3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2

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1 Derivadas. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica:. f() = - ; f (-). f() = ; f (0). f() = ln ; f () 4. f() = - ; f (0) 5. f() = +, < 0, 0 ; f (0) 6. f() = sen, < 0, 0 ; f (0). Calcular la derivada de la función:. y = (+). y =. y = (+) + 4. y = + 5. y = y = 7. y = ln + 8. y = ln + 9. y = ln + 0. y = log +. y = e +. y = e +. y = ln(+) 4. y = e 5. y = ln e + 6. y = sen y = cos(+) 8. y = sen 9. y = sen - 0. y = cos (+). y = tg. y = sen e. y = sen ln 4. y = e sen 5. y = ln sen 6. y = arcsen 7. y = arctg ln 8. y = ln arccos 9. y = 0. y = sen. Calcular la segunda derivada de la función:. y = 4 +. y = sen. y = 4. Estudiar la derivabilidad de la función:. f() =. f() =, < +,. f() = -, = 0 (-), {0,} -9, = 5. Considerar la función f:r R definida por f() = + () Estudiar la derivabilidad de f. () Dibujar las gráficas de f y f. 6. Se considera la función f:[,+ ) R definida por f() = Calcular, de manera razonada, su función derivada. ln + 7. Sea f:(-π,π) R la función derivable que para 0 verifica f() = sen () Cuánto vale f(0)? () Cuánto vale f (0)? (siendo ln el logaritmo neperiano de ). 8. Si las afirmaciones que siguen son ciertas, argumentarlas razonadamente; si son falsas, poner un contra ejemplo de ellas: Si una función f() es continua en al punto =a, entonces: () f es derivable en el punto =a. () La derivada en =a debe ser f(a) () El lim f() no es f(a) a 9. Calcular a y b para que sea derivable la función f() =, < a+b, 9 de enero de 006 Página de 9

2 Derivadas +, 0 0. () Hallar a y b para que sea continua la función f() = a+b, 0 < < -5, () Estudiar la derivabilidad de la función resultante en los puntos 0 y. -(a+)+a,si. La función f definida por f() = - es derivable en toda la recta real., si = () Cuánto vale a? () Para dicho valor de a, cuánto vale f ()?. (a) Determinar el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f:r R definida por f() = e - si 0 a+b si > 0 admite recta tangente en el punto (0,), (b) Eisten constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g:r R definida por g() = admita recta tangente en el punto (0,)? Justificar la respuesta. e - si 0 c +d si > 0. De las siguientes afirmaciones, hechas sobre una función f:r R, cuáles DEBEN ser ciertas, PUEDEN ser ciertas en algunas ocasiones o NUNCA son ciertas?: f() () Si lim = y f es continua, entonces f(0) = 0 f()-f(0) () Si lim =, entonces f (0) = 0 f()-f(0) () Si lim =, entonces y = + es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de 0 abscisa =0. 4. Hallar la derivada de la siguiente función:. +y ++y+y =. +y -y = 4 5. Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = -- en el punto de abscisa =. 6. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia +y = 4 en el punto =. 7. Si las afirmaciones que siguen son ciertas, argumentarlas razonadamente; si son falsas, poner un contra ejemplo de ellas: Si la función f() es continua en el punto =a, entonces: () Eiste lim f() a () Se puede trazar la recta tangente a la gráfica de f() en el punto =a. () El lim f() es f(a). a 8. Hallar los puntos de la curva y = -+ donde la tangente es horizontal. 9. Dada la ecuación de una curva, si se conoce la inclinación de una de sus tangentes, es posible hallar las coordenadas del punto de tangencia? Eplicar razonadamente la respuesta y aplicar el método al caso en que la ecuación de la curva sea y = -6+8 y la inclinación de la recta tangente a la curva sea de 45º. 0. Considerar la curva de ecuación y = -+ () Hallar una recta que sea tangente a dicha curva y que forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas. () Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? En caso afirmativo, hallar la ecuación de dicha recta tangente; en caso negativo, eplicar por qué. 9 de enero de 006 Página de 9

