 +) ( n 2 + 3n 5 n 2 n n n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 (n 2 + ) n 2 + 3n 5 n 2 3n n n n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 3n 3 n n 2 + n 2 2 n [ ] 26. Halla el ite de la siguiente sucesión: (3n 9n 2 + 5n ) n (3n 9n 2 + 5n )(3n + 9n 2 + 5n ) 9n 2 (9n 2 + 5n) (3n 9n 2 + 5n n n n 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 5n 9n 2 9n 2 5n 5n 5 5 n n [ ] n 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 3n + 9n TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 289

9 6. Asíntotas de funciones racionales Piensa y calcula Dibuja la siguiente hipérbola, halla sus asíntotas y represéntalas. 2 y + 3 Asíntotas: Vertical: 3 Horizontal: y y 2 3 Aplica la teoría Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 28. y y Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: y La curva está encima de la asíntota. 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: y 2 0+ La curva está encima de la asíntota. 0 La curva está debajo de la asíntota. 290 SOLUCIONARIO

10 29. y Verticales: no tiene. Horizontal: y La curva está encima de la 2 +3 asíntota. 0 La curva está debajo de la 2 +3 asíntota. Oblicua: no tiene. 30. y Verticales: 2 0, Horizontal: 2 y 2 0+ La curva está encima de la 2 0+ La curva está encima de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 29

11 Ejercicios y problemas. Funciones especiales 3. Representa las funciones: y Dec(2) y Signo(sen ) y Dec(2) 33. Representa las funciones: y y cos 4 y 4 y cos y Signo(sen ) 34. Representa la función: y 2 si 2 3 si > Representa las funciones: y 2 4 y y Representa la función: y 3 si 3/ si > y SOLUCIONARIO

12 36. Representa la función: 3 si < 2 y si 2 si > 38. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: y y Dec() y Es el valor absoluto de una función polinómica y es continua en todo y Dec() 2. Continuidad 37. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: 2 y 3 3 y 2 y 3 Es la función parte decimal y es discontinua en todos los puntos de abscisa entera. 39. Representa la función: f() sen y calcula los siguientes ites: f() f() π/2 π y sen Es una recta y es continua en todo y 3 Es el valor absoluto de una función racional, de una hipérbola y es discontinua en 0 π/2 sen π sen Representa la función: + 4 si 0 f() 2 si > 0 y calcula los ites laterales en 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 293

13 Ejercicios y problemas Se estudia el punto f() 3 +f() f() ( + 2) 3 La función es continua en ; por lo tanto, es continua en todo 0 + f() f() Representa la función: 4 si < f() 3/( + 2) si y estudia la continuidad en 43. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Signo() f( ) 3 f() 3 + f() 4 La función es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de salto finito de 3. Discontinuidades 42. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + 2 si < f() 3 si Se estudia el punto 0 f(0) no eiste. 0 +f() Signo() f() Signo() 0 La función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 2 unidades. 44. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 2 y 2 Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la derecha. 45. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y SOLUCIONARIO

14 y 2 4 +f() ( + 3) 2 + f() 2 2 La función es continua en y + 4. Límites de funciones polinómicas y racionales Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 46. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y log Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( ( ) ( ) 5 ) y log Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente ( + ) ( + ) Es continua en todo su dominio, es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda ( ) ( ) Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 2 si < + 3 si 4 y Calcula el siguiente ite: Se estudia el punto f() Representa la función correspondiente ( )( + 3) [ ] 0 ( + 3) TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 295

15 Ejercicios y problemas 5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones 54. Representa la función: f() Halla el ite de f() cuando Calcula mentalmente los siguientes [ ] [ ] ( ) Representa la función: f() 3 Halla el ite de f() cuando 52. Calcula mentalmente los siguientes [ ] Calcula mentalmente los siguientes ites: [ [ ] [ Halla el siguiente ite: ( ) ( ) 2 + 3(2 + ) ( ) [ SOLUCIONARIO

