Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de áreas.

Transcripción

1 ºBachillerato Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de áreas.. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f 4 abscisas y las rectas = y =. Sol: /., el eje de a) Buscamos los puntos de cortes con el eje OX: 4 Obtenemos y 4 b) Seleccionamos aquellas que están comprendidas entre y. En este caso no hay ninguna c) Buscamos la una primitiva de f 4 F 4 d d) A 4 d 9 8 u - / - A.G.Onandía

2 ºBachillerato. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f 4 abscisas y las rectas = y =. Sol: /., el eje de a) Buscamos los puntos de cortes con el eje OX: 4. Obtenemos y 4 b) Seleccionamos aquellas que están comprendidas entre y. En este caso no hay ninguna 4 d c) Buscamos una primitiva de f 4 F d) A 4 d 9 8 u El área calculada es la de la figura y observa que es la misma que la calculada en el ejemplo anterior.. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función sen y. Sol: Los cortes con OX son sen k Entre Luego f y el eje OX entre y solo hay uno A sen d sen d cos cos cos cos cos cos u - / - A.G.Onandía

3 ºBachillerato 4. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f g entre =- y =. Sol: 4/. y 5. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones g entre =- y =. Sol: 7/. f y - / - A.G.Onandía

4 ºBachillerato 6. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f g. Sol: 4/. y 7. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y Sol: /. g. - 4/ - A.G.Onandía

5 ºBachillerato 8. Calcular el área limitada por la parábola f y el eje OX. Sol: 9/. 9. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función y, el eje de abscisas y las rectas =- y =. Sol: 55/. Buscamos los ceros de la función ; ;. Nos fijamos que entre =- y = solo están =- y =. Así el área buscada es: A d d 4 d u 4-5/ - A.G.Onandía

6 ºBachillerato. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función y 7, el eje de abscisas. Sol: 55/. Buscamos los puntos de corte con OX 7 ; ; El área buscada es: 7 7 A d d u. Calcular el área del trapecio mitilíneo que determina la gráfica de la función f sen en el intervalo,. Sol: ½. 4 Buscamos los puntos de corte: k sen k k En el intervalo, no hay ninguno. 4 El área es: 4 4 A sen d cos u. Calcular el área de la región del plano encerrado por la gráfica de la función f ln eje de abscisas y la recta de ecuación =. Sol: ln Puntos de corte con OX ln El área es: A ln d ln ln u Hallamos la primitiva por partes d ln d ln ln C uln dvd d du v, el - 6/ - A.G.Onandía

7 ºBachillerato. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f g Sol: 9/. y 4. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f e y g ln y las rectas = y =e. Sol:,4. - 7/ - A.G.Onandía

8 ºBachillerato 5. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g Sol: /. 6. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g Sol: /. Buscamos los puntos de corte de ambas funciones: 4 ; El área es: A d u - 8/ - A.G.Onandía

9 ºBachillerato 7. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y Sol: 44/5. y 4 e Buscamos los puntos de cortes de las dos funciones: 4 4 ; El área buscada será: A d u Calcular el valor del coeficiente b sabiendo que el área delimitada por la parábola y b y la recta y es 6 u. Sol: b=-7 o b=5 y b Buscamos los puntos de corte b El área pedida es b b y b A b d 6 b Resolvemos la integral: b d b - 9/ - A.G.Onandía b b 6 Como el área es 6 b 6 b 6 b 6 b 5 b b 6 b 6 b 6 b Calcular el área delimitada por las funciones f sen y g cos en,. Sol: 5,66 Buscamos los puntos donde se cortan: sen cos() tg k k 4 En, hay dos valores: 5 ; 4 4 El área buscada es: A sen cos d sen cos d cos sen cos sen 5, 66 u

10 ºBachillerato CASOS ALGO ESPECIALES:. Calcular el área de la región del plano limitada por y=ln, su recta tangente en =e y el eje e OX. Sol.: En primer lugar calculamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ln en el punto de abscisa e. Su pendiente será m f ' e e e y f () e ln e y e y. e e La ecuación de la tangente: El recinto del cual debemos obtener el área es: Buscamos los puntos de corte de las funciones con los ejes: e ln. Buscamos los puntos donde se cortan las dos funciones, que en este caso es el punto de tangencia ( e,). e e A d ln d 8 8 El área buscada será: ó también e e e A d ln d 8 Pero la manera más sencilla es restar el área del triángulo determinando por (,), (e,) y (e,) y el área que determina y=ln entre y e, es decir: e e e e e A ln d ln u e - / - A.G.Onandía

11 . Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y Sol.: 9/ ºBachillerato y la recta y. Buscamos los puntos donde se cortan las dos curvas ( como soluciones (,-) y (4,). El área buscada y no es una función) y obtenemos A d d u - / - A.G.Onandía