Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

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1 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el cambio de variable t d = dt d sen d = sentdt cost c cos c dt, se tendrá:. Calcule las siguientes integrales sin e i) d ii) d iii) e 8 d sin i) d. Haciendo el cambio de variable t d dt d dt. sin Sustituyendo: d = sin tdt = cost c = cos c i) e d = e e f ( ) d d e c e f( ) 8 ii) Dividiendo: Luego: 8 d d ln( ) c

2 . Calcular el valor de a > en los siguientes casos: a) d a b) d c) d. a a a) d a d ln( ) ln a a b) d a d ln( ) ln( a ) a a e a e c) d d ln( a) ln( a) ln a a a a e a ae ( a e ) a a e. Calcular la integral definida d a ln a Para valores negativos de, el valor absoluto de, = ; para valores positivos de, =. Si además aplicamos las propiedades de la integral definida, se tiene: d = d d = = d d d d = = ( ) ( ) ( ). Encontrar la función cuya segunda derivada es la constante, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto (, ). Datos: f () = ; f () = en = se da un mínimo; f() = : la función pasa por (, ). Integrando la segunda derivada se obtiene la primera. f ( ) f ( ) d d f ( ) c Como f () = se tendrá que: f ( ) c c =. Luego f ( ) Integrando f () se obtiene f(): f ( ) f ( ) d ( ) d f ( ) k Como f () = se tendrá que: f ( ) k k =. Luego, f ( )

3 6. La derivada de cierta función f es f ( ). (a) Representar gráficamente f y deducir de esa gráfica los intervalos de crecimiento y concavidad de f. (b) Hallar f sabiendo que f() =. (a) La función f ( ) es una parábola. Su gráfica se obtiene dando valores y es la siguiente. Se observa que: si <, f ( ) f () es creciente. si < <, f ( ) f () es decreciente. si >, f ( ) f () es creciente. Además, f () es decreciente si < y creciente cuando >. Por tanto, si <, f será negativa y f cóncava () si >, f > y f convea () En = se tendrá un punto de infleión. (b) Integrando f () se obtiene f(): f ( ) d ( f ( ) ) d f ( ) k Como f () = se tendrá que: f ( ) k. Luego, f ( ) Nota: Aunque no se pide, la gráfica de la función es la siguiente

4 7. Sea considera la función f ( ) e. (a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa =. (b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f() para, el eje OX y la recta =. (a) La ecuación de la recta tangente a f() en el punto (a, f(a)) es: y f ( a) f ( a)( a) Si f ( ) e f ( ) e e ; luego f ) e ( ; f ( ) e De donde la tangente será: y e e( ) y e e (b) Como la función es positiva en el intervalo considerado, el área pedida viene dada por el valor d la integral ( e d e e ) NOTAS:. Esta integral es inmediata, no obstante podría hacerse el cambio t.. Aunque no se pide, ni es necesario hacerlo, el recinto es el sombreado en la figura adjunta.

5 8. Sean las funciones ( ) f 9.y g ( ) 6. Calcular: f ( ) a) lím. g( ) b) Los etremos relativos de g(), si eisten. c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función f(), el eje OX y las rectas =, = 6. f ( ) a) lím g( ) = 9 ( )( ) lím 6 lím ( )( ) lím 6 b) La función g() es una parábola de eje vertical: tendrá un mínimo, pues el coeficiente de es positivo. Por derivadas: g ( ) 6 g ( ) = /. Como g ( ), en = / se tiene un mínimo. Su valor es g ( / ) / c) El recinto es el dibujado a continuación. El área vale: 6 A = ( 9) d 9 8 ( 8) 6 6

