INICIACIÓN A LAS INTEGRALES

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1 9 INICIACIÓN A LAS INTEGRALES Página. Dos trenes Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente. Estas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos. VELOCIDAD (en km/h) TALGO MERCANCÍAS TIEMPO (en horas) Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad: A qué puede deberse? Por qué no aminora la marcha también el otro tren? A las tres horas ambos trenes modifican su marcha: el Talgo para durante breves minutos, mientras que el de mercancías va muy despacio durante media hora. Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos: a) El Talgo, durante h, va a km/h. Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? b) De a, el Talgo disminuye su velocidad. Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? Unidad 9. Iniciación a las integrales

2 c) El tren de mercancías aminora la marcha a las h. Qué distancia ha recorrido hasta ese momento? d) Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad? e) A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo? f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las gráficas, roja o negra. Señala los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente. a) = km. b) A km/h durante de hora, recorre = km. c) Ha ido a km/h durante horas, luego ha recorrido = km. d) Va a km/h durante hora, luego recorre = km. e) La parada la hace a las horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: = km en las dos primeras horas = km el siguiente cuarto de hora = 9 km los siguientes tres cuartos de hora Total: = km hasta llegar a la parada. f) VELOCIDAD (km/h) Área Área 9 TALGO VELOCIDAD (km/h) Área TIEMPO (horas) Área MERCANCÍAS Área TIEMPO (horas) Unidad 9. Iniciación a las integrales

3 Página 9 Cuál es la función cuya derivada es? La función cuya derivada es es... La función cuya derivada es cos es... sen La función cuya derivada es es... a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) + n) + 7 ñ) sen o) sen p) sen q) cos r) e s) e t) e u) ln v) w) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) + n) + ñ) cos o) cos p) cos q) sen r) e s) e t) e u) (ln) v) ln w) ln Página. Calcula las siguientes integrales: a) 7 b) c) d) e) f) a) 7 = k = + k b) = = + k = + k c) = / = / + k = + k / / d) = / = + k = + k / + Unidad 9. Iniciación a las integrales

4 + e) = + = / + / = = / + / + k = + + k / / 9 f) = = 7/ = + k = + k / / / / / /. Calcula: a) + b) ( cos + ) 7 c) + d) ( ) a) + = ( + ) b) ( cos + ) = cos + = sen + + k = + ln + k c) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = = 7 + = 7 = + ln + + k d) ( ) = = + k ln ln ln Página. Halla las primitivas de estas funciones: a) f () = ( + ) ( ) b) f () = ( + ) c) f () = d) f () = e) f () = cos sen a) ( + ) ( ) = ( + ) + k Unidad 9. Iniciación a las integrales

5 b) ( + ) = ( + ) + k = ( + ) + k c) = ln + k d) = ln + k e) cos sen = sen + k. Busca las primitivas de: a) f () = ln b) f () = c) f () = d) f () = sen e) f () = sen ( ) ( ) f) f () = a) ln = + k = + k b) = + k = + k ln ln c) = + k = + k ln ln d) sen = cos + k e) sen ( ) ( ) = cos ( )+ k cos sen f) cos = ln sen + k sen Página 7. Halla e interpreta estas integrales: a) sen b) ( ) a) G() = sen = cos G() = ; G() = Unidad 9. Iniciación a las integrales

6 G() = ; G() = sen = ( ) = + = Interpretación geométrica: I y = sen III II IV La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da de resultado : Área de I Área de II + Área de III Área de IV = b) G() = ( ) = G() = ; G( ) = ( ) = = Interpretación geométrica: y = Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir: Área del recinto =. Halla la siguiente integral e interprétala geométricamente: e G() = e = e G() = e ; G() = e = e,9 Interpretación geométrica: y = e Área del recinto = e,9 Unidad 9. Iniciación a las integrales

