Cálculo 1 _Comisión 1 Año Extremos absolutos

Transcripción

1 Extremos absolutos Def: f ( es un máximo absoluto de f x Df: f( f( Def: f ( es un mínimo absoluto de f x Df: f( f( Procedimiento: 1) hallar los puntos críticos de f 2) Evaluar esos puntos en la función 3) Ordenar los valores obtenidos: 4) el menor valor corresponde al mínimo absoluto y el mayor valor al máximo absoluto de f (con excepción de funciones que tiendan a ± cuando la variable tiende a ± o cuando existen asíntotas verticales). En caso de que el dominio sea un intervalo abierto (a;b), los extremos x=a y x=b no corresponden a puntos críticos, por lo tanto no puede en ellos la función tener extremos absolutos. Ejemplo 1: a) encontrar los extremos absolutos de la función f( = 2x 3-3x 2-12x+5, definida en [-1; ). Solución: f tiene puntos críticos en x1 = -1 y x2 = 2. Se calculan f(-1) y f(2): f(-1) = 12, f(2) = -15. Además: Como lím f (. Entonces -15 corresponde al mínimo absoluto de f, cuando x = 2, pero f no posee máximo absoluto. b) Encontrar los extremos absolutos de la función f( = 2x 3-3x 2-12x+5, definida en [-2; 3]. Solución: f tiene puntos críticos en x1 = -1, x2 = 2, x3 = -2 y x4 = 3. Se calculan: f(-1) = 12, f(2)= -15, f(-2)= 1, f(3)= -4, ordenando: -15; -4; 1; 12 Entonces, la función tiene en x= 2 un mínimo absoluto y en x=-1 un máximo absoluto. Se advierte que en x=-1 también la función posee un máximo relativo ( f ( 1) 12( 1) 618 ) y lo mismo ocurre en x = 2, la función tiene un mínimo relativo. Encontrar los extremos absolutos de la función f( = 2x 3-3x 2-12x+5, definida en [-2; 2]. Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 2º PARTE 1

2 Los puntos críticos están en x1 = -1, x2 = 2 y x3 = -2 y los valores de f ordenados son: -15; 1 ; 12. En este caso, en x = 2 la función tiene un mínimo absoluto, pero no es relativo! Ejemplo 2: la función y = sen x, con dominio en R. Solución: obtenemos los puntos críticos de f :, ésta función se anula para 2n 1 x, n Z. Cuando n es par, para ese valor de x la función tiene imagen 1 y 2 cuando n es impar, para ese valor de x la función tiene imagen -1. Podemos decir que 1 es máximo absoluto y -1 es el mínimo absoluto de la función, aunque estos valores se repiten para infinitos valores de la variable independiente. Concavidad de una curva Def.: La curva de una función derivable f es cóncava hacia arriba en c sí y solo si existe un entorno reducido de c, donde las imágenes de f sean mayores que los valores de la recta tangente a la curva en c. En símbolos: f es cóncava hacia arriba en c E' (c )/ x E' (c ): f( > T( Def.: La curva de una función derivable f es cóncava hacia abajo en c sí y solo si existe un entorno reducido de c, donde las imágenes de f sean menores que los valores de la recta tangente a la curva en c. En símbolos: f es cóncava hacia abajo en c E' (c )/ x E' (c ): f( < T( Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 2º PARTE 2

3 Si la función es lineal, no tiene ningún tipo de concavidad porqué? Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta T es: T( = f' (c )(x- + f(c ), se tiene: Relación de la concavidad con el incremento y diferencial de f Si f es cóncava hacia arriba en c, entonces: f( > T(, o sea: f( > f' (c )(x- + f(c ), reorganizando la expresión, queda: f( - f(c )> f' (c )(x-, el primer miembro es el incremento de f y el segundo miembro el diferencial de f, entonces: Δf > df. De igual modo, si f es cóncava hacia abajo en c, resulta que : Δf < df. Concavidad en un intervalo Una función es cóncava hacia arriba en (a;b) es cóncava hacia arriba en todo punto del intervalo Una función es cóncava hacia abajo en (a;b) es cóncava hacia abajo en todo punto del intervalo También se puede relacionar la concavidad de f con el crecimiento de f': Def.: 1) Si f' es creciente en (a;b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a;b) 2) Si f' es decreciente en (a;b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a;b) Teorema a) Si una función admite derivada segunda en un punto c, y ésta es positiva, entonces la gráfica f es cóncava hacia arriba en c. b) Si una función admite derivada segunda en un punto c, y ésta es negativa, entonces la gráfica f es cóncava hacia abajo en c. Demostración: Como existe f'' ( y además es positiva, por definición de derivada segunda en c, se tiene: f ( f ( lím 0, por propiedad de límites: f ( f ( 0, para ello: si x-c < 0, f' (x ) < f' (c ) o bien, si x-c>0 es f' (x ) > f' (c ); se está cumpliendo la definición de una función creciente en c, es decir la primera derivada de f es creciente en c, y por definición, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en c, con esto se demuestra el teorema. Para el ítem b) la demostración es similar. Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 2º PARTE 3

