OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis

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1 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 9--4 Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de prisma rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m, su altura m y el coste de su construcción por m es de 5 para la base; 6 para la tapa y 4 para cada pared lateral. Cuál será dicho coste? b) Calcular las asíntotas de la función f () Ln y realizar un esbozo de su gráfica a) Llamando e y a las dimensiones de la base, la función a minimizar es el coste, que si atendemos a los datos será: C, y 5() y base 6() 8 y8() tapa y caras laterales C, y y 8 8y 9 Como el volumen es 9, y 9 y 7 Y sustituyendo en la función: C() Calculamos su mínimo: C '() 8, y al igualar a obtenemos: (el valor negativo no tiene sentido) 44 Comprobamos que es un mínimo: C ''() C''() Por lo que efectivamente se trata de un mínimo y por tanto las dimensiones de la base de dicho prisma deben ser m, y el coste total será de C(,) 47 euros b) Ln f () D, Asíntotas Verticales: Ln lim() f lim, luego tiene una asíntota vertical hacia arriba en = - Ln lim() f lim ' L Hopitalim, luego en el no tiene asíntota vertical. Asíntotas horizontales: Ln lim() f lim ' L Hopital lim, luego tiene una asíntota horizontal por la derecha en y = Estudiamos su posición respecto a la asíntota horizontal:

2 Ln f () la función está por encima de la asíntota Además, como Ln( ) D, no tiene puntos de corte con dicha asíntota. Gráficamente, la función será: e a b a) Calcular razonadamente los valores de a y b para que sea derivable.- Dada la función f( ) b) Para a = - y b =, estudiar su monotonía y etremos y calcular a) Como D, el único punto donde puede no ser continua o derivable es en =. Para que sea continua: f () b lim() lim f e b lim() f lim a b b Calculamos su función derivada para ver si es derivable en : f '( ) e a Para que sea derivable: f '() lim f'() lim e o o a f '() lim f'() lim a a o o Luego para que la función sea derivable tiene que ser a = - y b = f( )d b) Como los valores de a y b coinciden con los del apartado anterior, la función es derivable y su derivada es: e f( ) e f '( ) Calculamos los puntos críticos: ( ) e, que no sirve por no estar en ese trozo de definición de la función Atendiendo al dominio y a los puntos críticos, los intervalos de monotonía serán:

3 , f '() f es decreciente, f '() f es creciente Y por tanto tendrá un mínimo (absoluto) en el punto (,) Para calcular la integral: f( )d e d d Calculamos cada una por separado: u du d e d () e e d dv e d v e Y por tanto: e e d e e e Por otra parte: e d e e d Luego f( )d e.- Calcula las integrales: e a)) d b d e a) Por sustitución: e t e t d dt d dt e e Luego: e e t t d () dt dt dividiendo dt dt e t e t t t Ln t e Ln e C b) Descomponiendo: ( ) A B C Lugo A B C A, B, C Y por tanto d d d d Ln Ln ( ) De donde: d Ln Ln Ln

4 4.- Sean las funciones f :, g : definidas por f () 4,() g a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas. a) Como 4 f () 4 4 Calculamos los puntos de corte: 4 4, 4 4 4, 4 De los que sólo sirven el = y el = - b) Claramente el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, luego basta calcular el área comprendida entre y y multiplicarla por dos: A 4 d De donde A A u OPCIÓN B.- Dada la función ( ) 4 f ( ) a( ) 4a a) Calcula el valor de a para que sea derivable b) Para a =, representa la región del plano delimitada por la gráfica de f y el eje de abscisas y calcula el área de dicha región a) Como D, el único punto donde puede no ser continua o derivable es en =. Para que sea continua: f () b lim() f lim( ) 4 es continua lim() f lim( ) a 4 a Calculamos su función derivada para ver si es derivable en :

5 f '( ) a Para que sea derivable: f '() lim f'() lim 4 o o a f '() lim f'() lim a 4 a o o Luego para que la función sea derivable tiene que ser a = b) Para a = la función es: ( ) 4 4 f () ( ) 4 4 A la vista de la gráfica el recinto es simétrico respecto al eje Y y por tanto el área será: 4 A () f d Calculamos la integral: f () d 4 d 4 Luego el área será 64 A u.- Determina la función f : coordenadas. tal que f '() e y su gráfica pasa por el origen de Calcula además la ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa = - Se trata de calcular la integral definida de la función e imponer que pase por el (,). Hacemos la integral por partes: u du d f f ' d e d e e d dv e d v e e ( e e) C Si tiene que pasar por el origen: Luego la función pedida es: f ()( e ) f C C Para calcular su recta tangente en = -, necesitamos, ' Y sustituyendo en la ecuación la recta tangente será: y f ( ) f '( )( ) y e e y e e f e f e

6 .- a) De una función continua g se sabe que g()= y que g()= Calcular g '() g'() g g d d d () g g '(),, b) Dada la función t F( ) dt 6 t 4t 4 Calcular razonadamente F(), F() y F (). a) Por la regla de Barrow y siguiendo las reglas de integrales inmediatas: g g '() () g g '() g g g g g '() d d Ln () g () Ln g () Ln g Ln d arctg(())(())(()) g arctg g arctg g 4 b) t F() dt 6 t 4t 4 6 t F() 6 t 4t 4 dt Calculamos primero la integral indefinida (es una integral racional): t A B t 4t 4 t t 4t 4 t t t ( A) t B Y dándole dos valores a t (el - y el ) se obtiene fácilmente A=, B=-. Y por tanto: t dt dt dt Ln t t 4t 4 t t t Y por tanto t F() dt Ln t 6 t 4t 4 6 Ln Ln Ln Ln Ln 6 6 6

7 Para calcular F () usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Para poder aplicar dicho teorema es necesario que la función de dentro de la integral sea continua en el intervalo, que es donde está definida la función F() t f t t t t t 4t 4 () 4 4 Como no está en ese intervalo, la función f(t) es continua en, Teorema a la función F(). y por tanto podemos aplicar el F '()() f 4 4 (la derivada de 6 es ) Luego F '() Dada la función f () e a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta de ecuación =. Haz un esbozo gráfico de dicha región a) Calculamos f()= y la derivada: f ' e f ' Y sustituyendo en la ecuación la recta tangente será: y f () f '() y y b) Representamos el recinto (se trata de una función elemental y debemos saber la pinta que tiene) El área del recinto rallado será: A f yd e d 9 e 6 e 6 u '9u e