7 Página 9. Halla el área comprendida entre la función y = ( ) ( ), el eje X y las rectas =, =. Puntos de corte con el eje X: ( ) ( ) = =, =, =, = Solo nos sirven =, = (están entre y ). Hay tres recintos: I [, ]; II [, ]; III [, ] G() = ( ) ( ) = ( + ) = + G() = ; G() = ; G() = ; G() = Área del recinto I = G() G() = Área del recinto II = G() G() = = Área del recinto III = G() G() = Área total = + + = = 9, u. Halla el área comprendida entre la función y = y el eje X. Puntos de corte con el eje X: = ( ) = =, =, = Hay dos recintos: I [, ]; II [, ] G() = ( ) = G( ) = ; G() = ; G() = Área del recinto I = G() G( ) = Área del recinto II = G() G() = 7 Área total = + =, u Unidad 9. Iniciación a las integrales 7

8 Página. Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f () = +, g () = + + f () g() = + = = ( ) = =, =, = Hay dos recintos: I [, ]; II [, ] G() = ( ) = 7 G( ) = ; G() = ; G() = 7 Recinto I: Área [, ] = G() G( ) = II Recinto II: Área [, ] = G() G() = 7 7 Área total: + =, u I Página 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Halla una primitiva de las siguientes funciones: a) f () = + b) f () = c) f () = + d) f () = + e) f () = + f) f () = + g) f () = + h) f () = a) ( + ) = + b) ( ) = c) ( + ) = + Unidad 9. Iniciación a las integrales

9 d) ( + ) = + e) ( + ) = ( + ) = + = f) ( + ) = ( / + ) = + = / / g) ( + ) = ( / + ) = + = + / / h) = / = / = = / / Calcula: a) b) c) + d) e) f) g) h) + a) = / = + k = + k = + k b) = / = + k = + k + c) = ( / + / ) = + + k = + + k d) = ( ) = + k = + + k e) = ln + k f) = ln + + k + g) = ( ) / / = ln + + k h) = ( ) = ln + k / / / / / / Unidad 9. Iniciación a las integrales 9

10 Resuelve: a) sen b) ( ) cos + c) d) ( + tg ) e) cos f) ( ) sen sen g) sen ( ) h) cos a) sen = Calcula: sen = cos + k b) cos ( + ) = sen ( + ) + k c) = cos = tg + k cos d) ( + tg ) = ( + tg ) = tg + k e) cos = ln sen + k sen f) ( sen ) = + cos + k g) sen ( ) = cos ( ) + k h) cos = cos = sen + k a) e + b) e c) 7 d) / cos a) e + = e + + k b) e = e = e + k ln ln 7 c) 7 = ln 7 = 7 + k = + k ln Unidad 9. Iniciación a las integrales

11 Calcula: a) ( ) b) ( + ) c) d) e) + f) g) h) + a) ( ) = ( ) + k b) ( + ) = ( + ) = + k = + k c) = = + k d) = ( )/ = = + k e) + Calcula: + a) b) c) + d) e e) f) sen cos g) h) sen ( + ) / / ( + ) a) = ( + ) / = + k = + k + = ( ) / = + k = ( ) + k f) = = ln + k g) = ln + + k + / ln d) / = / = + k + + h) = = ln + k + ( + ) ( ) / / [( + )/] / / + ( + ) ( ) Unidad 9. Iniciación a las integrales

12 b) = = + k c) + = ln + + k + d) e = e = e + k + e) = = ln + + k f) sen cos = sen + k g) = = ln + k h) sen = sen = cos + k + 7 Calcula: a) e b) + c) e d) e) + f) + + a) e = e = e + k b) + = + = + k c) e = e = e + k d) = = + k e) = = = + k ( ) / / ( ) 9 f) = = ( )/ = + k = + k ln + + Unidad 9. Iniciación a las integrales

