PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea f una función continua en el intervalo [, ] y F una función primitiva de f tal que, F () = y F () =. Calcula: a) f ( d ) b) ( 5 f ( ) 7) c) ( F ) d ( ) f ( d ) MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) [ ] f( ) d = F( ) = F() F() = = b) ( f ) d f d d [ ] 5 ( ) 7 = 5 ( ) 7 = 5 7 = 5 7( ) = c) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( ) () () 8 7 ( ) f( ) d = = = =

3 Sea la función f definida por f( ) = para y. a) Halla una primitiva de f. b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de,k sea ln, donde ln denota el logaritmo neperiano. f en el intervalo [ ] MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Las raíces del denominador son: = = ; = Descomponemos en fracciones simples: A B A( + ) + B( ) = + = + ( )( + ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. = = A A= = = B B= Con lo cual: d = d + d = ln( ) ln( + ) + C + b) k k A= ln = d= [ ln( ) ln( + ) ] = ln + ln k+ k Resolvemos la ecuación logarítmica: k k k ln = ln + ln ln = ln = k+ = k k = 5 k+ k+ k+

4 Sean f, g : las funciones definidas por: f ( ) = sen y g( ) = cos, respectivamente. π a) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo,. b) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas = y MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. π = a) Representamos gráficamente las dos funciones en el intervalo que nos dan: b) El área que nos piden son los dos recintos coloreados: Calculamos el área π π π π [ ] (cos ) ( cos ) cos [ cos ] π π Área = A + A = sen d + sen d = sen + + sen = π π π π π π = sen + cos [ sen + cos ] + cos sen cos sen = = u =

5 Sea f la función f : definida por f ( ) = cos. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( π,). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral F( ) = cosd, que es una integral por partes. = = = + = F( ) cosd sen send sen cos cosd = + + sen cos sen C u = ; du = d dv = cos d; v = sen u = ; du = d dv = sen d; v = cos F( ) = sen + cos sen + C Como nos piden una primitiva que pase por ( π,) F( π ) =, luego sustituyendo podemos calcular el valor de C. =π sen π+ π cosπ sen π+ C = π+ C C = π Por lo tanto, la función primitiva que nos piden es: F( ) = sen+ cos sen+ π

6 Sea f : la función definida por: f ( ) = a) Halla la ecuación de la recta tangente R E S a O la L gráfica U C I de Ó f N en el punto de abscisa =. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y =, determinando los puntos de corte de ambas gráficas. c) Calcula el área del recinto anterior. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La recta tangente en = es y f() = f '() ( ) f () = f f '( ) = '() = () = Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y+ = ( ) y = b) Hacemos un esbozo. Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: ; = + = = = Luego, los puntos de corte son: c) (, ) y (,) ( ) ( ) = A = d = + d = = + = u

7 Sea f, g: las funciones definidas por: f ( ) = y g( ) = +, respectivamente. a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: 6 ; = + = = = Luego, los puntos de corte son: Hacemos un esbozo. (,) y (,) b) A= + d= + d= + = + = ( ) ( ) 6 ( ) 9u

8 Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y =, y = 8 y la curva y = R E. S O L U C I Ó N a) Realiza un esbozo de dicho recinto. b) Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Hacemos un esbozo. b) A ( ) ( ) d d 8 = = + = + = + ( ) = u

9 Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f :(, + ) definida por f ( ) = a + bln( ), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en = y que f( ) d = 7 8ln. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Como tiene un etremo relativo en =, se cumple que f '() =, luego: b b f '( ) = a+ f '() = a + = b= a Calculamos la integral: Previamente calculamos por partes la integral de ln() f ( ) = ln d = ln a 6a a a a d = a a a a a a = + + = = ln( ) ( ln ) 8 ln ln Luego, los valores son: a = ; b=

10 Sea la función f : definida por f ( ) = ( ) e. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Vamos a calcular la integral, que es una integral por partes. u = ; du = d dv = e d; v = e I = ( ) e d = e ( ) e d Volvemos a hacer la integral que nos queda por partes. u = ; du = d dv = e d; v = e = = + = I e ( ) e d e ( ) e e d e ( ) e e C e ( ) C = = Calculamos una primitiva que pase por el punto (, ). F e C F F e C C ( ) = ( + + ) + ( ) = ( ) = ( + ) + = = Luego, la primitiva que nos piden es: F e ( ) = ( + + )

11 Sean las funciones f : y g :(, + ) definidas por f( ) = y g ( ) = respectivamente. a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: Luego, los puntos de corte son: Hacemos un esbozo. = = 6 = ; = 6 (,) y (,) b) A= d= d= = = ( ) ( ) ( ) u

12 Sea I = d. + a) Epresa la integral I aplicando el cambio de variable t =. b) Calcula el valor de I. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Como el cambio es t =, vamos a calcular cuanto vale d: dt d = = t d d = t dt t = t = = t Calculamos los nuevos límites de integración: = t = = t = Sustituyendo, tenemos: ( t ) ( + t)( t) I = ( t dt) = ( t dt) = t( t) dt = ( t + t ) dt + t + t b) Calculamos el valor de I t t ( ) I = t+ t dt = + = + =

13 9 Sea f : la función definida por f( ) =. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = es: y f() = f '() ( ) Calculamos: 9 f () = = f '( ) = = f '() = Sustituyendo, tenemos: y f() = f '() ( ) y = ( ) + y 5 = b) Esbozamos el recinto que nos dicen Calculamos el área del recinto A= d+ d= d+ d= = + = + = 5 = + = u