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1 e - si 0. [04] [ET-A] Sea la función f() = k si = 0 a) Determine razonadamente el valor del parámetro k para que la función sea continua para todos los números reales. b) Estudie si esta función es derivable cuando = 0, y en caso afirmativo halle f'(0).. [04] [ET-B] Considere la función f() = a + + b. a) Determine el valor de los números reales a y b para que en el punto de abscisa = su gráfica admita como tangente la recta y =. b) Halle las asíntotas de la curva cuando a = y b = -.. [04] [JUN-A] Dada la función f: definida por f() = e - a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halle, si eisten, los máimos y mínimos de la función. c) Dibuje aproimadamente su gráfica. 4. [04] [JUN-B] Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en su finca. Sabe que si planta 4 árboles la producción media de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 5 frutos. a) Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máima? b) Cuál es esa producción? 5. [0] [ET-A] Calcule los siguientes límtes: + - a) lim - cos b) lim (-cos )cotg. 6. [0] [ET-B] El coste diario de una máquina que muele trigo para hacer harina depende de las toneladas molidas y viene dado por la función f() = donde es el número de toneladas molidas. a) Obtenga la producción diaria óptima para minimizar los costes. b) Cuál es el coste mínimo diario? 7. [0] [JUN-A] Considere la curva y = a) Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta 0 = +y-4. b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en =. 8. [0] [ET-A] Calcule lim - - ln. (Nota: ln denota el logaritmo neperiano de ). 4 si = 0 9. [0] [ET-B] Sea la función f: definida por f() = me -, donde m. si 0 a) Calcule m para que la función sea continua en = 0. b) Para el valor de m calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función f es derivable en = [0] [JUN-A] Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio. 7 de julio de 05 Página de 5

2 . [0] [JUN-B] Obtenga una función polinómica de tercer grado y = a +b +c+d tal que tenga un mínimo en el punto (,) y un punto de infleión en el punto (0,). -m sen. [0] [ET-A] Sabiendo que el lim es finito, calcule el valor de m y halle el límite.. [0] [ET-B] Sea f: la función definida por f() = - si a+b si > a) Calcule los valores de a y b para que la función sea derivable en todos los números reales. b) Para esos valores de a y b halle los etremos de la función y dibuje su gráfica. 4. [0] [JUN-A] Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm de área. Sabiendo que los márgenes superior e inferior son de 4 cm cada uno y los laterales de cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa sea máima. 5. [0] [JUN-B] Calcule:. lim lim - tan() (Nota: tan = tangente) 4 si 0 6. [00] [ET-A] Sabiendo que f() = 4- si > 0 a) Estudie su continuidad en el punto = 0. b) Usando la definición de derivada calcule, si eiste, la derivada de la función f en = 0. c) Dibuje la gráfica de la función. 7. [00] [ET-B] Calcule lim (+cos) cos a+b si < 0 8. [00] [JUN-A] Se considera la función f() = 5sencos si 0 a) Determine el valor de b para que la función sea continua en el punto = 0. b) Calcule el valor de y para que la función sea derivable en el punto = [00] [JUN-B] Se considera la función f() = +. a) Determine las asíntotas de la función anterior. b) Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. c) Dibuje aproimadamente su gráfica. 0. [009] [ET] Se considera la función f() = -. a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas. b) Estudie los intervalos de crecimiento, decrecimiento, cancavidad y conveidad. c) Halle los máimos, mínimos y puntos de infleión. d) Esboce la gráfica de la función.. [009] [JUN] Se desea construir un prisma recta de base cuadrada cuya área total sea 96 m. Determine las dimensiones del lado de la base y de la altura para que el volumen sea máimo. 7 de julio de 05 Página de 5