3 Derivadas. Sea f:r R la función definida por f() = () Demuestra que la recta de ecuación y = -+ es tangente a la gráfica de la función y halla el punto de tangencia correspondiente. () Corta esta recta tangente a dicha gráfica en algún punto distinto al de tangencia?. Dada la parábola y = -, hallar: () Los puntos de la parábola en los que la tangente a la misma pasan por el punto (,-6). () Las ecuaciones de dichas tangentes.. Calcular, aplicando la regla de L'Hôpital, el límite: sen(-). lim - sen(-). lim ln. lim - 4. lim 0+sen ln 5. lim - sen 6. lim 0-cos 7. lim 0 e - sen - 8. lim e - + e -e - +α 4. Determinar α sabiendo que eiste y es finito el límite lim. Calcular dicho límite. 0 -sen() 5. Sea f:[,] R la función definida por f() = e. () Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. () Hallar los máimos y mínimos relativos y absolutos de f. 6. Considerar la función f:r R definida por f() = - e. () Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f. () Calcular los máimos y mínimos relativos de f. 7. Hallar b y c para que la función f() = +b+c pase por el punto P(,0) y tenga un mínimo para =. 8. Determinar una función cuadrática que se anule para =8 y tenga un mínimo en P(6,-). 9. Determinar a para que la función f() = e a tenga un máimo para =. 0. Sea k un número real y sea f:r R la función definida por f() = cos()+k () Determinar todos los valores de k para los que la función es creciente en todo su dominio. () Para k = hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa =0. 0. El número de bacterias en un cultivo eperimental en un instante t es: N(t) = te, para 0 t 00. Cuánto valen el máimo y el mínimo número de bacterias y en que instante se alcanzan, respectivamente, dichos valores?. La capacidad de concentración de una saltadora de altura en una reunión atlética de tres horas de duración viene dada por la función f:[0,] R definida por f(t) = 00t(-t), donde t mide el tiempo en horas. () Calcular los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los intervalos en los que disminuye. Cuándo es nula? () Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?. La población de una colonia de aves evoluciona con el tiempo t, medido en años, según la función P:[,] R dada por 0+(t-6) P(t) =,si t 0 8- t-9, si 0 < t () Representa gráficamente la función P e indica en qué períodos de tiempo crece o decrece la población. () Indica los instantes en los que la población alcanza los valores máimo y mínimo -t 9 de enero de 006 Página de 9

4 Derivadas () Si la población evoluciona a partir de t= con la misma función que para 0<t, llegaría a etinguirse? Justifica la respuesta, dando, en caso afirmativo, el instante de la etinción. 4. La función h() = f() alcanza un mínimo relativo en un punto =a. Se sabe que f (a) = 4 y que g (a) =. Puedes g() obtener una epresión de la ordenada de la función h() en el punto a? 5. Eplicar si puede ocurrir que una función tenga un punto en el que su derivada sea cero y la función no representeen él ni un máimo ni mínimo local. En caso afirmativo, poner un ejemplo. 6. Si una función f tiene un mínimo en =a, eplica si tiene también un mínimo en dicho punto la función f. 7. De una función se sabe que es continua y derivable en todos los números reales, que tiene un máimo en el punto (,), un mínimo en (4,), y que no tiene ninguno más. Con estas condiciones, cada una de las siguientes afirmaciones puede ser cierta, falsa o posible. Indícalo en cada caso, justificándolo: () y > 0 para todos los números negativos. () y < 0 para cualquier >. () y > 0 para todo número de un entorno de. (4) y = 0 en algún punto >4. (5) y = 0 en algún punto del intervalo (,4). 8. Sabiendo que una función polinómica de tercer grado tiene un máimo en M(-,) y un mínimo en N(,-), hallar la función y su punto de infleión. 9. Determinar una función polinómica de tercer grado, sabiendo que pasa por P(,) y Q(,) y tiene un punto de infleión en I(,6). 40. Es cierto que una función polinómica de tercer grado tiene un punto de infleión? Razonar la respuesta e ilustrarla con un ejemplo. 4. Dada la función f:r R definida por f() = -6 +, hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en su punto de infleión. 4. Sea f:r R la función dada por f() = a +b +c+d. Calcular a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene un punto de infleión en Q(-,) y que la tangente a dicha gráfica en el punto M(0,) es horizontal. 4. La gráfica de la función derivada de una función f:[,9] R es: Responde a las siguientes preguntas de manera razonada: () Dónde es f creciente, dónde es decreciente y donde es constante? () Dónde tiene f, si los tiene, sus máimos locales, sus mínimos lo cales y sus puntos de infleión? 44. Las gráficas (a), (b) y (c) corresponden, respectivamente, a tres funciones derivables f, g y h Podrían representar las gráficas (r), (s) o (t) a las gráficas de f, g o h (no necesariamente en ese orden)? Justificar la respuesta en cada caso. 9 de enero de 006 Página 4 de 9