13 Resuelve las siguientes integrales: a) + b) c) + d) Dividendo Divide y transforma la fracción así: = cociente + divisor a) + = ( + ) b) + 7 = ( + + ) + c) + = ( ) = + k + = + ln + k = + ln + + k d) = ( + ) = + ln + resto divisor 9 Calcula: a) b) a) sen b) sen cos c) e) ( + ) f) d) g) h) i) ln j) cos e e e h) + e i) a) sen = cos + k b) sen cos = sen + k c) = / = + k = + k + + 7/ 7/ ( + ) d) = = + k e) ( + ) = ( + + ) = k Unidad 9. Iniciación a las integrales

14 f) = = + k g) + = ( + + ) h) = ln + e + k + e i) ln = ln + k j) cos e = sen e + k e e = + + ln + k Página Resuelve las siguientes integrales: a) ( ) b) ( ) c) ( + ) d) e) e f) e g) (sen cos ) h) sen a) G() = ( ) = G() = ; G() = ( ) = G() G() = ( ) = 7 b) G() = ( ) = G() = ; G() = ( ) = G() G() = = c) G() = ( + ) = + G() = G( ) = ( + ) = G() G( ) = Unidad 9. Iniciación a las integrales

15 d) G() = = / = = / / G() = ; G() = = G() G() = = e) G() = = ln G(e) = ; G() = e = G(e) G() = f) G() = e = e G() = e; G( ) = e e = G() G( ) = e e = e = e e e g) G() = (sen cos ) = cos sen G() = ; G() = (sen cos ) = G() G() = ( ) = h) G() = G() = ; G( ) = sen = cos sen = G() G( ) = Halla, en cada caso, el área limitada por: S a) f () =, el eje X y las rectas = y =. b) f () =, el eje X y las rectas = y =. c) f () = y el eje X. d) f () =, el eje X y las rectas = y =. Unidad 9. Iniciación a las integrales

16 e) f () = e, el eje X y las rectas = y =. f) f () = +, el eje X y las rectas = y =. a) Puntos de corte con el eje X: = =, = Solo nos sirve =. Hay un recinto: [, ] G() = ( ) = G() = ; G() = Área = G() G() = u b) Puntos de corte con el eje X: = =, = Hay dos recintos: I [, ]; II [, ] G() = ( ) = G( ) = ; G() = ; G() = Área del recinto I = G() G( ) = Área del recinto II = G() G() = Área total = + = = u c) Puntos de corte con el eje X: = =, = Hay un recinto: [, ] G() = ( ) = G( ) = ; G() = 9 Área = G() G( ) = 9 = u I II d) Puntos de corte con el eje X: = =, = Hay tres recintos: I [, ]; II [, ]; III [, ] G() = ( ) = G( ) = ; G( ) = ; G() = ; G() = II I III Unidad 9. Iniciación a las integrales

17 Área del recinto I = G( ) G( ) = = Área del recinto II = G() G( ) = ( ) = Área del recinto III = G() G() = Área total = = u e) No corta al eje X. G() = e = e G( ) = e ; G() = e Área = G() G( ) = e e = = e = e 9,7 u e e f) No corta al eje X. G() = ( + ) = + G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u Halla las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a) f () = en [, ] b) ƒ () = cos en [, /] c) ƒ () = ( + ) ( ) en [, ] d) ƒ () = sen en [, ] a) G() = ( ) = G() = ; G() = ( ) = G() G() = b) G() = cos = sen G() = ; G ( ) = / cos = G ( ) G() = c) G() = ( + ) ( ) = ( + ) = + Unidad 9. Iniciación a las integrales 7

18 G( ) = ; G() = ( + ) ( 9 ) = G() G( ) = = d) G() = sen = cos G() = ; G() = = sen = G() G() = + PARA RESOLVER Calcula el área comprendida entre las curvas: S a) y = ; y = b) y = ; y = c) y = ; y = d) y = ; y = + e) y = + ; y = + f ) y = ; y = ; = ; = a) = =, = G() = ( ) = G() = ; G() = Área = G() G() = u b) = =, = G() = ( ) = G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u c) = =, = G() = ( ) = G() = ; G() = Área = G() G() = u Unidad 9. Iniciación a las integrales