3 . [009] [JUN] Sea f() = a) Determine el dominio de definición, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Halle las asíntotas y represente aproimádamente la gráfica de la función.. [008] [ET] Calcule los límites: a) lim b) lim - e - 4. [008] [JUN] Se dispone de 00 m de tela metálica y se desea vallar un recinto formado por un rectángulo y dos semicírculos, como indica la figura. Determine las dimensiones de e y paraque el área encerrada sea máima. 5. [008] [JUN] Se considera la función f() = - si < - si a) Determine su dominio de definición, estudie su continuidad y halle las asíntotas. b) Esboce la gráfica de la función. c) Halle los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta +4y = [007] [ET] Dada la función f() = a +b +c+d determina las constantes a, b, c, d de manera que simultáneamente: Su gráfica pase por el origen de coordenadas y por el punto (,). La función posea un punto de infleión en = 0. La función posea un mínimo en =. 7. [007] [ET] Dada la función y = 4 e -, a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halla, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. c) Dibuja aproimadamente su gráfica. 8. [007] [JUN] Un río describe la curva y = 4 con [-,]. En el punto A 4,0 hay un pueblo. a) Epresa la función distancia entre un punto cualquiera del río y el pueblo en función de la abscisa. b) Cuáles son los puntos de este tramo del río que están más alejados y más cercanos al pueblo? (Sugerencia: Estudia los máimos y mínimos del cuadrado de la función hallada en el apartado anterior). c) Hay algún punto del río que esté a una distancia menor que del pueblo? 9. [006] [ET] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo. Las longitudes de las bases son 4 my 40 m y la de su altura 40 m. Se divide en dos campos rectangulares C y C. Situando el campoenel origen de coordenadas como se muestra en la figura, calcula: a) La ecuación de la recta r que contiene al lado inclinado del trapecio. b) El área de los campos en función de la anchura de C. c) Se quiere sembrar maíz en el campo C y trigo en C. El beneficio del maíz es de, euros por m y el del trigo euro. Cuáles son las dimensiones de los campos que hacen el beneficio máimo? 0. [006] [ET] Calcula: 7 de julio de 05 Página de 5

4 e --cos a) lim sen b) lim + +. [006] [JUN] El triángulo isósceles, descrito en la figura, mide 0 cm de base y 0 cm de altura. a) Cuál es la ecuación de la recta r señalada en la figura que contiene el lado del triángulo? b) Dado el rectángulo inscrito cuya base mide a, calcula las coordenadas de los puntos B y C en función de a. c) Halla el valor de a que hace máimo el área del rectángulo. +6+8,. [006] [JUN] Sea la función f() = +4, < 0 a cos, > 0 a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a. b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a. c) Para a = 4, haz un dibujo aproimado de su gráfica.. [005] [ET] Se dispone de una tela metálica de 00 metros de longitud para vallar una región rectangular. Cuáles son los valores de e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máima? 4. [005] [ET] Dibuja aproimadamente la gráfica de la función f() = -4 calculando su dominio de definición, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de infleión. 5. [005] [JUN] Se dispone de una tela metálica de 00 metros de longitud para vallar unaregión como la de la figura. Cuáles son los valores de e y que hacen que el área encerradasea máima? 6. [004] [ET] Con 60 cm de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden e y. Qué valores de e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima? 7. [004] [JUN] Dadas las funciones f() = (+), g() = (-) y h() = sen, calcula los siguientes límites: f()- f()- f()+g() a) lim b) lim c) lim h() g()- [h()] 8. [004] [JUN] Dibuja aproimadamente la gráfica de la función f() = - calculando su dominio de definición, sus asíntotas, + sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de 7 de julio de 05 Página 4 de 5

5 infleión. 9. [00] [JUN] Sea la función y = -. a) Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas. b) Realizar una representación gráfica aproimada de la misma. Soluciones a) 4 b) f'(0) = 0.. y = -+. ; 0. a), - b) '4' a) si b) 0 c) e - 8., 5 9. a) = -; y = - b) min: 0; ma: c) a) - {0}; = 0, y = 0 b) crec: (0,); conv: (,+ ) c) ma: ; p.i: d) -. 4, 4. a) D: - {}; crec: (-,) (4,+ ); ma: ; min: 4 b) 456. a) b) 4. 8 m, 8 m. 5. a) D: -{}, cont: -{} As. = ; y = 0 b) - - c) - 6. f() = - 7. a) Creciente en 0,4 b) Máimo: 4, mínimo: 0, infleión:, 6 c) 8. a) D() = b) Más alejado: 0,0. Más cercanos:,,, c) no 9. a) y = b) ; c) 0m5m; 4m5m 0. a) b) e 4. a) y = 4 b) B 0-a 0-a,0 ; C,0a c) 5. a) a=4, ; a 4: -{0} b) -{0} c). =y= ,4 ; 4, cm y 0 cm 7. a) b) - c) a) Dom: (0,]; decreciente en ; p.i: ; a.v: = 0 b) de julio de 05 Página 5 de 5

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