Opción A. teorema se puede aplicar también si sale /, y cuando x. Como. , la recta x = 0 es una A.V. de la función f.

Transcripción

1 Opción A 1 Ejercicio 1. [ 5 puntos] Sea f la función definida, para 0, por f e. Determina las asíntotas de la gráfica de f. La recta = a es una asíntota vertical (A.V.) de la función f si lim f Veamos si = 0 es A.V lim f lim e 0, epresión que podemos poner en la forma 0/0 ó / y le podremos aplicar la regla de L Hopital (L H) que dice " si f() y g() son funciones continuas y derivables ' f 0 f f f ' en un entorno de "a", lim y eiste lim, entonces lim lim ". El a ' g 0 a g a g a g ' teorema se puede aplicar también si sale /, y cuando Como a, la recta = 0 es una A.V. de la función f. Veamos el límite a la izquierda del 0 La recta y = k es una asíntota horizontal (A.H.) de la función f si lim f Lo estudiamos en + y en - a k La función no tiene asíntotas horizontales. La recta y = m+n es una asíntota oblícua (A.O.) de la función f si, donde y Lo estudiamos en + y en -. En +.

2 La recta y = +1 es una A.O. de la función f en +. Como la A.O. En -, la función está por encima de La recta y = +1 es una A.O. de la función f en -. Como debajo de la A.O., la función está por Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula d 1 Es la integral de una función racional. Calculamos primero una primitiva. = ALn + BLn -1 +C(-1) -+1 /(-+1) + K= ALn + BLn -1 -C/(-1) + K Calculamos las constantes A, B y C

3 Igualamos numeradores 1 = A(-1) + B(-1) + C Para = 0, 1 = A Para = 1, 1 = C Para =, 1 = 1(1) + B() + 1.; de donde B = -1. por tanto una primitiva es I = 1Ln - 1Ln -1-1/(-1) + C Ejercicio 3. [ 5 puntos] De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Es un problema de optimización, Función a optimizar d y Relación + y = 8, de donde + y =. Despejando y = Nuestra función es. Le aplicamos la técnica de máimos y mínimos (Si d (a) = 0 y d (a) > 0, = a es un mínimo) De d () = 0 tenemos = 0, de donde =, que será el posible mínimo., por tanto = es un mínimo.

4 El rectángulo tiene de dimensiones = e y = =, es decir es un cuadrado de lado. Ejercicio. Sea f : R R la función definida por f() = e - (a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación y = -e es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = -1/. La recta tangente a a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1/ es y f( 1/) = f ( 1/)( + 1/). Tenemos que ver que es y = -e f() = e, de donde f(-1/) = e 1 = e f () = e - (-), de donde f (-1/) = e 1 (-) = -e La recta tangente es y e = e( + 1/) = e e, de donde y = e como me habían dicho ln ln( ) ln 1 3 (b) [1 5 puntos I ln d d ln d Por partes (1) ln u du d 3 dv d v Entonces ln( ) 1 u ln du d 3 dv d v ln ln I C ln ln 3 d d

5 Opción B Ejercicio 1. [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f() = ( + 1)/(e ), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. Los puntos de infleión verifican que f () = 0, después tendremos que estudiar el signo de la ª derivada a izquierda y derecha de ellos. Si cambia el signo, sí es punto de infleión. f() = ( + 1)/(e ), f () = [e e ( + 1)]/(e ) = ( )/e, f () = [ e (-)e ] /(e ) = ( 1)/e, De f () = 0, tenemos ( - 1)/e = 0, de donde = 1 (posible punto de infleión) Como f (0) = 1/e 0 < 0 y f () = 1/e > 0, = 1 es punto de infleión. La recta tangente en = 1 es y f(1) = f (1)( 1) f() = ( + 1)/(e ), de donde f(1) = /e f () = ( )/e, de donde f (1) = 1/e La recta tangente es y (/e) = ( 1/e)( 1) Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula ln1 d Por partes I d d ln 1 ln 1 = 1 d u ln 1 du 1 Hacemos la división de dv d v 1 d 1d d ln Entonces: ln 1 ln I 1 C por Ruffini C() = 1 y R = 1 1 Ejercicio 3. Sea f : [0, π] R la función definida por f()= e (sen + cos ). (a) [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b) [1 5 puntos] Calcula los puntos de infleión de la gráfica de f. f()= e (sen + cos ). (a) Estudiamos el signo de f () es el intervalo [0, π] f ()= e (sen + cos ) + e (cos - sen ) = e (cos()) = e (cos()) De f () = 0, obtenemos cos() = 0, porque la eponencial no se anula nunca. Las soluciones de cos() = 0 en [0, π] son = π/ y = 3π/. Como f (π/ ) = eπ / cos(π /) 3 1 > 0, f() estrictamente creciente en (0, π/) Como f (π ) = eπ cos(π ) -6 8 < 0, f() estrictamente decreciente en (π/, 3π/) Como f (π - π /6 ) = f (11π /6 ) = e 11π /6 cos(11π /6) 59 3 > 0, f() estrictamente creciente en (3π /, π )

6 Por definición = π/ es un máimo relativo y = 3π/ es un mínimo relativo (b) Para ver los puntos de infleión calculamos las soluciones de f () = 0, y vemos que f () cambia de signo a izquierda y derecha de ellos. f()= e (sen + cos ). f ()= e (cos()) f ()= e (cos()) + e (-sen()) = e (cos() sen()) De f () = 0, tenemos cos() sen() = 0, es decir sen() = cos(). En el intervalo [0, π] esto es cierto en = π/ y =π+π/=π /, que serán los posibles puntos de infleión. Como f (π /6) > 0 y f (π /) < 0, = π / es punto de infleión. Como f (π/) < 0 y f (π + π /3) > 0, = π + π / es punto de infleión. d Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula 1 cos t tan t 1 t dt hacemos los cambios sin ; cos ; d 1 sec t 1 t 1 t 1 dt d d dt dt t tg C 1 cos 1 t t 1 1 t 1