PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Determina un punto de la curva de ecuación y e en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. La pendiente de la recta tangente es máima en el punto de infleión. Luego vamos a calcular los puntos de infleión de esta función. ' ( ) ( ) y e e e y '' e ( ) ( 4 ) e e (4 6 ) Igualando a cero la segunda derivada, obtenemos: 0 y '' 0 e (4 6 ) 0 (4 6 ) 0 De los tres posibles puntos de infleión, el de pendiente máima es el (0,0), ya que: m y '( 0) m y ' e m y ' e

3 4 Sea f la función definida por f( ), para 0. a) Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El dominio de la función ( ) f es 0. La función no corta a ninguno de los dos ejes. Asíntotas Verticales: La recta 0 es una asíntota vertical ya que lim f( ) 0 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 4 y' 0 (, ) (,0) (0,) (,) Signo y ' + + Función C D D C Máimo(, 4) No eiste mínimo(,4) c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: y '' ; y '' 0 NO (,0) (0,) Signo y ' + Función Cn C d)

4 Sea f : la función definida por f ( ) Ln( ), siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de infleión de abscisa negativa. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) 0 0 (,0) (0,) Signo y ' + Función D C mínimo (0,0) b) Los posibles puntos de infleión son las soluciones de f ''( ) 0. ( ) f ''( ) 0 ( ) ( ) Nos están pidiendo la recta tangente en. Su ecuación será: y f ( ) f '( ) ( ) y ln ( ) y ln

5 Calcula lim siendo Ln la función logaritmo neperiano. Ln MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. ln 0 lim lim lim ln ( ) ln 0 ln ( ) 0 lim lim lim ln ( ) ln ( ) 0 ln

6 Sea f : la función definida por f( ) a) Estudia si eisten y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El dominio de la función f() es Asíntotas Verticales: No tiene. Asíntotas Horizontales: lim f ( ) lim y Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' 0 y ( ) (, ) (,) (, ) Signo y ' + + Función C D C Máimo (,) mínimo, c)

7 ( Ln ) Sea f : (, ) la función dada por f( ), siendo Ln la función logaritmo ( ) neperiano. Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, hállala. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. (ln ) ln ln (ln ) lim lim lim ( ) ( ) (ln ) 0 lim lim 0 Luego, la recta y 0 es la asíntota horizontal.

8 a b si 0 Se sabe que la función f :[0,5] definida por f ( ) 4 si 5 es derivable en el intervalo (0,5). a) Calcula las constantes a y b. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función es derivable, luego, tiene que ser continua. a b a b a 4b lim 4 lim 4 Calculamos f a b si 0 '( ) si 5 Como es derivable se cumple que: f '( ) f '( ) a 4b Resolviendo el sistema: a 4b 7 a ; b a4b b) La ecuación de la recta tangente en = es y f () f '() ( ) f () f '() Luego la recta tangente en = es y ( ) y 8 0

9 Sea f : la función definida por f ( ) a b a) Determina ab, sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión de abscisa = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de infleión. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera y segunda derivada de f a b ( ) f '( ) a b ; f ''( ) 6 a Pasa por (,), nos dice que f () 8 4a b 4a b 7 Punto de infleión en = 0, nos dice que f ''(0) 0 a 0 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos: La función es f ( ) 7 4a b 7 7 a 0; b a 0 b) El punto de infleión tiene de abscisa = 0, luego la ecuación de la recta tangente en = 0 es 7 y f (0) f '(0) ( 0) y ( 0) 7 y 0 La ecuación de la recta normal en = 0 es y f (0) ( 0) y ( 0) 7y 7 0 f '(0) 7

10 Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 00 cm. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máimo. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea máimo es: V r h 00 r 00 r b) Relación entre las variables: 00 r r h h r r c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. V r h r 00 r r 00r r d) Derivamos e igualamos a cero 00 V ' 00 r 0 r Solo vale la solución positive ya que estamos calculando dimensiones, luego: r ; cm h cm

11 Sea f : la función definida por f ( ) a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. si 0 a) f ( ) si 0 Las funciones y por ser polinómicas son continuas y derivables en. En el único punto donde puede haber problemas es en 0, que es el punto donde cambiamos de una a otra. Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en 0 Veamos la continuidad de f() en 0 : ) f (0) 0 ) ) lim ( ) 0 f 0 lim ( ) 0 lim ( ) f (0) lim f ( ) 0 0 Por lo tanto, la función es continua en 0 Estudiamos ya la derivabilidad de f(), en particular en 0 si 0 f '( ) si 0 f '(0 ) f '(0 ) f '(0 ) No derivable f '(0 ) b y c) Igualamos a cero la primera derivada: 0 0,,0 0,, Signo y ' + + Función D C D C m, Pico (0,0) m, 4 4

12 Un alambre de longitud metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. El área del cuadrado es S 4 6 La longitud de la circunferencia es L r, de donde r ( ) círculo es S 4 ( ) La función a optimizar es la suma de las áreas: S( ) S S 6 4 Calculamos la ª derivada S'( ) y la igualamos a 0. r, y por tanto el área del ( ) 8 ( 4) 4 4 S '( ) Calculamos la ª derivada S''( ) para comprobar que es un mínimo. 4 S ''( ) 0 mínimo 8 Los trozos en que se ha dividido el alambre tienen de longitud para que las sumas de las áreas sea mínima y 4 4,

13 Halla la función f : sabiendo que f ''( ) 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene de ecuación 4 y 7 0. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Como f ''( ) 6, es una función de primer grado, la función f ( ) debe ser de tercer grado, es decir, f ( ) a b c d. Calculamos la segunda derivada e igualamos a la que nos dan. f ''( ) 6 6a b a ; b Como la recta y 4 7 es la recta tangente a f ( ) en, entonces se cumple que: f '() 4 a 4b c 4 4 c 4 c 8 Además como y 4 7 es la recta tangente a f ( ) en, entonces en coinciden la ordenada de la función y la de la recta tangente, es decir: f () y() 8a 4b c d 6 6 d d Por lo tanto, la función que nos piden es: f ( ) 8

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