6 6 9. Sean las funciones f ( ) a b, g( ) c a) Determínense a, b y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (, ) y (, ). b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g() en el punto (, ). c) Calcúlese el área de la región limitada por las gráficas de f () y g(). (a) Por f() = a + b = Por f() = + a + b = De ambas ecuaciones se deduce que: a = y b = Por g() = + c = c =. Las funciones son: f ( ), g ( ) (b) La tangente es: y g( ) g ( )( ) Como g ( ) g () = Por tanto, la ecuación de la tangente será: y ( ) y = + (c) La situación gráfica es la siguiente. Las curvas se cortan en = y =, solución de la ecuación El área es la zona sombreada, que vale: A = ( g ( ) f ( )) d ( ) d = 6 = 8 9

7 7. Sea la función dependiente de los parámetros a y b: a si f ( ) si b si a) Hállense los valores de a y b para que la función sea continua en el conjunto R de números reales. b) Represéntese gráficamente para los valores a = y b =. c) Para los valores a = y b =, hállese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = y =. a) En = : si, f() a si +, f() a = En = : si, f() si +, f() b b =. b) Para los valores a = y b = la función es Su gráfica es la adjunta. f ( ) si si si c) El área es la de la región sombreada en la figura. A = ( ) d ( ) d = =

8 8. Hallar el área comprendida entre las dos parábolas y e y. La región es la sombreada en la siguiente figura. Las curvas se cortan en los puntos (, ) y (, ), que son las soluciones del sistema y y Como y va por debajo de y en el intervalo (, ), el área viene dada por: A ( ) d ( ) d ( ) si. Dada la función f ( ) si. si a) Representa gráficamente f. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, y las rectas y a) Es una función definida a trozos, compuesta por dos trozos de parábola y un trozo de recta. Ambas funciones pueden representarse dando valores. Los damos en la siguiente tabla:,,, f().8,99 8 Se obtiene la figura: b) El área pedida es la sombreada en la figura adjunta. Su valor es: A ( = ) d A( triángulo)

9 9. Calcular el área del recinto limitado por la curva y 8 y el eje de abscisas. El recinto es el sombreado en la siguiente figura. Para representarla observamos que: corta al eje OX en los puntos =, y, soluciones de 8 tiene máimos o mínimos cuando y 6 8 la función es impar. dando algunos valores se obtiene la gráfica. El área viene dada por: A = ( 8) d ( 8 6) 6. Dibujar el recinto engendrado por las funciones y ; y ( ) ; y ( ) Calcular el área de dicho recinto. Se trata de dos rectas y de una parábola. Pueden representarse dando valores. El área pedida es la del recinto sombreado en la figura. Los puntos de corte entre las distintas gráficas se obtienen resolviendo los sistemas: y =, = ; y ( ) y ( ) =, = y ( ) El área del recinto viene dada por: A = A + A = [ ( ) ( )] d [( ) ( ) ] d = = ( ) d ( ) d = = 7 6

10 . a) Encuentra la primitiva de la función b) Dibuja la función f ( ) 7 = y =. f ( ) 7 e que en el valga 6,7., y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre Solución a) Es una integral casi inmediata: F( ) d d Si F() = 6,7 c d c c c b) f ( ) 7 f ( ) f ( ) 6 Como f () < para todo, la función es siempre decreciente. En = tiene un punto de infleión, siendo convea () si < y cóncava () cuando >. Cortes con los ejes: si =, f () = 7 punto (, 7) si y =, 7, = punto (, ) Dando otros valores: (, ); (, 6); (, 9); (, 7), se obtiene la figura siguiente. El área pedida es: A = d 7 d 7 = = 7 7 = = =

11 6. Dada la función ) ( f ( > ). a) Encuentra la primitiva de f que en el valga. b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa = y =. Solución a) Es una integral casi inmediata: c c d d d F ) ( Si F() = c c Por tanto, la primitiva buscada es: ) ( F b) La curva tiene una asíntota vertical (la recta = ) y otra oblicua (la recta y = ). Se ve fácilmente, pues: lím y lím Damos algunos valores y representamos los puntos: (, ); (, ); (,,); (,.); (,,6) Se obtiene la curva El área pedida es: ) ( 7 d A

