{ 0} - Dominio de. f(x) f(x) g(x) g(x) = f(x) = g(x) x 16. f g. Solución: Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema: + =

Transcripción

1 Funciones Se ha hecho un estudio de mercado en el que la curva de oferta de un determinado producto viene dada por la función,7 8 la curva de demanda por, -. Si el punto de corte de ambas curvas es el punto de equilibrio al que se aproima el mercado, halla dicho punto. Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema:, ;.7 8 El punto de equilibrio es (,) Dadas las funciones: f() g() Halla sus dominios los de las funciones: f() g() f() g(). - Dominio de f() : por ser una función fraccionaria su denominador debe ser no nulo, por tanto Dominio de g() : Dom (f) R por ser una función fraccionaria su denominador debe ser no nulo, por tanto Dom (g) R { } {,} Dominio de la suma análogamente: f() g() ( ) Dom (f g) R {,,} Dominio del cociente análogamente: Dom f g R { } f() g()

2 Dadas las funciones: f() 5 g() 5 Halla los dominios de cada una de ellas los de las funciones producto cociente (f/g). - Igualando a cero el denominador de: f() 5 se tiene: 5 ; Dom(f) R - Igualando a cero el denominador de: {,} g() 5 se tiene: 5 ; Dom(f) R - Función suma: f() g() 5 5 Dom(f g) R - Cociente: {,,,} ( )( 5 ) ( 5 )( ) {,} ( )( 5 ) ( )( 5 ) ( 5 )( 5 ) f() igualando a cero el denominador : g() ( 5 )( ) ; ; Dom f g R {,,} Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de metros de diámetro. Epresa el volumen de agua que cabe en el pozo en función de su profundidad. El volumen de un cilindro es V πr h r es el radio de su círculo básico, que en nuestro caso es de m h es la altura del cilindro, que en nuestro caso es m, por tanto: V() π es la función que epresa la cantidad de agua en m que puede almacenar el pozo. 5 Dada f(), se pide:

3 f f( ) f( d) f() f() f ( ) c c f( ( ) ) f( d) ( )( ) f() f() Se considera la función: f() : Comprueba que se verifica la igualdad f() f para todo valor de su dominio. Calcula la epresión de su función recíproca. Comprobamos la igualdad f() f f() f Función recíproca de Despejamos : ) ( La función recíproca es:

4 f () 7 Se considera la función: f() Se pide: Comprueba que se verifica la igualdad: f( ) f( ) para todo valor de su dominio. Calcula la función compuesta: g() f o f() Comprobamos la igualdad: f( ) f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) Función compuesta: g() fo f() Operando se tiene. g() ( ) ( ) 8 Cada minuto de una llamada cuesta 5 céntimos de euro la coneión 5 céntimos. Dibuja la gráfica que indica el coste de una llamada de minutos Dada f(), calcula su dominio, su recorrido el dominio recorrido de su inversa. Dom(f) Re(f) R Dom f Re f R {} f() Dada f definida de R en R por, calcula su dominio su recorrido. Son iguales? Y si f está definida de Z en R?

5 Dom(f) Re(f) R Dom(f) Z Re(f) {múltiplos de } La siguiente gráfica se corresponde con la de una recta de pendiente igual 5. Determina la ecuación de su función recíproca. La ecuación de la recta de la figura es: 5 n como pasa por el punto (-, -) se verifica: 5 n n la ecuación es pues: Función recíproca de la función recíproca es la recta de ecuación: 5 5 Sabiendo que un euro cuesta unos 9 centavos de dólar. Determina las funciones: e F(d) d G(e) que permiten pasar dólares a euros, euros a dólares respectivamente. Cómo son las funciones F G? e F(d) la función que epresa el número e de euros equivalentes al número d de dólares, se tiene: e d e d 9 9 por tanto la función de paso de $ a viene dada por: F(d) d 9 De la igualdad: e d 9 podemos despejar el número d de dólares equivalentes a e euros, se tiene: 9 d e por tanto la función de paso de a $ viene dada por:

6 9 G(e) e Ambas funciones son inversas, basta comprobar el resultado de la composición de ambas: F o G(e) G(e) e e i(e) G o F(d) F(d) d d i(d) Siendo i la función identidad, resultan evidentes las relaciones: F G G F Son iguales f() ln g() ln? Razona teniendo en cuenta sus dominios. No, pues si <, g() ln no está definida, mientras que f() ln sí lo está. Por tanto, ambas son funciones iguales para valores de >, pero no para valores de <. (Ninguna de las dos está definida para.) Dada una función definida de R en R por Imagen de. Antiimagen de. f() f(), obtén: f() 7 f -- () tal que, es decir, -, por lo que - ó, que son las antiimágenes de. f() () () 9 5 f() g() Dada, se pide: f(), g() f(g()), g(f()). Son iguales? f(g()), g(f()). f() 5; g() 7 f(g()) f(7) 5 g(f()) g(5) f(g()) ( ) g(f()) ( ) 5 Calcula las funciones inversas de las siguientes funciones: log e Función inversa de:

7 ( ) ( ) La función inversa es: Análogamente de. log log e e La función inversa es: log Similarmente de: log log La función inversa es: Límites de funciones El límite de una función se calcula en el punto a. Es necesario que este punto pertenezca al dominio de la función? El punto puede no pertenecer al dominio de la función. En la definición de límite, tiende al valor a, con a. En todo entorno del punto a, debe de haber puntos del dominio, es decir a es un punto de acumulación respecto del dominio. Consideremos la función: f() Es evidente que esta función no está definida en el punto. Veamos que tiene límite en dicho punto, para ello se factoriza la función dada. ( ) ) )( ( f()

8 Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas en : ( 5 7) ( 7 5) 5 7 ( 5 7) 7 5 ( 7 5) 9 ( 9 ) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: El límite ( ) ( ) ( ) da una indeterminación del tipo - Multiplicando dividiendo por la epresión conjugada, se tiene: ( ) ( )( ) ( ) ( 9 ) ( ) El límite da la misma indeterminación que en el caso anterior. Procediendo análogamente, se tiene: ( ) ( )( ) ( ) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: ( )

9 El límite () () tiene sentido si se formula así: ( ) () ( ) ( ) 5 Calcula los siguientes límites de funciones racionales, si eisten; caso contrario halla los límites laterales: El límite esta determinado, su valor es: Este límite presenta en una indeterminación del tipo. Por tanto ha que tomar límites laterales: Como los límites laterales son distintos la función carece de límite en ese punto. Este límite presenta en - una indeterminación del tipo - Por tanto ha que tomar límites laterales Como los límites laterales son distintos la función carece de límite en ese punto. Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: El límite da una indeterminación de la forma / Multiplicando numerador denominador por la epresión conjugada del denominador, se tiene:

10 ( ) ( )( ) ( ) ( ) El límite da una indeterminación del tipo / Multiplicando numerador denominador por la epresión conjugada del numerador, se tiene: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 Calcula los siguientes límites de funciones racionales para los valores del dominio: d) d) Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas: Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales:

11 El límite da una indeterminación del tipo Multiplicando numerador denominador por el conjugado del numerador, se tiene: ( )( ) ( )( ) ( )( ) como no eiste el ite en de la epresión considerada El límite da una indeterminación del tipo Multiplicando numerador denominador por el conjugado del numerador, se tiene: ( )( ) ( ) ( ). Calcula los siguientes límites de funciones racionales simplificando previamente los factores comunes para los que se anula: 5 ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) )() ( )() ( Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: 9 El límite 9 da una indeterminación de la forma / Multiplicando dividiendo cada término de la fracción por su epresión conjugada, se tiene:

12 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) El límite da una epresión indeterminada del tipo / Multiplicando el numerador denominador por la epresión conjugada del numerador, se tiene: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 ) ( Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: El límite da una epresión indeterminada del tipo - Multiplicando dividiendo la epresión por su conjugada, se tiene: El límite da una epresión indeterminada del tipo - Multiplicando dividiendo la epresión por su conjugada, se tiene: Calcula los siguientes límites de funciones racionales simplificando previamente los factores comunes para los que se anula: 8

13 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 Calcula los siguientes límites de funciones racionales. Calcula los límites substituendo por - de esas mismas funciones: ± ± ± ± ± ± ± ± 5 Calcula los siguientes límites de funciones racionales simplificando previamente los factores comunes para los que se anula: ) ( ) ( ) )( ( ) )( (

14 ( ) ( ) Calcula los límites de las siguientes epresiones irracionales: El límite ( ( )( ) ) ( ) ( )( ) 5 Multiplicamos dividimos la epresión por su conjugada, se tiene: da una indeterminación del tipo El límite da una epresión indeterminada del tipo - Procediendo análogamente al caso anterior, se tiene: 7 Dada la función: f() a b si si si < <.