16 57. Halla el siguiente ite: 0 ( 5) ( ) ( [ ] Halla el siguiente ite: ( ) ( ( )( ) [ ] 59. Halla el siguiente ite: ( ) ( ( )( ) [ ] Halla el ite de la siguiente sucesión: ( ) ( 3n 5 n + n n 2n 2n n 3n 5 + n + 3n + n n [ ] n 3n 5 n + 2 ( 3n 5 n + 2)( 3n 5 + n + 2) 3n 5 n 2 3n 5 + n + 2 n 3n 5 + n Halla el ite de la siguiente sucesión: (2n 5 4n 2 7n ) n (2n 5 4n 2 7n)(2n 5 + 4n 2 7n) (2n 5 4n 2 n n 2n 5 + 4n 2 7n 4n 2 20n n 2 + 7n 3n + 3n 3n 3 n n [ ] n n 2n 5 + 4n 2 7n 2n 5 + 4n 2 2n + 2n 4n 4 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 297

17 Ejercicios y problemas 6. Asíntotas de funciones racionales 62. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: La asíntota es: y Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: , Horizontal: La asíntota es: y La curva está debajo de la La curva está encima de la 4 2 asíntota. Oblicua: no tiene. 0+ La curva está encima de la 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: no tiene. Horizontal: 2 La asíntota es: y ( ) 0 La curva está debajo de la ( 3 ) 0 La curva está debajo de la asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: Horizontal: 2 0 La asíntota es: y La curva está encima de la 2 asíntota. 0 La curva está debajo de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. 298 SOLUCIONARIO

18 64. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 5 y y Verticales: no tiene. Horizontal: y La asíntota es: y La curva está encima de la 2 + asíntota. 0+ La curva está encima de la 2 + asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: La asíntota es: y + 2 ( ) 0 La curva está debajo de la ( ) 0+ La curva está encima de la asíntota. Para ampliar 65. Representa las funciones: f() f() 2 y si < Representa la función: y 2 si 2 < log 2 si y Representa la función: f() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 299

19 Ejercicios y problemas 68. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones, es decir, el conjunto donde es continua, y razona por qué son iguales o distintos. f() f() 3 c) f() d) f() 3 Dom(f) ( C(f) ( Las funciones polinómicas son continuas en todo El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) {} U (, C(f) {} U (, El punto de discontinuidad no está en el dominio. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) ( C(f) ( No hay ningún punto de discontinuidad. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) ( C(f) ( El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. (2k + )π d) Dom(f) {,k 2 } (2k + )π C(f) { },k 2 El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. e) Dom(f) C(f) El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. f) Dom(f) C(f) {0} El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. 70. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: y 2 4 d) Dom(f) [3, C(f) [3, El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. 69. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones y razona por qué son iguales o distintos. f() 2 f() log 2 c) f() sen d) f() tg e) f() Ent() f ) f() Signo() Dom(f) ( C(f) ( El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) (0, C(f) (0, El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Es discontinua en 2 y en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 7. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: f() + 3 Es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie porque no eiste el ite lateral por la derecha. 300 SOLUCIONARIO

20 72. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: ( )( 3) 3 [ ] 3 2 f() si? 4 si Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( ) Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( ) 74. Calcula mentalmente los siguientes ites: Calcula mentalmente los siguientes ites: Calcula el siguiente ite: Como los ites laterales son distintos, el ite cuando tiende a 5 no eiste. 79. Calcula mentalmente los siguientes Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( Calcula los siguientes Calcula los siguientes ites: ( 2) 2 [ ] ( + 2)( 2) TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 30

21 Ejercicios y problemas 8. Halla el siguiente ite: ( 3 )( + 3 ) [ ] ( 2 3)( + 3 ) ( 2 3)( + 3 ) Halla los siguientes ites: ( + 8 3)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) ( 3 5)( + 3 5) [ ] ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) ( 2) Halla una función racional que tenga como asíntota vertical la recta 2 f() Halla una función racional que tenga como asíntota horizontal la recta y 3 y 0 3 f() Halla una función racional que tenga como asíntota oblicua la recta y 2 Horizontal: y 0 f() Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones eponenciales: y 2 y c) y d) y + 2 Horizontal: y 5 y SOLUCIONARIO

