Departamento de Matemáticas Página 1 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. INTEGRAL INDEFINIDA. (Sugerencia: cambio de variable

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1 Departamento de Matemáticas Página PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. INTEGRAL INDEFINIDA. d Calcula ( ) (Sugerencia: cambio de variable t ) Sea f : R R la función definida por Sea f ( ) e cos ( ) a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0. b) Calcula la primitiva de la función cuya gráfica pasa por el punto ( 0, 0) Sea f la función definida por f() = ln ( + ) para > (ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, 0) Determina una función derivable f : R R sabiendo que f() = - y que si 0 f '( ) e si Sea f : (, ) R la función definida por f ( ). ( )( ) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, 0)..0.- Sea g : R R la función definida por g ( ) ln( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas..0.- a) Determina la función f : R R tal que f () = ( + ) e - y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. b) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = Sea g : (0,) R la función definida por g( ). Determina la primitiva de g cuya gráfica pasa por el punto P(, 0). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t Halla d. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t..0.- Sea la función f : R R definida por f ( ) cos( ). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( π, 0)..0.- Sea la función f : R R definida por f ( ) ( ) e. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( -, 0)..0.- Sea f : (0,) R la función definida por f ( ) ( ln( )) donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P (, ).

2 Departamento de Matemáticas Página.0.- Determina una función f :, R 0 tal que tiene tangente horizontal en el punto P (, ). f'' ( ) y su gráfica.0.- Calcula: d e.04.- Halla d ( e )( e ). Sugerencia: efectúa el cambio de variable t = e Sea f : ( -, + ) R la función definida por f ( ) ln( ). Halla una primitiva F de f que verifique F(0) = 0. (ln denota logaritmo neperiano) Sea 5 I e d. a) Epresa I haciendo el cambio de variable t e. b) Determina I Sea la función f dada por f ( ) para y 0 Determina la primitiva F de f tal que F() = Sea f la función definida por f ( ) Halla la primitiva F de f que cumple que F (0) =. (Sugerencia: utiliza el cambio de variable t ) Considera las funciones f : ( 0, ) R y g : (0, ) R definidas por sen f ( ) y g( ) Ln. cos a) Halla la primitiva de f que toma el valor cuando. (Se puede hacer el cambio de variable t = cos ) b) Calcula g ( )d Dada la función f: R R definida por f() =Ln ( + ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas Sea I d e. a) Epresa I haciendo el cambio de variable t = e. b) Calcula I a) 5 d b) ( ) tg( ) d

3 Departamento de Matemáticas Página Calcula ( ) e d Sea f:[0, 4] R una función tal que su función derivada viene dada por si 0 f ( ) 8 si 4 6 a) Determina la epresión de f sabiendo que f ( ). b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = Calcula la integral d Calcula las siguientes integrales: a) cos( 5 ) d b) ( ) d c) e d Sea f: R R la función definida por f() = sen (). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( 0, ) Sea f: R R la función definida por f() = ( ) e. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, e ) De la función f: (0, +) R se sabe que f ( ) y que f() = 0. a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, )..- a) Describe el método de integración por cambio de variable. b) Usa el cambio de variable t= tg para hallar: d cos cos( )sen( ).- Calcula una primitiva de la función f: R R definida por f() = sen () cuya gráfica pase por el origen de coordenadas. e.- Haciendo el cambio de variable t = e, calcula d e e 4.- a) Calcula la integral sen( ) (cos( )) d realizando el cambio de variable cos () = t. b) Calcula la misma integral del apartado anterior haciendo el cambio tg () = u. c) Se obtiene el mismo resultado en ambos casos? Justifica la respuesta.

4 Departamento de Matemáticas Página De la función polinómica f se sabe que su función derivada tiene como representación gráfica la recta de ecuación y + = 0. a) Tiene f algún etremo local? Si la respuesta es afirmativa, indica si se trata de un máimo o un mínimo y en qué punto se alcanza. b) Si es f(0) =, encuentra la epresión analítica de f. 6.- De una función f se conoce que f () = en todos los puntos, que pasa por el punto (, ) y que es tangente en dicho punto a la recta + y =. Determina la función. 7.- a) Describe el procedimiento de integración por cambio de variable. b) Mediante el cambio = + t calcula d. 8.- a) Describe el método de integración por partes. b) Calcula Ln( ) d 9.- Determina una función f sabiendo que es tres veces derivable, que f () = 4, que f(0)=0, f (0)= y f (0)=. 0.- a) Sabiendo que F es una primitiva de f, halla una primitiva de f que se anule en el punto = a. b) De g se sabe que es dos veces derivable y que g(0)=5, g (0)=0 y g ()=8 para todo..- Considera la función f: (0, +) R definida por f () = Ln. Calcula: a) f ( ) d b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (, 0)..- De la función f: R R se sabe que f () = + + y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(, ). Halla la epresión de f..- Determina la función f: R R sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa = es 5 y = Encuentra la función derivable f: [ -, ] R que cumple que f () = - si 0 y que f ( ) e si La función derivada de una función derivable f: R R viene dada por la gráfica de la figura. Además se sabe que f(-)= 9/. a) Determina una epresión algebraica de f. b) Calcula límf ()

5 Departamento de Matemáticas Página Considera la función f: R R definida por f() = (+) e. a) Calcula f ( ) d. b) Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0, ). 7.- Considera la función f: D R definida por f ( ) Ln a) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos R para los que eiste f(). b) Usa el cambio de variable t = Ln para calcular una primitiva de f. 8.- a) Determina razonadamente la epresión algebraica de una función continua f: R R que cumpla las condiciones siguientes: 9 0 si f ( ), f ( ). si b) Razona si la función f es derivable en el punto =. c) Esboza la gráfica de esa función f. 9.- De una función f se sabe que su segunda derivada es la función g dada por g() = +. También se conoce que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y que en ese punto su recta tangente es la de la ecuación y 5 = 0. Calcula, de manera razonada, la función f. 0.- En la figura adjunta se representa la gráfica de la función derivada f de una función f:[0,] R. a) Halla la epresión de f sabiendo que pasa por el origen. b) Representa gráficamente la función f. c) Estudia la derivabilidad de f..- Calcula d.- a) Determina la función f: R R sabiendo que f' ( ) 6 y que su valor mínimo es -. b) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de infleión de su gráfica..- Calcula una primitiva de la función f definida por para y -. 0 f ( )

6 Departamento de Matemáticas Página Sea f: (0, +) R la función definida por f () = ( ) Ln. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, -/). 5.- Se sabe que la función f: (0, ) R es derivable en todo punto de su dominio y que f () = 0, siendo si 0 f ( ), si halla la epresión analítica de f. 6.- Sea f: (-, ) R la función definida por f() = Ln ( - ). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( 0, ).