12 7. a) Encuentra f () donde f es la derivada de la función f dada por f ( ) 8, ( ). b) Dibuja la función f ( ) 8 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. Solución a a) f ( ) 8 f ( ) 6 a Luego 6 ( ) ( ) ( ) b) f ( ) 8 puede trazarse dando valores; también puede verse que tiene un mínimo en =, que es el vértice de la parábola, pues f ( ) 6 6 = si =. Algunos valores: 6 f ( ) 8 Su gráfica será la siguiente. El área limitada por la curva y el eje OX entre y es la sombreada en la figura. Como en ese intervalo la función toma valores negativos, será: A ( 8 ) d = 9 = 7

13 8. Se espera que, en los próimos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dadas por la función P ( t) t t a) Determinar cuando las ganancias serán iguales a millones de euros. b) Determinar en qué años decrecerán las ganancias. Cuándo son máimas? c) Cuáles serán las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años? a) Se cumple: P ( t) t t = t =, t =. La solución t = carece de sentido. Por tanto, a los años la empresa gana millones. b) Derivando: P ( t) t. esta derivada se anula cuando t =. Si t <, P (t) > P(t) es creciente. Si t >, P (t) < P(t) es decreciente Si crece para valores de t < y decrece para t >, en t = se da el máimo de P(t). Dicho máimo es P() = millones. c) Las ganancias pedidas vienen dadas por la integral ( t t) dt el área sombreada en la figura adjunta. Su valor es: ( t t ) dt = euros. 7 t t t millones de 9. Se considera la parábola p( ),, y sea s() la línea poligonal que se obtiene uniendo los puntos (, ), (, ), (, ) por segmentos de recta. Representa el recinto limitado por la parábola y la poligonal y calcula su área. Damos algunos valores para trazar la parábola: p( ),, El recinto es el sombreado en la siguiente figura. Su área viene dada por la diferencia de la determinada por debajo del arco parabólico entre y y la del trapecio de vértices OABC. Y vale: S (, ( ), ) d,, 6

14 . Se considera la función f ( ) a. a) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la función en el punto corte al eje OX en el punto. b) Calcula, además, el área de la región limitada por dicha tangente, el eje OX y la función f (), para el valor de a obtenido anteriormente. a) La ecuación de la recta tangente será: y f ( ) f ()( ) f ( ) a f ( ) a La tangente será: y ( 9a ) ( 6a )( ) Como pasa por el punto (, ) (9a ) ( 6a )( ) a =. En consecuencia, la función es f ( ), y su tangente en =, y. b) La región es la sombreada en la figura siguiente. Su área viene dada por: ( ) d ( ) d = =

15 si. Dada la función f ( ) si ) Representa gráficamente f. ) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y eje de abscisas. ) Es una función definida a trozos, compuesta por un trozo de parábola y dos trozos de recta, pues atendiendo al valor absoluto f ( ) Ambas funciones pueden representarse dando valores. Los damos en la siguiente tabla: f() Se obtiene la figura: ) El área pedida es la sombreada en la siguiente figura. Su valor es: A ( = ) d A( triángulo)

16 6 a. a) Dada la función f ( ), encuentra a para que si f es la derivada de f, entonces f () =. b) Dibuja la función f ( ). Encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. Solución a a a) f ( ) f ( ) 6 a Si f () = 6 ( ) ( ) ( ) a = b) f ( ) f ( ) 6 ( ) f ( ) 6 6 La derivada primera se anula en = o =. Luego: si <, f () < f decrece si < <, f () > f crece en = hay un mínimo. si >, f () < f decrece en = hay un máimo. La derivada segunda sea anula en =, luego: si <, f () > f es convea () si >, f () < f es cóncava () en = hay punto de infleión La curva corta a los ejes en los puntos (, ) y (, ). Dando otros valores,{(, ); (, ); (, ); (, 6)}, puede trazarse la gráfica pedida. El área pedida es la sombreada en la figura. Su valor es: A = ( ) d = = 8

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