22 c) c) 3 y 3 Horizontal: y 3 Vertical: 3 d) d) 3 y Horizontal: y Vertical: Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones logarítmicas: y log 2 y 3 + log 2 c) y log 2 ( + 3) d) y + log 2 ( 3) Dada la función f() completa mentalmente las siguientes tablas: f() f() Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y, en caso negativo, clasifica la discontinuidad. Vertical: 0 0 f() , 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 f() Vertical: c) f(0) no eiste y viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 303

23 Ejercicios y problemas Con calculadora 89. Dada la función f() 2 completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: c) Calcula f(0) y razona si la función f() es continua en Dada la función f() completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 f(),07,007,0007, , 0,0 0,00 0,000 f() 0,9 0,99 0,999 0, c) f(0) y, viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es continua en 0 f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y clasifica la discontinuidad. 9. Dada la función: f() completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: ( f() f() ( ) ( ( ) 92. Dada la función: f() f() f() completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 3 f() f() 0,3 0, 0,03 0,0 f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 No eisten 0 no eiste c) f(0) 0 y,viendo los ites obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie. Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota f() 3,05 3,0005 3, , y f() 3 0,05 0,0005 0, , La curva está encima de la asíntota. 304 SOLUCIONARIO

24 93. Dada la función: f() completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 2 + f() (2 + ) Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota f() 2, 20,0 2 00, ,000 y f() (2 + ) 0, 0,0 0,00 0,000 La curva está encima de la asíntota. Problemas 94. Representa la función: f() Qué función es? 96. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo + n si < 2 f() 2 si 2 f(2) (2) f() ( + n) 2 + n 2 2 f() (2 ) Por tanto, tiene que ser: 2 + n 3 n Es la función y Signo() 95. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo 2 si 2 f() k si > 2 f(2) f() (2 ) f() k k Por tanto, tiene que ser: k Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo f () k k + 2 si < f() k/ si f() ( + 2) f() k k + + Por tanto, tiene que ser: k 3 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 305

25 Ejercicios y problemas 98. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo f() 2 si 3 + n si > f() 2 2 f() 2 2 f() (3 + n) 3 + n + + Por tanto, tiene que ser: 3 + n 2 n 0. Calcula el valor de a para que: a 3 a 6 2 a Observando la gráfica: 3 y Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por la función: si 0 9 f() 4 30 si > 9 7 donde viene dado en años,y f(),en millones de euros. Es continua la función f()? Sí es continua, porque: f(9) 3 f() f() calcula: ( 4) 3 3 ( 4) En un aparcamiento que permanece abierto 0 horas diarias, hay un cartel que dice: cada hora,,5 y más de 4 horas, 7 Representa la función correspondiente. En qué puntos es discontinua, y qué tipo de discontinuidad tiene en cada uno de ellos? 03. Observando la gráfica: y 2 + Es discontinua en:, 2, 3, 4 En esos puntos tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito. En los tres primeros puntos el salto es de,5 y en el último el salto es de calcula: c) c) 306 SOLUCIONARIO

26 04. Observando la gráfica: calcula: ( ) Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 0 + f() Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función: 0,4 + k si f() si > donde son los ingresos de la familia en euros. Halla el valor de k para que los gastos sean continuos; es decir, no haya salto en 000 Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con la renta más alta? k ( ( )( ) ( + 3) Rocío comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de ordenadores que monta, en función del tiempo, viene dada por: 6t f(t) t + 5 donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de ordenadores que monta. Cuántos ordenadores monta el primer día? Cuántos ordenadores monta el quinto día? c) Cuántos ordenadores monta el décimo día? d) Qué día montará 5 ordenadores? e) Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores? f) A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando? 3 c) 4 d) 6t 5 t 25 t + 5 e) No, porque al resolver la ecuación 6t 7, se obtiene un número negativo. t + 5 f) 6t 6 t t En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: t P(t) t (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo,y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? Halla la asíntota horizontal para comprobarlo. t 0 P(0) millón. t 50 P(50) 3 millones. c) t t millón. (t + 50) 2 Asíntota horizontal: y 08. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y Verticales: no tiene. Horizontal: y La curva está encima de la asíntota La curva está debajo de la 2 + Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 307

