Para calcular las asíntotas, empezaremos por las verticales, precisamente en ese punto donde no está definida la función.

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Hugo Julián García Rivero
hace 5 años
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1 1.- Dada la función: f(x) = x + 1 a) Calculad el dominio de f(x). Encontrar también sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Encontrad la recta tangente a f(x) en el punto x= 0. c) Calculad el área encerrada por f(x) con el eje abscisas y las rectas x=4 y x=5. a) Al tratarse del cociente de dos polinomios (que existen y son derivables en todo R) nuestro único problema es en los puntos donde se anula el denominador, es decir, aquellos que cumplen: Por lo tanto el dominio será: = 0 x = 3 D = R {3} Para calcular las asíntotas, empezaremos por las verticales, precisamente en ese punto donde no está definida la función x + 1 lim f(x) = lim = 10 = 0 x + 1 lim f(x) = lim = 10 = + 0 Por lo tanto, tenemos una asíntota vertical en x=3. Calculemos ahora las asíntotas horizontales: x + 1 lim f(x) = lim = Para resolver esta indeterminación podemos aplicar L Hôpital o podemos comparar infinitos. El caso es que nos dará infinito de las dos maneras.. En el otro extremo tenemos que: lim f(x) = lim x + 1 = = Por lo tanto, no tiene asíntotas horizontales. Veamos las oblicuas: f(x) m = lim x = lim x + 1 () x = lim x + 1 x 3x = Si comparamos infinitos, vemos que ambos son del mismo grado, por lo tanto hemos de hacer el cociente de los coeficientes de mayor grado, es decir: m = lim x + 1 x 3x = 1 1 = 1

2 Por lo tanto, sí que hay asíntota oblicua. Vamos a ver cuánto vale b: b = lim [f(x) m x] = lim x x = lim x = lim x + 1 x + 3x Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es y = x + 3. b) Para encontrar la recta pedida aplicamos la fórmula: Por lo tanto, como que x 0=0, hacemos: y f(x ) = f (x ) (x x ) f(x ) = = 1 3 = 1 3 x () = lim 3x + 1 = = 3 1 = 3 f (x) = x () (x + 1) 1 () = x 6x x 1 () = x 6x 1 () Por lo que la ecuación de la recta pedida será: f (0) = (0 3) = 1 9 y 1 = (x 0) y = x 9 y = x c) Ahora nos piden el área encerrada por f(x), el eje de abscisas y las rectas x=4 y x=5. De entrada, lo primero es calcular una primitiva de f(x) y, para eso, lo que hay que hacer es dividir los polinomios (ya que el numerador tiene grado mayor que el denominador). Lo hacemos por Ruffini Por lo tanto, podemos escribir que: x + 1 = () (x + 3) + 10 Por lo tanto, para calcular la primitiva hemos de hacer: x + 1 = x F(x) = x dx dx = x dx = (x + 3) dx + 10 = x Ahora ya podemos calcular el área: + 3x + 10 ln

3 S = f(x) dx = F(x) = F(5) F(4).- Sean las funciones f(x) y g(x) siguientes: = ln ln 4 3 = 7, ln ( ln 1) = 34,43 0 = 14,43 u f(x) = ln x x y g(x) = ln x x a) Encontrad el dominio de f(x). b) Dad la primitiva de f(x) para la que se cumple que F(e)=0. c) Encontrad los puntos críticos y dad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de g(x). a) Como que en el numerador hay un logaritmo, la función sólo existirá en x>0. Como en el denominador hay una x, la función no existirá en x=0. Por lo tanto, el dominio de la función será: D = (0, + ) b) Lo primero es calcular la primitiva general. Hemos de hacer: ln x 1 F(x) = dx = ln x x x dx Y lo he puesto así porque, al resolverla por cambio de variable, queda todo bastante claro. Hacemos: Por lo tanto tenemos que: t = ln x dt = 1 x dx ln x 1 F(x) = dx = ln x x x dx = t dt = t (ln x) + C = + C Y ahora ya podemos especificar qué valor ha de tener C (ln e) 0 = F(e) = + C = 1 + C C = 1 (ln x) F(x) = 1 c) Como nos piden puntos críticos e intervalos de crecimiento, hemos de calcular g (x): g (x) = 1 x x ln x x x (1 ln x) 1 ln x (x ) = x = x Para hallar los puntos críticos igualamos a 0 y tenemos que: 0 = 1 ln x x 0 = 1 ln x ln x = 1 x = e = e Tenemos un único punto crítico que vale x=1, Vamos a ver el signo de la derivada a ambos lados, por ejemplo en x=1 y en x=.