15 Calcula a b para que la función tenga límite en todos los puntos de su dominio. Cuál es su dominio? Se trata de una función segmentaria, definida por trozos, mediante epresiones polinómicas que siempre están definidas, por tanto el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales. Analicemos la eistencia de límite para la función: si c < f() c c que está definido c si < c < f() ac b que está definido c si c > f() c que está definido c En, eiste límite si los dos límites laterales coinciden: f() f() ( ) ( a b b En, eiste límite si los dos límites laterales coinciden: f() f() ( a ( ) a b a b Como b - ab, entonces tenemos que a5 8 Dadas las funciones: f() si si < f() si si > Estudia la eistencia de los límites en cada punto de sus dominios. La función: f() si si < tiene como dominio R. Estudiamos sus límites en los siguientes casos: f() a a ( ) a - Si a <, se tiene está definido f() a a ( ) a - Si a >, se tiene está definido

16 f() f() - Si, hemos de tomar límites laterales: La función tiene límite en todos los puntos de su dominio ( ) ( ) f() f() si si > La función - Si a <, se tiene - Si a >, se tiene f() a f() a a a tiene como dominio R. Estudiamos sus límites en los siguientes casos: ( ) a ( ) a está definido está definido f() f() ( ) ( ) f() - Si, hemos de tomar límites laterales: La función tiene límite en todos los puntos de su dominio Dada la función racional: Continuidad f() Se pide: Dominio de definición de la función. Es discontinua en algún punto de su dominio? En, la función no está definida. Es posible definir f en de modo que la función resultante sea continua en toda la recta real? El dominio de definición de la función es el conjunto de valores de, que no anulan al denominador. Por tanto el dominio de la función es R - {} En cualquier punto a, de su dominio, se verifica: f( f() a a a Por tanto la función es continua en todos los puntos de su dominio Para que la función sea continua en, debe cumplir: ( )( ) f() f() ( ) Dada la función:

17 f() se pide: Justifica si eiste su límite analítica gráficamente. Estudia la continuidad de la función: f() g() si si El límite del cociente da una indeterminación del tipo /. Tomando límites laterales, se tiene: f() f() Como los límites laterales son distintos, la función carece de límite en. Podemos justificar el resultado anterior, haciendo la representación de la función. Como su dominio es R-{} : si si f() si < si > < Su gráfica está formada por dos semirrectas paralelas al eje de abscisas que no cortan al eje de ordenadas, tal como figura en el dibujo adjunto. La función g() no es continua en, dado que carece de límite en. Basta considerar la igualdad evidente: g() f() La función g() presenta en el origen una discontinuidad inevitable, a que: g() g() Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: f() si f() si > La función: f()

18 tiene como dominio R-{} Es continua para cada punto de su dominio. En, no está definida no puede decirse que sea continua o discontinua en dicho punto Tampoco tiene límite en el origen, dado que: f() o f() o La función: si f() si > tiene como dominio R. Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas. En, carece de límite dado que sus límites laterales son distintos: f() o f() o En, presenta una discontinuidad inevitable. Dibuja la función f() Ent() (que hace corresponder a cada número real, el maor entero menor o igual que ). En qué puntos es discontinua? Qué tipo de discontinuidad tiene? La gráfica de la función f() Ent() es: La función es discontinua en todos los puntos de abscisa entera. En cada uno de estos puntos los límites laterales son distintos se diferencian en una unidad, por ejemplo: Ent() n n Ent() n n Por tanto las discontinuidades en esos puntos son de tipo inevitable. 5 Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: si f() si < f() si si > La función: si f() si < tiene como dominio R. Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas. En, carece de límite dado que sus límites laterales son distintos:

19 f() o f() o En, presenta una discontinuidad inevitable. d) La función: f() si si > tiene como dominio R. Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas. En es continua dado que: f() ; f() f() f() f() Para qué valores de tiene sentido la siguiente epresión?: f() Es continua la función? - La función raíz cuadrada tiene sentido cuando la parte subradical es maor o igual que cero, por tanto: f() Dom(f) [,] - La función f() es continua en su dominio, dado que es suma de tres funciones (una de ellas constante) continuas. En los etremos del dominio, la continuidad se entiende en el sentido de la lateralidad del límite, es decir: f( ) f( ) f() f() 7 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: si f(). si > f() si < si La función: si f(). si > es una función a trozos, donde cada una de las funciones parciales que definen la función son continuas en su dominio. En el punto, se tiene:

20 f() ; f() ( ) ; f() ( ) Por tanto en, la función es también continua La función: f() si < si es una función a trozos Cada una de las funciones parciales que definen la función son continuas en su dominio. En el punto -, se tiene: f( ) ; f() ; f() Por tanto en -, la función presenta una discontinuidad inevitable, dado que sus límites laterales son distintos. 8 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: f() si f() si > La función: f() es continua en todos los puntos de su dominio: R-{-,} En los puntos -, la función no está definida, luego no puede decirse que en esos puntos la función sea continua o discontinua. La función: si f() si > está definida a trozos, mediante dos funciones continuas. En el punto, se tiene: f() ( ) ; f() ( ) los límites laterales son distintos la función presenta una discontinuidad inevitable. 9 Dada la función definida en el intervalo [,], cua gráfica se muestra en la figura adjunta, se pide: Su epresión algebraica.