5 Derivadas (a) (b) (c) (r) (s) (t) 45. Observando la gráfica de la función, hacer un esbozo de la gráfica de su primera y segunda derivada. 46. De una función f se sabe que es polinómica de tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos = y = - son nulas, que f() = 5, que f() = y que lim f() = +. Hacer un esbozo razonado de la gráfica de f sin realizar - ningún cálculo, a partir de los datos. 47. A partir de la observación de la gráfica de la derecha, se apuntan una serie de conclusiones, unas correctas y otras no. Determinar cuales son verdaderas y cuales falsas, corrigiendo éstas últimas y justificando las respuestas: () La recta = - es una asíntota. 4 () lim f() = 4 4 () f (-5) < (4) lim f() = - (5) f () = Considera la función f:r R definida por f() = e (a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). 49. Considerar la función f definida por f() = -+ para. - (a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudiar la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. 50. Calcular las asíntotas de la gráfica de la función f definida para - por f() = ++ + dicha gráfica con respecto a las asíntotas. y estudiar la posición de 9 de enero de 006 Página 5 de 9

6 Derivadas 5. Sea f la función definida, para, por f() = -. (a) Determinar las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f. (c) Esbozar la gráfica de f. 5. Sea f la función definida por f() = 9-, para 0 y. - (a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) Con los datos obtenidos, esbozar la gráfica de f. 5. Observar que los números naturales y 4 tienen la siguiente propiedad: 4 = 4. Para estudiar si eiste otro par de número a y b enteros positivos tales que cumplan a b = b a, vemos que dicha propiedad es equivalente a: a b = b a b ln a = a ln b ln a a = ln b b () Estudia la función y = ln, para hacer un esbozo de su gráfica. () A partir de ella razonar que no puede eistir otro par de números naturales que cumplan dicha propiedad. 54. Estudiar, para la siguiente función, (a) Dominio, (b) Simetrías, (c) Cortes con los ejes, (d) Asístotas, (e)crecimiento, (f) Máimos y mínimos, (g) Conveidad, (h) Puntos de infleión e (i) Gráfica:. y = -. y = -. y = - 4. y = 4-5. y = (-) 4 6. y = -. y = y = y = - 8. y = - 9. y = y = y = 6. y = + 7. y = De todos los números positivos cuyo producto es 6, encontrar aquellos cuya suma sea mínima. 56. De todos los triángulos isósceles cuyos lados iguales miden cm. hallar el que tiene área máima.. y = +. y = - 8. y = sen 9. y = e Se toma una cuerda de 5 metros de longitud y se unen los etremos. Entonces podemos construir con ella triángulos isósceles de diferentes medidas. Calcular, de manera razonada, las dimensiones del que tiene mayor área. 58. Sobre un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 00 y 00 m. se quiere construir un edificio de planta rectangular, como se muestra en la figura. Hallar las dimensiones que debe tener dicha planta para que su superficie sea máima. 59. Aprovechando un río cuya orilla es rectilínea, queremos delimitar una parcela rectangular. Si disponemos de 00 m. de alambrada, cuáles serán las dimensiones de la máima parcela que se puede acotar y cuál será su área? 60. Se quiere cercar un terreno rectangular situado junto a una carretera. La valla que está junto al camino cuesta 8 el metro y la de los otros lados a 4 el metro. Hallar el área del mayor campo que puede cercarse con un presupuesto de Determinar las dimensiones de una puerta formada por un rectágulo y un semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene perímetro mínimo entre las que tienen área igual a m. 6. Calcular razonadamente las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en una circunferencia 9 de enero de 006 Página 6 de 9