4 f (1) = 1 ln 1 1 = 1 0 = 1 > 0 creciente 1 f () = 1 ln = 1 0, = 0, < 0 decreciente 8 Como g(x) tiene el mismo dominio que f(x) (y por los mismos motivos), los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: Por lo que tenemos un máximo en e. 0, es creciente e, es decreciente 3.- Tenemos un prisma con anchura, longitud y altura. Llamamos h a la altura. Definimos x = longitud anchura. Y sabemos que la longitud más la anchura es diez veces la altura. a) Justifica que V = x h y S = (x + 10 h ) b) Sabiendo que el volumen es 160 calcula la superficie mínima y la altura, anchura y longitud que lo consiguen. a) Supongamos que tenemos un prisma como el de la figura: h a b Es sabido que el volumen será: V = a b h Pero como que se ha definido x como: x = a b Podemos sustituir en la anterior y tenemos: V = x h Para calcular el área del prisma, hemos de sumar el área de todas las caras, es decir: S = (a b) + a h + b h = (x + h (a + b)) Ahora hemos de hacer uso de la segunda pista que nos dan, que dice que:

5 a + b = 10 h Al sustituir en la anterior, tenemos que: S = x + h (10 h) = (x + 10 h ) Así que ya hemos demostrado las dos cuestiones del primer apartado. b) Ahora nos encontramos ante el típico problema de optimización. Tenemos una función S(x,h) que hemos de optimizar y tenemos una relación entre ambas variables (la que nos dice cuánto vale el volumen). Por lo tanto tenemos que: Por lo que: 160 = x h h = 160 x S = (x + 10 h ) = x x = x x Y esta es la función que hay que optimizar, por lo tanto, derivamos e igualamos a cero: Por lo tanto: 0 = S (x) = x x x = x x = 0 1 = x x = x = 80 Así que ya tenemos x, de aquí podemos sacar h sustituyendo: Así que el área mínima será: h = = S = ( ) = 40 u Ya sólo nos queda calcular a y b, de los que sabemos lo siguiente: De la segunda sacamos que: a b = 80 a + b = 10 h = 0 a = 0 b Y sustituyendo en la primera tenemos que: (0 b) b = 80 0b b = 80 b 0b + 80 = 0 Resolviendo tenemos que:

6 b = ( 0) ± ( 0) ± = = = 14,47 = 10 ± 5 = 10 5 = 5,53 0 ± 80 = 0 ± 4 5 Y con estos dos valores, encontramos los dos valores de a (que serán simétricos a éstos): = 10 5 = 5,53 a = 0 b = = = 14,47 Con lo que ya hemos resuelto el problema. 4. Sea la función: f(x) = ln(x + 1) a) Calcula el polinomio de Taylor de grado 3 en a=0. b) Hasta qué grado hay que llegar para dar el resultado de ln (1,3) con un error inferior a 10-3? a) Como nos piden el polinomio de Taylor de grado 3, hemos de calcular las 3 primeras derivadas y valorarlas en el punto a=0. f(0) = ln(0 + 1) = ln 1 = 0 f (x) = 1 x = 1 x + 1 f (0) = = 1 f (x) = 0 (x + 1) 1 1 (x + 1) = 1 (x + 1) f (0) = 1 = 1 (0 + 1) f (x) = 0 (x + 1) ( 1) (x + 1) 1 (x + 1) (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) f (0) = (0 + 1) = Ahora ya podemos montar el polinomio pedido: P, (x) = x + 1!! x + 3! x = x x + x 3 b) Para responder esta pregunta necesitamos el patrón que nos permita expresar el valor de f (x). Ya vemos que los signos se van alternando, que el exponente del denominador se corresponde con el de la derivada y nos falta saber los coeficientes del numerador. Hagamos una derivada más a ver qué sacamos en claro. f (x) = 0 3 (x + 1) (x + 1) = 3 (x + 1)

7 Los coeficientes se parecen mucho a los factoriales no?. Entonces vamos a ver el término genérico: f (x) = ( 1) (n 1)! (x + 1) Como que el término que nos interesa en el n+1, tenemos que: f (x) = ( 1) (n)! (x + 1) Y ahora ya podemos plantear la cota del error al calcular ln 1,3. R, (x) = f (c) (n + 1)! x con c (0, x) Como nos piden el error al calcular ln 1,3, resulta que x=0,3 y tenemos que: R, (0,3) = f (c) (n + 1)! 0,3 con c (0, 0,3) Y ahora ya podemos sustituir el valor de la derivada genérica y aplicamos que sea menor que el valor pedido: ( 1) (n)! (c + 1) R, (0,3) = 0,3 (n 0,3 = con c (0, 0,3) + 1)! (n + 1) (c + 1) Como buscamos una cota superior y c está en el denominador, nos interesa que c sea el valor más pequeño posible, por lo tanto lo acotamos por el valor c=0 y tenemos: R, (0,3) = 0,3 (n + 1) (c + 1) 0,3 0,3 = (n + 1) (0 + 1) (n + 1) 10 Ahora construimos una pequeña tabla como sigue: n n+1 0,3 0,3 Cumple n ,09 0,045 No 3 0,07 0,009 No 3 4 0,0081 0,0005 No 4 5 0,0043 0, Si

8 Por lo tanto, hemos de llegar hasta el polinomio de grado 4 para conseguir esa precisión.

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