19 d) ( + ) = = =, = G() = ( ) = G() = ; G() = Área = G() G() = u e) + ( + ) = + = =, = G() = ( + ) = 7 G( ) = ; G() = + 7 Área = G() G() = = = 9 u 7 f) ( ) = = =, = G() = ( ) = G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u Calcula el área de los recintos limitados por: S a) La función f () = + y los ejes de coordenadas. b) La curva y =, la recta = y el eje X. c) La función y = sen, el eje de abscisas y las rectas = y =. d) La función y = cos y el eje OX entre = y =. a) f () = + = ( ) = = G() = ( ) = ( ) G() = ; G() = Área = G() G() = u Unidad 9. Iniciación a las integrales 9

20 b) = = G() = = G() = ; G() = Área = G() G() = u c) sen = = ( entre y ) Hay dos recintos: I [, ] ; II [, ] G() = sen = cos = ; G() = G ( ) = G ( ) Área recinto I = G() G ( ) = + =,9 Área recinto II = G ( ) G() = =,9 Área total =,9, u d) cos = = ( entre y ) Hay dos recintos: I [, ] ; II [, ] G() = cos = sen G() = ; G ( ) = ; G() = Área recinto I = G ( ) G() = Área recinto II = G() G() = I II Área total = + = u Calcula el área comprendida entre las curvas: S a) y = e y = b) y = e y = c) y = e y = d) y = e y = e) y = ( + ) ( ) y el eje de abscisas. Unidad 9. Iniciación a las integrales

21 a) ( ) = + = =, = G() = ( + ) = + G( ) = 9; G() = Área = G() G( ) = u b) = = =, = G() = ( ) = G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u c) ( ) = + = + + = =, = G() = ( + + ) = G( ) = ; G() = 9 Área = G() G( ) = u d) ( ) = + = =, = G() = ( + ) = + G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u e) ( + ) ( ) = =, = G() = ( + ) ( ) = ( + ) = = + 7 G( ) = ; G() = Área = G() G( ) =, u Unidad 9. Iniciación a las integrales

22 S Halla el área comprendida entre la curva y = + + y la recta y =. + + = + = =, = G() = ( + ) = + G() = ; G() = Área = G() G() = u 7 S Calcula el área limitada por las siguientes curvas: a) y = + ; y = + ; = ; = b) y = ; y = ; y = c) y = ( ) ( ); y = d) y = ; y = e) y = ; y = f) y = ; y = a) + ( + ) = = =, = G() = ( ) = G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u b) = = =, = = =, = I II III Tenemos tres recintos: I [ ], [ ] ; II [, ; III, ] Para el I y el III hay que considerar: G () = ( ) = G ( ) = ; G ( ) = ; G ( ) = ; G ( ) = Área del recinto I = G ( ) G ( ) = Área del recinto III = G ( ) G ( ) = Para el II hay que considerar: G () = ( + ) = ( + ) = + Unidad 9. Iniciación a las integrales

23 7 G ( ) = ; G ( ) = 7 Área del recinto II = G ( ) G ( ) = 7 7 Área total = + + = = u c) ( ) ( ) = =, =, = Hay dos recintos: I [, ]; II [, ] G() = ( ) ( ) = ( + ) = + G() = ; G() = ; G() = Área del recinto I = G() G() = Área del recinto II = G() G() = Área total = + = u d) = = =, = G() = ( ) = 9 G() = ; G() = 9 Área = G() G() = u e) ( ) = + = =, =, = Hay dos recintos: I [, ]; II [, ] G() = ( + ) = + G( ) = ; G() = ; G() = Área del recinto I = G() G( ) = Área del recinto II = G() G() = Unidad 9. Iniciación a las integrales