27 Ejercicios y problemas 09. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y Verticales: 2 0, Horizontal: y 2 0+ La curva está encima de la asíntota La curva está encima de la asíntota. 2 Oblicua: no tiene. m + n 2 2m + n m, n 3 3. Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para profundizar 0. Halla el valor de f(3) para que la siguiente función sea continua en todo f() f(3) 3 La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 5 millones de unidades. (5 + t 2t ) 5 4. Una determinada especie evoluciona según la función: 2 f(t), t > 0 t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción?. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 2/ si 2 m + n 2m + n m 0, n 2. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 log 2 si 2 La especie sí está en vías de etinción, porque tiende hacia t t 308 SOLUCIONARIO

28 5. Observando la gráfica de la sucesión: calcula: Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 3 3 n 6. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en función del dinero depositado, definido por: R() donde es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(), el valor del tanto por ciento. Hacia qué valor se estabilizará el tanto por ciento cuando se deposite una cantidad muy grande % y 3 3n 2 2n + 4 a n n n 2 2n + 4 n Los beneficios o las pérdidas de una empresa vienen dados por la función: 5 f() donde es el número de años que lleva funcionando, y f() son millones de euros. Halla los beneficios o las pérdidas en el er,2º y 3 er años. Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas con el paso del tiempo. 3, 0, 25/3,9 millones de euros, respectivamente millones de euros de ganancias Halla una función racional que tenga como asíntotas verticales las rectas 3, f() f() ( 3)( + ) Calcula una función racional que tenga como asíntotas las rectas 2 e y 3 y Halla una función racional que tenga como asíntotas las rectas e y 2 y 2 + f() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 309

29 Linu/Windows Paso a paso 2. Dibuja la siguiente función, identifícala y estudia sus discontinuidades. y suelo() Resuelto en el libro del alumnado. 22. Dibuja la siguiente función y estudia sus discontinuidades. y 2 5 si si > 3 Resuelto en el libro del alumnado. 23. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. ( ) Resuelto en el libro del alumnado. 24. Representa la siguiente función, halla sus asíntotas y dibújalas. y Resuelto en el libro del alumnado. 25. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica 26. Dibuja las siguientes funciones, identifícalas y estudia sus discontinuidades. y decimal() y signo() Es la función parte decimal, y Dec() Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de una unidad. Es la función signo, y signo() Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de dos unidades. 27. Dibuja las siguientes funciones y estudia su continuidad. y 2/ y SOLUCIONARIO

30 Windows Derive Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 7 unidades. 29. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. ( ) Es continua en toda la recta real, ( ) Dibuja las siguientes funciones y estudia sus discontinuidades. 2/ si < 0 f() si si < 2 f() 2 si si > Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 30. Halla los ites laterales en el punto que se indica y dibuja la función para comprobarlo gráficamente. Clasifica la discontinuidad en dicho punto. y 2 en y 2 5 en TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 3

31 Linu/Windows En 2 tiene una discontinuidad evitable porque no está definida para 2. Se evita la indeterminación definiendo f(2) / Vertical: Horizontal: no tiene. Oblicua: y Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE: En 3 tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 3. Dibuja las siguientes funciones, halla sus asíntotas y represéntalas. y y Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Dibuja la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para comprobarlo, calcula el ite cuando t y representa la asíntota horizontal. Vertical: no tiene. Horizontal: y 3 Oblicua: no tiene. (3 + 2t ) 3 t La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 3 millones de unidades. 32 SOLUCIONARIO

