Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x

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1 Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan las imágenes, cuando aumentan o disminuyen los valores del dominio. Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x, tales que x, se cumple que f x ) f ( ). ( x, x x Una función g, definida en un intervalo determinado, es decreciente en este intervalo, si para todo par x y x tales que x, se cumple que x g g. x CRITERIO DE CRECIMIENTO DE UNA FUNCION: En la gráfica de la izquierda se observa que: la función es creciente entre a y b la función es decreciente entre b y c la función es creciente entre c y d La derivada de una función nos proporciona un criterio certero y fácil de utilizar, para determinar en qué intervalos una función es creciente y en qué intervalos es decreciente: f Si la pendiente de la tangente a la curva en un punto c, es positiva ( ), entonces la función es creciente en dicho punto. Si la pendiente de la tangente es negativa ( f ) entonces la función es decreciente. Si la pendiente de la recta tangente es igual a cero ( f ), la función no crece ni decrece. Función creciente, pendiente positiva Función decreciente, pendiente negativa

2 Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA PUNTOS CRÍTICOS: Un punto x se denomina punto crítico de la curva f, si la pendiente de la recta tangente a la curva en ese x es un punto crítico si f punto es igual a cero. En otras palabras: EJEMPLOS: Determinar los intervalos en los que son crecientes o decrecientes cada una de las siguientes funciones: a) x b) 5x a) Para determinar los intervalos en los cuales la función, crece o decrece, procedemos de la siguiente manera: Derivamos la función e igualamos a cero para determinar los puntos críticos f o sea x, entonces x 5 Luego, x=5 es un punto crítico de la función Finalmente crecimiento. damos valores de prueba antes y después del punto crítico, para aplicar el criterio de Intervalos 5 5 Valor de Prueba 4 6 Signo de 4) f 5) f f Comportamiento de f decreciente creciente x es decreciente en el intervalo (,5) O sea que ( 5, ), lo que se puede corroborar el siguiente gráfica: y creciente en el intervalo

3 Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA b) Derivamos e igualamos a cero f =, entonces x Luego, x= es un punto crítico de la función Finalmente damos valores de prueba antes y después del punto crítico, para aplicar el criterio de crecimiento. Intervalos Valor de Prueba - Signo de ) f ) O sea que (, ) x f f Comportamiento de f creciente creciente f es creciente en el intervalo ( x, o sea en todo el dominio de la funciónlo que se puede corroborar en la gráfica: Derivamos e igualamos a cero entonces f x =, x ; x ( x ) o sea x o x Luego, x= y x= son puntos críticos de la función Finalmente damos valores de prueba antes y después de los puntos críticos, para aplicar el criterio de crecimiento. Intervalos Valor de Prueba - / Signo de ) 6 / ) ( /8) f ) 6 f f f Comportamiento de f creciente decreciente creciente (, (, (, O sea que es: creciente en el intervalo ) ; decreciente en el intervalo ) y creciente en el intervalo ) lo que se puede corroborar en la gráfica:

4 Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN Otro aspecto que determina la gráfica de una función es su concavidad. A pesar de que una función sea creciente, la manera en que crece puede variar. Observa las gráficas: A la curvatura de una gráfica se le denomina concavidad. Si en un intervalo dado, la tangente a la curva está simpre por encima de la función, la gráfica es cóncava hacia abajo. Si la tangente está por debajo de la curva, la gráfica es cóncava hacia arriba. El criterio para determinar la clase de concavidad de la gráfica de una función, nos lo ofrece la segunda derivada: Si la segunda derivada de una función es positiva ( ), la curva es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada de una función es negativa ( f '' ), la curva es cóncava hacia abajo. Si la segunda derivada de una función es igual a cero( f '' ), no se puede decidir acerca de la concavidad. f '' PUNTOS DE INFLEXIÓN Ya sabemos determinar cuándo una función es cóncava hacia arriba y cuándo es cóncava hacia abajo. Cómo podemos precisar en qué momento pasa de un tipo de concavidad a otra? El punto donde una función cambia la forma de la concavidad de denomina punto de inflexión. En general, x es un punto de inflexión de f si f " cambia de signo de un lado a otro de este punto. Si un punto x es un pundo de inflexión de la curva correspondiente a x que cumple f x, debe cumplirse que " x f. No precisamente todo f " x es punto de inflexión, pero este dato nos presenta las posibles candidatos a puntos de inflexión. 4

5 Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA MÁXIMOS Y MÍNIMOS Un punto crítico x puede ser un punto de inflexión, un máximo o un mínimo. Si es un punto de inflexión, ya sabemos reconocerlo. Veamos cuando un punto crítico es un mínimo o un máximo. Para determinar si un punto es máximo o mínimo aplicamos el criterio de la segunda derivada Criterio de la segunda derivada: Sea f una función tal que f y cuya segunda derivada exixte en un intervalo abieto que contiene a c. Si f ' entonces f ( es un mínimo relativo (o también se dice la función tiene un mínimo en c ) f ' entonces f ( es un máximo relativo (o también se dice la función tiene un máximo en c ). Si 5