PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 07 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea f() t el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo t, medido en meses, transcurridos desde su inauguración: f() t 5 0 si t 40 si t 6 t 4 t t t a) Evoluciona la función f de forma continua?. b) Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año?. c) En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40 %?. d) Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente? SOCIALES II. 07 JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La función polinómica 5 0 t t es continua en. La función racional 90 t 40 t 4 en 4.Por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad en 6. Estudiamos la continuidad en 6 5 lim t 0t 30 6 lim lim f (6) 90t lim 30 6 t 4 Por lo tanto, la función es continua en el intervalo 0, b) Calculamos: f (4) 68' Luego, al finalizar el segundo año, la ocupación sería del % Es continua en 6 es continua c) Calculamos f( t) t t t t t 90t t 40 40t 60 t 8 t 4 Luego, la ocupación hotelera es del 40 % en el mes 4 y en el mes 8 d) Calculamos si tiene asíntota horizontal 90t 40 lim 90 y 90 t 4 Luego, el porcentaje de ocupación no llegaría al 90 % aunque estuviese abierto indefinidamente.

3 a) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: e f g ( ) ( ) ( ) ln( ) b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función abscisa. SOCIALES II. 07. JUNIO. EJERCICIO. OPCION B h ( ) en el punto de a) f '( ) 5 5 (5e ) ( ) ( ) ( e ) 3 g '( ) 3 ( ) (4 ) ln ( ) ( ) b) La recta tangente en es y h() h'() ( ) - h() h '( ) h '() - Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( ) y

4 En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de eponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por t si 0 t f() t 4 si t t donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo. a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que eistan. c) Determine en qué instante se obtiene la máima contracción y su valor. SOCIALES II. 07 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La función t es continua y derivable para 0t derivable para t. Vamos a estudiar si la función ( ) () lim ( ) 4 4 f f lim 4 t lim t 4 Calculamos la función derivada: 4 ; la función es, también, continua y t f es continua y derivable en t. Continua en t t si 0 t f '( t) 4 y como: si t ( t ) f '( ) 4 f '( ) f '( ) f '( ) 4 Luego la función f () t es continua en No es derivable en t 0, y derivable en 0, 4 b) Igualamos la primera derivada a cero: t 0 t 0 ; ( t ) 0,, Signo f '( t ) + Función C D. 0 No Asíntota vertical y oblicua no tiene. Asíntota horizontal: 4 4 lim 0 y 0 t c) La máima contracción se obtiene para t y vale 4

5 si 0 4 Sea la función f ( ) 3 si 0 si a) Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que eista alguna. b) Estudie la derivabilidad de la función en su dominio. SOCIALES II. 07 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La función 4 es continua y derivable para 0 ; la función 3 es, también, continua y derivable para 0 ; la función es, también, continua y derivable para ;. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en 0 y. lim 4 4 lim f ( ) lim f ( ) lim Discontinua inevitable de salto finito 0 0 lim 3 5 lim ( ) lim ( ) () f f f Continua en lim 5 b) En 0 no es derivable ya que no es continua. Estudiamos la derivabilidad en Calculamos la función derivada: Luego la función ( ) si 0 ( 4) f '( ) si 0 si f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) 4 y como: No es derivable en f es continua en 0 y derivable en 0y.

6 3 Sea la función f ( ). a) Estudie su monotonía y determine sus etremos relativos. b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. SOCIALES II. 07 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) 3 0 ; (, ) (, ) (, ) Signo f '( ) + + Función C D C La función es creciente en (, ) (, ) y decreciente en (, ) Tiene un Máimo en,7 y un mínimo en, 5 b) La ecuación de la recta tangente es: y f () f '() ( ) f () 0 f '() 9 Sustituyendo, tenemos: y 0 9 ( ) y 9

7 a) Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función 3 f ( ) a b presente un etremo relativo en el punto (,6). b) Para a y b, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa. SOCIALES II. 07 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la derivada de la función: 3 f ( ) a b f '( ) 3 a - Etremo en f () 6 8 4a b 6 (,6) f '() 0 4a 0 Resolviendo el sistema sale que: a 3 ; b 0 b) La función es: 3 f ( ). La ecuación de la recta tangente es: y f () f '() ( ) f () 3 f f '( ) 3 '() 5 Sustituyendo, tenemos: y 3 5 ( ) y 5