32 Windows Derive 33. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: P(t) t t (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? d) Representa la función y la asíntota horizontal. millón. 3 millones. c) millón, y d) En la gráfica. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 33

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

Continuidad, límites y asíntotas. Funciones

Continuidad, límites y asíntotas. Funciones 9 Continuidad, ites y asíntotas Funciones Introducción El estudio de la continuidad de una función se inicia desde el análisis de la gráfica de la función. Este análisis, intuitivo y fácil, pero insuficiente

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

Los números reales. 1. Números racionales e irracionales

Los números reales. 1. Números racionales e irracionales Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A Y C A L C U

Más detalles

Soluciones a las actividades

Soluciones a las actividades Soluciones a las actividades BLOQUE I Aritmética. Los números reales. Potencias, radicales y logaritmos Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12. 7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

(Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; x 1. 3 f) x e. lim x 2 x 1. lim x. lim. lim log x. lim. lim. x 1 (x 1)(x 4) lim x 1.

(Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; x 1. 3 f) x e. lim x 2 x 1. lim x. lim. lim log x. lim. lim. x 1 (x 1)(x 4) lim x 1. + ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES de FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : 4 + + 4 f) e log g) 0, + 4 d) i) 0+ + 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

x 1 3 f) x e lim x lim + 2 lim lim log x lim x 1 (x 1)(x 4) lim x 1 (x 2)(x 5) (x 2)(x 3) 1. Calcular los siguientes límites no indeterminados 1 :

x 1 3 f) x e lim x lim + 2 lim lim log x lim x 1 (x 1)(x 4) lim x 1 (x 2)(x 5) (x 2)(x 3) 1. Calcular los siguientes límites no indeterminados 1 : + ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : 4 + + 4 f) e log g) 0, + 4 i) 0+ + 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar

Más detalles

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando

Más detalles

el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha)

el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha) pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos.

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Limites, asíntotas y continuidad

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Limites, asíntotas y continuidad Limites, asíntotas y continuidad Problema 1: Sea la función. Determina las asíntotas si existen. Problema 2: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 3: Un inversor

Más detalles

Sistemas lineales con parámetros

Sistemas lineales con parámetros 4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes

Más detalles

Sistema de ecuaciones e inecuaciones

Sistema de ecuaciones e inecuaciones 5 Sistema de ecuaciones e inecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Piensa y calcula Indica, en cada caso, cómo son las rectas y en qué puntos se cortan: c) r r s P r s s Las rectas r y s son

Más detalles

Límites y continuidad de funciones reales de variable real

Límites y continuidad de funciones reales de variable real Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:

1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función

Más detalles

Cálculo de límites. Ejercicio nº 1.- Haz una gráfica en la que se reflejen estos resultados: Ejercicio nº 2.-

Cálculo de límites. Ejercicio nº 1.- Haz una gráfica en la que se reflejen estos resultados: Ejercicio nº 2.- Cálculo de ites Ejercicio nº.- Haz una gráica en la que se relejen estos resultados: d) Ejercicio nº.- Representa gráicamente los guientes resultados: 0 0 d) Ejercicio nº.- Representa en una gráica los

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista

Más detalles

13,20 13,25 13,30 13,35 13,40 13,45 13,50 13,55 14,00 14,05 14,10

13,20 13,25 13,30 13,35 13,40 13,45 13,50 13,55 14,00 14,05 14,10 05 Trabajo Práctico N : LÍMITE DE FUNCIONES Ejercicio : Un dispositivo registra los valores de la frecuencia cardiaca de un paciente internado. El gráfico muestra la frecuencia cardíaca epresada en pulsaciones

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ºbac TEMA 6: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES GUÍA 1. Define límite de una función en un punto. Idea intuitiva. Ejemplo.. Define límite de una función en un punto. Ejemplo. 3. Límites laterales. Ejemplo.