7 Derivadas de radio. 6. Un hilo de alambre de m. de longitud se corta en dos trozos formando con uno una circunferencia y con el otro un cuadrado. Probar que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble del radio de la circunferencia. 64. Dada una circunferencia de radio r, se divide en uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. Qué longitud debe tener cada uno de esos diámetros para que sea máima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores y la eterior (la región sombreada)? 65. Un agricultor calcula que si la recolección de un producto la efectúa hoy, obtendría 0 Tm. y podría venderlo a50 por Tm., mientras que si espera algún tiempo, la cosecha aumentaría a razón de 0 Tm. por semana y el precio disminuiría en 5 pot Tm. y semana. Calcular la época de venta, al objeto de obtener el máimo beneficio. 66. A las 0 de la mañana un barco A está situado a 0 millas al este de otro barco B. El barco A navega hacia el oestea 0 nudos (millas/hora) y el B hacia el sur a 0 nudos. A qué hora será mínima la distancia entre ambos barcos? 67. En la orilla de un río de 00 m. de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta y a 500 m. río arriba se ha construido una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta eléctrica y la fábrica, que el tendido de cables sobre tierra cuesta el metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta 0 el metro, cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica? 68. Dos pueblos A y B distan 6 y 9 km. de la orilla de un río, cuyo cauce se considera rectilíneo, y se desea construir mancomunadamente un depósito de agua a la orilla del río para abastecer ambos pueblos, que distan entre sí 5 km. En que punto de la orilla se debe construir el depósito para que la longitud de la tubería sea mínima. 69. En un cartón cuadrado de 96 dm, hallar el lado del cuadrado que hay que cortar en sus esquinas con objeto de formar una caja de volumen máimo. 70. Se necesita construir un depósito cilíndrico cerrado de chapa con capacidad de 0,000 litros. Determinar sus dimensiones para que el gasto sea mínimo. 7. Una fábrica de cerveza decide lanzar al mercado latas de cerveza de forma cilíndrica y de /4 litro de capacidad. Qué dimensiones debe dar a las mismas para que la cantidad de hojalata necesaria sea mínima? 7. Se quiere construir un depósito cilíndrico abierto de m de capacidad. La chapa para hacer la base cuesta elm y la chapa de la pared lateral cuesta el m. Calcular las dimensiones más económicas. 7. Considerar la función f:r R definida por f() = -. Calcular el punto de la gráfica de f más cercano al punto (,6) y calcular también el más alejado. 74. Calcular de manera razonada los puntos de la curva y = 6 cuya distancia al punto (4,0) sea mínima. 75. Considerar la curva de ecuación y = ( 0). () Cuál es el punto de la curva más cercano al punto P, 0? () Deduce de forma razonada si eiste o no un punto en la curva que sea el que está más lejos de P. Soluciones.... No No.6... (+) (+) (+) de enero de 006 Página 7 de 9

8 Derivadas cos (+)(+).9. 4 ln sen(+).8. sen + cos ln.. e+.. e ln(+) ln e (+) (-)cos - sen.0. -(+) sen (+).. (-) cos.5. e e + e cos e cos ln...4. e sen sen - cos ln sen ln sen -9 + ln - 4 arc.9. cos (+ln).0. cos ln + sen sen.... cos R - {-,} 4.. R - {} 4.. R - {0} 5. R - {-} ; , < ; ; 8. No, no, no 9., - 0. () 0, () f (0) = 0, f () No , > f() f () ;. (a) -, (b) No y- y++ (,-) y (-,) 9. 7, y y- 5. Tangente: y = 5-0 Normal: + 5y - = y - 4 = 0 - y - 4 = cierto, falso, cierto () 4-4y + = 0 () y=. () (,-) (), 0. () (0,), (,0) () y = 0, y = Creciente en (,-) (0,) , 5. Decreciente en (-,0) Relativos: Mínimo en = 0. Máimo en = -. Absolutos: Mínimo en = 0. Máimo en =. 6. Creciente en -, Decreciente en -, - (,+ ) máimo en = mínimo en = , 8 8. f() = () k>sen () y = +. Máimo en (0,.60) Mínimo en (0,5.000). () Crece en 0, Es nula para t = Decrece en, mínimo a los 6 años, máimo a los y 0 años. () a los años y 96 días. 4. h(a) = 6. posible, cierto 8. f() = ;, - ; () a la hora y media.. () Si f(a) > 0 tiene un mínimo. Si f(a) < 0 tiene un máimo () 7. cierto, falso, falso, y + = 0 4.,, 0, 4. creciente en -, y (7,9) ; constante en (6,7) ; máimo para = ; puntos de infleión en = 0 y = Gráfica de f: Ninguna Gráfica de h: (t) Gráfica de h: (r) falso, falso, falso, falso 48. y = ; creciente en [-,] ; mínimo en -, e - ; y = + ; encima de la asíntota en (-,+ ) 5. = y = cierto, Vertical: = y máimo en, e 49. ; encima para > 50. = Oblícua: y = - ; Creciente en (-,0) (,+ ) Decreciente en (0,) ; Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = 0 ; = ; decreciente en su dominio ; ; No de enero de 006 Página 8 de 9

9 Derivadas y El que tiene de base. 57. un triángulo equilátero de 5 m. de lado m. 59. Lados: 900 m. (la orilla) y 00. Área: 7 Ha m 6. Base de 06 m. y altura de 47 m. 6. Un cuadrado de de lado. 64. Las dos circunferencias de diámetro r. 65. Debe esperar semanas. 66. a las hora m. sobre tierra y 5 m. sobre agua. 68. A 9 97 km. de la perpedicular a la orilla del pueblo A 69. cm. 70. Radio de la base: 7 m. y altura: m. 7. Radio de la base: 4 cm. y altura: 6 84 cm. 7. Punto más cercano: Q, 9 Punto mas alejado: No eiste. Radio de la base: 68 cm. Altura: 07 m. 7. P 5, 9 5 ; No 74. P, de enero de 006 Página 9 de 9

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