24 7 Área total = + = u f ) Por simetría respecto al anterior, el área es la misma: 7 Área total = u Un depósito se vacía de forma variable según la función v (t) =,t (t en min, v en l/min). Calcula lo que se ha vaciado el depósito entre los minutos y. G(t) = (,t) = t,t = t,t G() = ; G() = Área = G() G() = Se han vaciado litros entre los minutos y. 9 Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un S ritmo dado por la siguiente función: m =,t,t + t + siendo m la cantidad de material en kg y t la hora del día. Cuánto material arroja cada día? Consideramos t entre y horas: (,t,t + t + ) =,t [ + t + t],t = 9, = 9, kg Calcula el área limitada por la gráfica de y = +, la tangente a esa curva S en = y el eje de abscisas. Recta tangente en = : y' = + m = y'() = ; y() = Recta y = + ( ) = Hacemos las gráficas para entender mejor la situación: = Unidad 9. Iniciación a las integrales

25 Puntos de corte de y = + con el eje X: + = =, = Punto de corte de y = con el eje X: Área bajo y = + entre y : G () = ( + ) = + G () = ; G () = Área = G () G () = u Área bajo y = entre y : = = G () = ( ) = G ( ) = ; G () = Área = G () G ( ) = + = u El área buscada es: = u Página 9 Dada la curva de ecuación y = +, halla la ecuación de su tangente en el origen y calcula el área de la región que queda encerrada entre la curva y la tangente. Tangente en el origen: y' = + ; m = y'() = ; y() = Recta y = + = = =, = G() = ( ) = G() = ; G() = Unidad 9. Iniciación a las integrales

26 Halla el área de la figura sabiendo que el lado curvo corresponde a la función y = +. Entre y tenemos un triángulo de base y altura : Área = = u Entre y tenemos un triángulo de base y altura : Área = = u Entre y : G() = ( + ) = + G() = ; G() = Área = G() G() = u 7 El área total será: + + = u Dada la función f () =, escribe las ecuaciones de las tangentes a f en los puntos de corte con el eje de abscisas. Halla el área comprendida entre las rectas tangentes y la curva. Puntos de corte con el eje X: = =, = Puntos (, ) y (, ) f'() = ; f'( ) = ; f'() = Recta tangente en = y = ( + ) = + Recta tangente en = y = ( ) = + Hacemos una gráfica para entenderlo mejor: Área del triángulo de vértices (, ), (, ) y (, ): Área = = u Área entre y = y el eje X: Unidad 9. Iniciación a las integrales

27 G() = ( ) = G( ) = ; G() = Área = G() G( ) = u El área total será la diferencia: = u Dada f () = +, halla: a) f b) f c) f d) f G() = ( + ) = + G() = ; G() = ; G( ) = ; G() = a) f = G() G() = + b) f = G() G() = + c) f = G() G( ) = + + d) f = G() G() = = = a) Halla el área limitada por y =, el eje X y las rectas = y =. b) Calcula. a) Definimos la función por intervalos para hacernos una idea de su forma: +, y = =, > El área buscada será: y = + + = [ + ] + [ ] = = ( ) + ( + ) = + 9 = u Unidad 9. Iniciación a las integrales 7

28 b) = + + = [ + ] + [ ] = = ( + ) + ( + ) = + = 7 u Calcula: a) f () y b) siendo: g(), si si f () = g () = si < + si < a) f () = + ( ) G () = = G () G () = = G () = ( ) = G () G () = = Así: f () = + = b) g() = + ( + ) G () = = G () G ( ) = = G () = ( + ) = + G () G () = = Así: g() = 7 Dada la función f (), halla el área limitada por f (), el eje OX y las rectas = y = S : f () = < + + > Para comprendida entre y, tenemos que: f () = + Unidad 9. Iniciación a las integrales