4 Se puede extender la aplicación del teorema a un intervalo, donde el signo de la derivada se tiene en cuenta para decidir la concavidad de la curva en ese intervalo. Ejemplo 3: Sea la función del ejemplo 1. Si es posible, encontrar los intervalos donde la curva de f es cóncava hacia arriba y hacia abajo. Solución: f( = 2x 3-3x 2-12x+5, f' (= 6x 2-6x-12 y f'' (= 12x-6, Para determinar los intervalos, hacemos: a) 12x -6 > 0 12x > 6 x > 0,5 b) 12x -6 < 0 12x < 6 x < 0,5 Por lo tanto, la curva de f es cóncava hacia abajo en (-1; 0,5) y es cóncava hacia arriba en (0,5; + ). Punto de inflexión En x = c perteneciente al dominio de f hay un punto de inflexión cuando en el entorno de c la gráfica de f cambia de concavidad. Def.: En x = c la función posee un punto de inflexión si y solo si la derivada segunda de f es nula o bien la derivada segunda no existe. En símbolos: es punto crítico de f f ( o f (. ( c; f ( ) Para confirmar la existencia de puntos de inflexión en el gráfico de una función, se tienen en cuenta los siguientes criterios: Criterio del signo de la derivada segunda Si f ( o f ( y x E' (c ): x < c, f'' (x ) < 0 y x > c, f'' (x ) > 0, entonces en x = c hay un punto de inflexión. Es decir, como el signo de f'' se asocia a la concavidad, se verifica un cambio en c: de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Criterio de la derivada tercera Si f'' (c ) = 0 y existe f''' (c ) y es distinta de cero, entonces en c hay punto de inflexión. Demostración: Como existe f''' (, se puede considerar que es positiva, por definición de derivada tercera en c, se tiene: f ( lím 0, por propiedad de límites: 0, por hipótesis f'' (c ) = 0, tenemos: 0, para ello: si x-c < 0, f'' (x ) < 0 o bien, si x-c >0, es f''(x ) >0; por el criterio anterior, la gráfica de f tiene un punto de inflexión en c. A conclusión similar se llegaría si se parte de considerar f''' (c )< 0. Ejemplo 4: hallar si es posible el punto de inflexión en el intervalo (0; función y = sen x. 2 ) de la Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 2º PARTE 4

5 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 2016 Solución: se hallan las derivadas primera y segunda: y' ( = cos x, y'' ( = - sen x. La derivada segunda se anula en. Luego se evalúa en la derivada tercera: y''' ( = - cos x, y''' ( ) = - cos corresponde a un punto de inflexión. Ejercicio: Analizar la función x 5 3 = 1, es distinto de cero, por lo tanto 2 3 g( x 3 x. Solución: El dominio de g: Por tener el exponente denominador impar, existe imagen para cualquier x real, por lo tanto Dg. 5 x 6 Puntos críticos: la expresión de la derivada es: g (. Luego, los puntos x críticos son x1 = 6/5 y x2 = 0. Extremos relativos: Para analizar en x1, se halla la derivada segunda: 15 x g ( 1 3 (5x 6) x 9 x , luego g'' (6/5) > 0, corresponde a un mínimo local. Para analizar en x2, no se puede utilizar éste método ( g (0) ), entonces se toma un entorno y se analiza el signo de g' : g' (-1) >0 y g' (1) <0, por lo tanto en x = 0 existe un máximo local. Intervalos de crecimiento: f crece en ( ; 0) y (6 5; ), f decrece en. (0;6 5 Extremos absolutos: En los puntos críticos, la función alcanza extremos relativos, pero y, por ello f no tiene extremos absolutos. lím f ( lím f ( 10x 6 Puntos de inflexión: la derivada segunda g (, se anula para x = -0,6, y x se comprueba que g (,6), entonces g tiene punto de inflexión en ese punto. En x = 0 la derivada segunda no existe, podria ser punto de inflexión, pero ya se mostró que tiene un máximo relativo en dicho punto. Intervalos de concavidad: cóncava hacia abajo en ( ;,6) y cóncava hacia arriba en ( 0,6; ). Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 2º PARTE 5