21 Sus puntos de discontinuidad la clasificación de los mismos. Los valores máimo mínimo que toma la función en su dominio de definición. La función que tiene como dominio el intervalo [,] está definida por tramos: Primer tramo: Recta que pasa por los puntos (,) tiene pendiente m : Su ecuación es Segundo tramo: Recta que pasa por los puntos (,5) (5,): Su ecuación es: Tercer tramo: Recta que pasa por los puntos (5,) (,): Su ecuación es: La epresión de la función es por tanto: f() 8 5 si < si < 5 si 5 La función presenta una discontinuidad inevitable en el punto, dado que: f() ; f() 5 De la representación gráfica se tiene: Valor mínimo de f(): ; Valor máimo: La función: b at t P(t) 7 t si si t 8 8 < t consigna el precio que durante diez años obtuvo cierto producto en el mercado epresado en miles de euros en función del tiempo transcurrido t en años, desde su lanzamiento. Se pide: Representa la función P(t), sabiendo que se trata de una función continua que el precio de salida fue de 9 euros. En qué año alcanzó el maor precio? Cálculo de a b: Precio de salida: P() 9 mil euros b 9

22 La función precio es una función a trozos, definida por dos funciones continuas en su dominio Continuidad en t 8: P(8) P(t) t8 P(t) b 8a 7 8 a 8 t8 Por tanto hemos de representar la función: 9 8 t t P(t) 7 t si t 8 si 8 < t cua gráfica es: El maor precio lo alcanza en el vértice de la parábola, el cual se produce para el valor: 8 t años para ese valor la función precio toma el valor P() 5 mil euros Dada la función: f() a si si < 7 7 Se pide: Calcula a, para que la función sea continua en su dominio. Representa la función. Deduce cuál es su recorrido. Se trata de una función a trozos, cuo dominio es R. Cada una de las funciones parciales que definen la función, son continuas en sus dominios. En 7, se verifica: f(7) 7a ; f() 7 ; 7 f() 7 (a ) 7a 7 Para que la función sea continua en 7, ha de cumplirse 7a a Teniendo en cuenta que: si si f() si < < 7 si > si 7

23 la gráfica de la función es: A partir del dibujo adjunto, los valores que toma la función son: f() por tanto su recorrido es el conjunto: R { } Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: si f() si < si > f() 8 si 8 < si < si Se trata de una función a trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son continuas en sus dominios. En : f() ; f() ( ) ; f(), la función es continua. f() En : tipo inevitable ; f() ; f() (), la función presenta una discontinuidad de Se trata de una función a trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son continuas en sus dominios. f( 8) ; f() 8 ( ) 8 En -8:, la función es continua a la derecha del punto f( ) ; f() ( ) ; f() ( ) En -:, la función presenta una discontinuidad de tipo inevitable. En : f() ; f() 8 ( ) ; f(), la función es continua.

24 Determina el dominio, recorrido, puntos de discontinuidad clasificación de éstos, así como la epresión algebraica de la función cua gráfica es la de la figura. Halla también los límites de la función en los puntos de -. Dominio de la función (valores que toma la variable ): - Recorrido de la función (valores que toma f()): [-,] - La función no presenta discontinuidades 9, - Primer tramo: recta que pasa por los puntos (-,5;) (-,-) su ecuación es:,5,,,5 Segundo tramo: recta que pasa por los puntos (-,-) (-,) su ecuación es: Tercer tramo: parábola con vértice (,) corta al eje OX en (-,) (,) su ecuación es: Cuarto tramo: parábola con vértice (,-) corta al eje OX en (,) (,) su ecuación es: La epresión de la función es: 8 si,5 5 5 f() si < < si < si - Gráficamente los límites que piden valen: f() f() Calcula m, n, p q para que la siguiente función sea continua en todo R:

25 si < 8 m si 8 < f() si - < n p si < q si La función está definida por trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son funciones continuas en sus respectivos dominios. De modo que imponemos la condición de continuidad en cada uno de los puntos donde cambia la definición de la función. - En -8: - En -: - En : - En : f( 8) f( ) f() f() f() 8 f() f() f() 7 f() m m 8 8 f() m f() n p p f() p q q 5 n 5 n 8 9