8 El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender unidades de un artículo viene dado por la función B( ) a) Cuál es el beneficio obtenido si vende 00 unidades? Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 3500? b) Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máimo? A cuánto asciende ese beneficio? c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas. SOCIALES II. 07 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Si 00 B( ) b) Calculamos la derivada y la igualamos a cero B '( ) B( ) c) B ( ) ; 300 Debe vender más de 60 unidades y menos de 300 unidades

9 a si 0 Se considera la función f( ) b si 0 a) Calcule el valor de a y b, para que la función sea derivable en 0. b) Para a y b, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. SOCIALES II. 07 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Si la función es derivable en 0, entonces es continua en 0. Estudiamos la continuidad en 0. lim 0 a a a lim b 0 Estudiamos la derivabilidad en 0 Calculamos la función derivada: Luego, tenemos que: a y b a f '( ) ( ) b si 0 si 0 f '(0 ) b f '(0 ) b b) La función es: f ( ). La ecuación de la recta tangente es: y f () f '() ( ) f () f '( ) f '() Sustituyendo, tenemos: y ( ) y 5

10 Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máimo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida,, por la siguiente epresión: si R ( ) 0 6 si 6 donde tanto, como R, ( ) están epresadas en millones de euros. a) Estudie la continuidad de la función R. ( ) b) Esboce la gráfica de la función. c) Qué cantidad debe invertir para obtener la máima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? Para qué valores de la rentabilidad es positiva? SOCIALES II. 07 RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Estudiamos primero la continuidad en : lim 0 R() lim R( ) 0 Es continua lim b) Hacemos el dibujo de la función c) Debe invertir 5 millones de euros y la rentabilidad sería de 9 millones de euros. La rentabilidad es positiva para los valores de mayores de.

11 a 3 si Se considera la función f( ) b si a) Calcule los valores de a y b para que la función f sea derivable en. b) Para a 3 y b, estudie la monotonía y curvatura de la función f. SOCIALES II. 07 RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Si la función es derivable en, entonces es continua en. Estudiamos la continuidad en. a 3 b a b 5 b b a 6 si f '( ) 4 si lim a 3 a 3 lim Estudiamos la derivabilidad en. Calculamos la función derivada: Luego, tenemos que: a 0 y b 5 b) La función es: f '( ) a 6 a 6 4 a 0 f '( ) 4 f( ) 3 3 si si 3 6 si Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) 4 si ; (, ),, Signo f '( ) + + Función C D C La función es creciente en (, ) (, ). Decreciente en, y tiene un máimo en 3, 4 6 si Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''( ) 4 si No hay ningún valor que anule la segunda derivada (,), Signo f ''( ) + Función Cn C La función es cóncava en (,). Convea, y tiene un punto de infleión en,0

12 3 Sea la función f ( ) a b a) Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa y un punto de infleión en el punto de abscisa. b) Para a 6 y b 9, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y etremos y esboce la gráfica de la función. SOCIALES II. 07. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la primera y segunda derivada 3 f ( ) a b ; f '( ) 3 a b ; f ''( ) 6 a - Mínimo en f a b a b '( ) 0 3 ( ) ( ) Punto de infleión en f ''( ) 0 6 ( ) a 0 a Resolviendo el sistema, tenemos que: a6 ; b 9 b) Corte con el eje X Corte con el eje Y y 0 (0,0) 3 Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) ; ; 3 (0,0) ; ( 3,0) (, 3) ( 3, ) (, ) Signo y' + + Función C D C Máimo 3,0 Hacemos la representación gráfica. mínimo, 4

13 5 6 Se consideran las siguientes funciones: f( ) y g( ) a) Determine la abscisa del punto donde se verifique f '( ) g'( ). b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si eiste. SOCIALES II. 07. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos las derivadas de las dos funciones y las igualamos b) Calculamos las rectas tangentes f '( ) 6 g '( ) 3 8 La recta tangente a 5 6 f( ) en es y f () f '() ( ) 0 6 f () f '( ) f '() 4 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 3 4 ( ) y 4 La recta tangente a g( ) en es y g() g '() ( ) g() 4 g '( ) g '() 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 4 4 ( ) y 4 4 Vemos que las dos rectas son paralelas ya que tienen la misma pendiente, luego, no se cortan.