29 Hallamos los puntos de corte con el eje OX: + = ( + ) = = = Por tanto, el área pedida es: Área = [ ] ( + ) = = 9 + = =, u Halla una función f de la cual sabemos que: f '() = + y que f () = G() = ( + ) = + + k son las primitivas de la función dada. Entre todas ellas, nos interesa la que cumple que G() =, es decir: G() = + k = k = Así: f () = + 9 Halla la función primitiva de la función y = que pase por el punto (, ). G() = ( ) = + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que pase por (, ): G() = + k = k = La función que buscamos es: f () = Halla la función que tome el valor en = y cuya derivada es: f '() = + G() = ( + ) = + + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que G() = : G() = 7 + k = k = Por tanto: f () = + Halla la primitiva de f () = que corte al eje de abscisas en =. Unidad 9. Iniciación a las integrales 9

30 G() = ( ) = + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que G() = : G() = + k k = La función que buscamos es: y = + CUESTIONES TEÓRICAS Si F () y G () son dos primitivas de f, se verifica necesariamente que F () = k + G ()? Justifica la respuesta. Sí. Justificación: f = F() + c f = G() + c Restando: = F() G() + (c c ) F() = k + G() Siendo F () = f =, halla la función f. Calcula F () y F (). f () = F'() = F() = ; F() = Calcula el área bajo la curva f () = en el intervalo variable [, ]. Halla el área para =. = =, = Área = (t ) G(t) = (t ) = t t G() = Área [, ] = G() G() = + Cuando =, queda: Área [, ] = u Unidad 9. Iniciación a las integrales

31 Demuestra, utilizando integrales, que el área del rectángulo es A = b a. Y r Halla la ecuación de la recta r y calcula el área limitada por r y el eje OX entre = y = b. La ecuación de r es y = a. El área es: a b X Área = b a G() = a = a G(b) = a b; G() = Área = G(b) G() = a b PARA PROFUNDIZAR Dada la función f () = ae / + ( ): S a) Calcula f () en función de a. b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F() = y F() = /. a) f () = ( ) [ ] ae/ + = ae/ = ( ae/ ) (ae/ ) = = a(e / e / )+ b) Si F es una primitiva de f, tenemos que: F () = ae / + k Tenemos que hallar k y a para que: F () = ae / + k = ae / + k = F () = ae / + k = ae / + k = Restando la - a ecuación menos la - a : a(e / e / ) = a = k = Por tanto: F () = + 7 Epresa por una integral el área del triángulo de vértices (, ), (7, ) y S (7, ). Eplica el significado de la integral escrita. Unidad 9. Iniciación a las integrales

32 La ecuación de la recta que pasa por (, ) y (7, ) es: 7 Pendiente = = = 7 7 Ecuación: y = + La ecuación de la recta que pasa por (, ) y (7, ) es: y =. 7 El área del triángulo es el área comprendida entre las dos rectas anteriores y = 7. Así, tenemos que: Área = 7 [( + ) ] = 7 = Área Calculamos su valor: = 9 u 7 (, ) (7, ) (7, ) Halla el área del triángulo mitilíneo de vértices A(, ), B(, ) y C(, ), S en el que las líneas AB y AC son rectas, mientras que la que une los puntos B y C es la de ecuación y =. B(, ) y = A(, ) y = C(, ) Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y C: Pendiente = = = ( ) Ecuación: y = + ( ) = + Calculamos el área pedida: Área = ( ) + [ ( + )] = [ ] = ( ) ( ) [ ] ( ) = 7 = + + = u Unidad 9. Iniciación a las integrales

33 9 S La curva y = a[ ( ) ], con a >, limita con el eje de abscisas un recinto de unidades de superficie. Calcula el valor de a. Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas: a[ ( ) ] = ( ) = = = = = Calculamos el área e igualamos a : Área = a[ ( ) ] = a[ ] = a[ ( )] + = a ( ) = a[ ] = = a = = 9 a = 9 Unidad 9. Iniciación a las integrales