Más detalles

a) 25 b) 81 c) d) 8 e) 16 f) 8 g) 16 Solución: Calcula: a) 33 2 b) 2,5 2 c) 0,7 3 d) 1,2 3 Solución: Solución:

a) 25 b) 81 c) d) 8 e) 16 f) 8 g) 16 Solución: Calcula: a) 33 2 b) 2,5 2 c) 0,7 3 d) 1,2 3 Solución: Solución: Potencias y raíces. Potencias de exponente entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) 5 2 b) 4 c) 0 6 d) ( 2) e) ( 2) 4 f) 2 g) 2 4 a) 25 b) 8 c) 000 000 d) 8 e) 6 f) 8 g) 6 P I E N S A Y

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2 Colección A.. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 5-4 -4. y = +ln. y = -e 4. y = e 5. y =. y = + 7. y = ln 8. y = e + 9. y = (+) 0. y =. y = e -. y = (-)e - e. y = - 4. y = ln 5. y =

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS 3 si Si la función f está definida mediante f (), calcula a y b para que sea a b si > continua. La función es continua en (, ) (, ), pues en

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 =

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 = LÍMITES LECCIÓN 7 Índice: Cálculo de ites en un punto. Epresión indeterminada L/0. Epresión indeterminada 0/0. Algunos ites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de ites. Problemas..-

Más detalles

Tema Contenido Contenidos Mínimos

Tema Contenido Contenidos Mínimos 1 Estadística unidimensional - Variable estadística. - Tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. - Variable cualitativa. Distribución de frecuencias.

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos 7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

10Soluciones a los ejercicios y problemas

10Soluciones a los ejercicios y problemas 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad Problema 1: Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = 4 y la recta tangente

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números

Más detalles

Soluciones a las actividades

Soluciones a las actividades Soluciones a las actividades BLOQUE I Números y medidas. Divisibilidad y números enteros 2. Fracciones y números decimales 3. Potencias y raíces 4. Medida de ángulos y de tiempo 5. Proporcionalidad 6.

Más detalles

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población: DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1. FUNCIONES EXPONENCIALES. Una función se llama eponencial si es de la forma y = a, donde la base a es un número real cualquiera

Más detalles

GUÍA DE LA UNIDAD FUNCIONES : DERIVADAS

GUÍA DE LA UNIDAD FUNCIONES : DERIVADAS Funciones Límites Derivadas Aplicaciones Gráficas C ontenidos Idea de Función. Elementos notables de la gráfica de una función. Funciones lineales. Función definida por intervalos. Función Valor Absoluto.

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

Continuidad de las funciones. Derivadas

Continuidad de las funciones. Derivadas Matemáticas II. Curso 008/009 Continuidad de las funciones. Derivadas 1. Estudiar en x = 0 y x = la continuidad y derivabilidad de la función cos x si x 0 x f (x) = si 0 < x < sen x si x (Junio 1997) f

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3, RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad

UNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad accés a la universitat dels majors de anys acceso a la universidad de los mayores de años UNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad ÍNDICE Concepto de límite de una función en un punto. Indeterminaciones.

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

FUNCIONES Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

FUNCIONES Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1 FUNCIONES LOGARITMICAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1 LOGARÍTMO DE UN NÚMERO Sabemos que 10 2 = 100 en una potencia de base 10. Sabemos que 10 3 = 1000 en una potencia de base 10. Decimos

Más detalles

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x) Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes

Más detalles

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) 90

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS. Dada la función f (), (, ), definir f () y f () de forma que f sea continua sen(π ) en todo el intervalo cerrado [, ]. : f () f () π 5 si. Estudiar la continuidad

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos. Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada

Más detalles

Práctica 4 Límites, continuidad y derivación

Práctica 4 Límites, continuidad y derivación Práctica 4 Límites, continuidad y derivación En esta práctica utilizaremos el programa Mathematica para estudiar límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real, así como algunas

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 4 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1

Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1 Modelo. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción < a ; e > se pide: a) ( punto) Determinar el valor de a para que sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.3. CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.3. CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. CONCEPTO DE DERIVAD. CÁLCULO DE DERIVADAS... Derivada de una unción en un punto...

Más detalles