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1 DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces las derivadas laterales existen y son iguales. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a y vale lo mismo. 2.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La derivada de una función y = f ( en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( en el punto x = a. f ( a = m 3.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Si f( es derivable en x = a, entonces f( es continua en dicho punto. El recíproco no es cierto. 4.- OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVABLES a Derivada del producto de un número real por una función.- ( a f ( = a f ( b Derivada de la suma o diferencia de funciones.- c Derivada del producto de funciones.- d Derivada del cociente de funciones.- ( f ( ± g( = f ( ± g ( ( f ( = f ( + f ( g ( f ( f ( f ( g ( = g( ( g( 2 (siempre que g ( 0 e Derivada de las funciones compuestas.-

2 (( f o g ( = f ( g( g ( Esta fórmula recibe el nombre de Regla de la cadena. f Derivada de la función recíproca.- Recordando: dos funciones f( y g( son recíprocas si ( f g ( = ( g o f ( = x y en este caso, a g( se le llama f 1 ( x. 1 ( f 1 = f ( f ( ( 1 o ; 5.-REGLA DE L`HÔPITAL. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS La regla de L`Hôpital se utiliza para calcular los distintos tipos de indeterminaciones que aparecen al calcular límites. 0 f ( f ( a Indeterminación del tipo, : lím = lím 0 x a g( x a g ( b Las indeterminaciones del tipo y 0 se le pueden aplicar la regla de L`Hôpital transformándolas previamente para que queden de la forma a 6.- MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.- Una función y = f ( es estrictamente creciente (estrictamente decreciente si a medida que aumenta la variable x aumenta (disminuye y. A las funciones crecientes o decrecientes se le llaman funciones monótonas. Generalmente, las funciones no son monótonas en todo su dominio, sólo lo son a trozos, es decir, por intervalos. Si f ( > 0 f ( es creciente Si f ( < 0 f ( es decreciente Si f ( = 0 f ( es constante Para estudiar la monotonía de una función hallamos f ( y estudiamos su signo. Para ello, resolvemos la ecuación f ( = 0 y una vez halladas las soluciones, estudiamos el signo de f ( en cada intervalo determinado por las soluciones MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Los puntos en los que la función pasa de creciente a decreciente (de decreciente a creciente reciben el nombre de máximos relativos (mínimos relativos. En general, se llaman extremos relativos.

3 Extremos absolutos: x = a es un máximo absoluto (mínimo absoluto de la función y = f ( si para todo x D f se cumple que f ( < f ( a ( f ( > f ( a. A los máximos y mínimos absolutos se le llaman extremos absolutos. (no tienen por qué existir. Nota: El extremo se alcanza en x = a y vale f(a Cómo hallamos los extremos de una función y = f (? Hallamos la derivada de la función e igualamos a cero, es decir, resolvemos la ecuación f ( = 0. Las soluciones de la ecuación son los posibles extremos de la función (puntos críticos. Cómo sabremos si realmente son extremos o no? Para ello, podemos utilizar dos criterios: Criterio 1 Estudiando el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de los posibles extremos. Si a la izquierda es positiva (negativa y a la derecha es negativa (positiva se trata de un máximo (mínimo. Si a la izquierda y a la derecha tiene el mismo signo, entonces no es un extremo. Criterio 2 Utilizando la segunda derivada. Si x = a es un posible extremo, lo sustituimos en la segunda derivada de f ( y si: f ( a < 0 entonces hay un máximo en x = a f ( a > 0 entonces hay un mínimo en x = a f ( a = 0 entonces no podemos asegurar nada. Utilizamos el criterio 1 o bien, seguimos derivando hasta encontrar una que salga distinto de cero: f n ( a 0 Si n es par y sale f n ( a < 0 ( f n ( a > 0 entonces x = a es un máximo (mínimo Si n es impar, x = a no es extremo. Si f n ( a < 0 ( f n ( a > 0 decreciente (creciente en x = a., la función es Nota:- Aparte de hacer todo esto, tendríamos que estudiar por separado los puntos en los cuales la función no es derivable PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.- El cálculo de máximos y mínimos permite resolver problemas en los que se trata de optimizar una función, por ejemplo, minimizar los costes de producción, buscar la forma adecuada del envase de un producto, etc,... Los pasos para resolver estos problemas son:

4 a Se hace un esquema con los datos y las variables (incógnitas. Si hay más de una incógnita, se expresan todas en función de una sola. b Se plantea y se escribe la función que hay que optimizar. c Se hallan los extremos de la función. (Para ello, hacemos la derivada de la función e igualamos a cero; salen los posibles extremos. Con la derivada segunda obtenemos cuáles son máximos y cuáles son mínimos. d Se interpretan los resultados obtenidos, rechazando aquellos que por la naturaleza del problema no sean posibles. 7.- CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN Teorema Si f ( > 0 ( ( < 0 convexa (cóncava en dicho intervalo. f en un intervalo ( b a, entonces la función f ( es Pasos para hallar los intervalos de curvatura. Hallamos f (x y estudiamos su signo. Para ello, resolvemos la ecuación f ( = 0 y una vez halladas las soluciones, estudiamos el signo de f (x en cada intervalo determinado por las soluciones. Por último, aplicamos el teorema. Un punto x = a es un punto de inflexión de la función f ( si en dicho punto la función cambia de curvatura (convexa a cóncava o viceversa. Los puntos de inflexión se caracterizan por la siguiente propiedad: Si x = a es un punto de inflexión entonces f ( a = 0 Cómo hallamos los puntos de inflexión de una función y = f (? Hallamos la derivada segunda de la función e igualamos a cero, es decir, resolvemos la ecuación f ( = 0. Las soluciones de la ecuación son los posibles puntos de inflexión de la función. Cómo sabremos si realmente son puntos de inflexión o no? Para ello, podemos utilizar dos criterios: Criterio 1. Estudiando el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha de los posibles puntos de inflexión. Si a la izquierda es positiva (negativa y a la derecha es negativa (positiva se trata de un punto de inflexión convexo-cóncavo (punto de inflexión cóncavo-convexo. Si a la izquierda y a la derecha tiene el mismo signo, entonces no es un punto de inflexión

5 Criterio 2. Utilizando la tercera derivada. Si x = a es un posible punto de inflexión, lo sustituimos en la tercera derivada de f ( y si: f ( a < 0 entonces hay un punto de inflexión convexo-cóncavo en x = a f ( a > 0 entonces hay un punto de inflexión cóncavo-convexo en x = a f ( a = 0 entonces no podemos asegurar nada. Utilizamos el criterio 1 o bien, seguimos derivando hasta encontrar una que salga distinto de cero: f n ( a 0 Si n es par y sale f n ( a < 0 ( f n ( a > 0 entonces f ( es cóncava (convexa en x =a. Si n es impar, x = a es un punto de inflexión. Si f n ( a < 0 ( f n ( a > 0, es un punto de inflexión convexo-cóncavo (cóncavo-convexo. Nota:-Aparte de hacer todo esto, tendríamos que estudiar por separado los puntos en los cuales, no es derivable. 8.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Los pasos a seguir para representar una función y = f (, son los siguientes: 1 Dominio y Recorrido de la función 2 Puntos de corte con los ejes de coordenadas 3 Simetrías 4 Periodicidad 5 Asíntotas 6 Intervalos de monotonía. Extremos 7 Intervalos de curvatura. Puntos de inflexión 8 Tabla de valores

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