Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

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1 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del punto: f (0) e Pendiente de la recta: ( ) e e ( ) (0) (e ) (e ) e Ecuación de la recta tangente: y - ( 0) y EJERCICIO : Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva y 9 0 en 0. Ordenadas de los puntos: y 9 0 y y Hay dos puntos: (, ) y (, ) Pendientes de las rectas: 6y y ' 0 y' y' 6y y y' 6 6 Ecuaciones de las rectas tangentes: - En (, ) 5 y ( ) y - En (, ) 5 y ( ) y (, ) '(, ) y 6 6 y y EJERCICIO : ( ) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en 0. Ordenada en el punto: y () 9 ( ) Pendiente de la recta: y ( ) ( ) y' ( ) 75 8 Ecuación de la recta tangente: y 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 75 5 y y ' ( ) 75 8 ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIO : Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función: f ( 6 9) ( ) ( 9 )

2 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato Signo de (): ( ) f 5 y un mínimo en, es creciente en (, 0), ; es decreciente en 0,. Tiene un máimo en ( 0, ). EJERCICIO 5 : Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de la curva: f () 5 ( ) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convea. Primera derivada: () 0 ( ) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Signo de (): f es decreciente en (, 0), ; es creciente en 0, (, ). Tiene un 5 máimo en, 6 Segunda derivada: y dos mínimos: ( 0, 0) y (, 0). () 0 ( ) ( ) ' () (6 6 ) ' 0 Signo de f'' (): ± 6 6 ± 0, 0,79 f () es cóncava en ( ; 0,) (0,79; ); es convea en (0,; 0,79). Tiene dos puntos de infleión: (0,; 0,) y (0,79; 0,). CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO 6 : Halla los valores de a y b en la función f() a b sabiendo que pasa por el punto P(-,) y tiene un etremo relativo en el punto de abscisa - Si pasa por el punto (-, ) f(-) a b a b Como tiene un etremo para - f (-) 0 f a a 0 a 6 Resolviendo el sistema: Como a 6, b -

3 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato EJERCICIO 7 : Halla a, b y c en la función f() a b c d sabiendo que el punto P(0,) es un máimo y el punto Q(,0) es un mínimo. Máimo en P(0,) Mínimo en Q(,0) f (0) 0 f'()a bc Pasa por el punto (0,) f (0) a.0 b.0 c.0 d d Máimo en 0 a.0 b.0 c 0 c 0 f () 0 f'()a bc Pasa por el punto (,0) f () 0 a. b. c. d 0 8a b c d 0 Mínimo en a. b. c 0 a b c 0 Formando un sistema con las ecuaciones obtenidas resulta: d 8a b c d 0 8a b a b a b c 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b c 0 a ; b - PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 8 : La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 0. Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máimo. Llamamos al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que: y z 60 (, y, z > 0) y 60 z z y z 0 y 0 z y 60 z El producto de los tres números es: P y z z (60 z) z z (60 z) f (z), z > 0 Buscamos z para que f (z) sea máimo: (z) z (60 z) z () z (60 z z) z (60 z) 0z 6z z 0 (no vale, pues ha de ser z > 0). ( z) 0 z 0 Veamos que en z 0 hay un máimo:'(z) 0 z ; '(0) 0 < 0 hay un máimo Por tanto, el producto es máimo para 0, y 0, z 0. EJERCICIO 9 : Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que tiene área máima. 5 Área f, 0 < < 5 Buscamos para que el área sea máima: f

4 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato (no vale) 5 5 (Como > 0 a la izquierda de y < 0 a su derecha, en hay un máimo). Por tanto, el área es máima cuando los dos catetos miden 5 metros. EJERCICIO 0 : Un móvil se desplaza según la función: e (t) 600t 50t 5t 7t 5 t 6, que nos da el espacio en metros recorrido por el móvil en t minutos. Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máima velocidad. La función que nos da la velocidad es la derivada de e (t): e' (t) t 60t 5t t 5 v (t) Para obtener el máimo de la velocidad, derivamos v (t): v' (t) 900t 80t 50t 60t 60t (5 t 9t t ) 60t (t ) (t ) (t 5) v' (t) 0 t 0, t, t, t 5 Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:v (0) 600, v () 7, v () 9, v (5) 5 Por tanto, la máima velocidad se alcanza en el minuto t 5 y el espacio recorrido es e (5) 000 m. EJERCICIO : Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener m para producir suficiente forraje para su ganado. Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita ser vallado? Área y m y Cantidad de valla necesaria: f y, > 0 Buscamos > 0 que haga f () mínima: (no vale) 00 Veamos que en 00 hay un mínimo: ' ; '( 00) > 0 hay un mínimo Por tanto, han de ser: 00 m, y 600 m

5 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 5 EJERCICIO : Entre todos los triángulos rectángulos de área 5 cm, determina las longitudes de los lados del que tiene la hipotenusa mínima. 0 Área y 0 y, > 0 00 Hipotenusa y Buscamos el valor de > 0 que hace mínima la función: Derivamos: f a la izquiera de 0 y > 0 a su derecha, en 0 hay un 00 0 y (Como < mínimo). Por tanto, los catetos miden 0 cm cada uno; y la hipotenusa medirá 0 cm. 0 CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : Calcular los siguientes límites: e sen sen a) lím b) lím c) lím 0 sen 0 0 sen a f) lím 0 b g) lím (L) 0 sen h) lím 0 sen cos d) lím 0 sen i) lím 0 cos e) lím 0 cos sen j) lím 0 e e k) lím 0 sen e 0 e a) lím lím 0 sen 0 0 cos sen 0 sen cos 0 cos cos sen b) lím lím lím sen 0 cos c) lím lím 0. 0 sen 0 0 cos cos 0 sen sen 0 cos d) lím lím lím lím e) lím lím 0 0 cos sen 0 0 cos sen cos 0 0 a b a b 0 a.la b.lb f) lím lím lím(a La b Lb) L g) lím (L) (0. ) lím lím lím lím a La b Lb La Lb

6 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 6 sen 0 cos cos 0 sen 0 h) lím lím lím lím 0 0 sen 0 0 sen.cos 0 sen 0 0 cos. sen 0.sen cos 0 cos.cos ( sen). lím lím lím cos 0 sen 0 cos i) j) Ln Ln / lím lím lím Ln.Ln 0 / 0 / / 0 0 lím lím e lím e lím e e e e e e e 0 e e 0 e e 0 e e k) lím lím lím lím 0 sen 0 cos 0 0 sen 0 0 cos 0 TEOREMAS DE DERIVABILIDAD EJERCICIO : Comprueba que la función f () cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ]. Dónde cumple la tesis? La función f () es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [, ] y derivable en (, ). f ( ) Además : son iguales. f Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que eiste c (, ) tal que (c) 0. Veamos dónde se cumple la tesis:() (c) c (, ) m si n si > cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]. Dónde cumple la tesis? EJERCICIO 5 : Calcula m y n para que la función: f Continuidad en [0, ]: - Si, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. lím f lím ( m) m - En : lím f lím ( n ) n Para que sea continua en, ha de ser m n f m Derivabilidad en (0, ): 6 si < - Si, la función es derivable, y su derivada es: n si > - Para que sea derivable en, han de coincidir las derivadas laterales: n Por tanto, f () cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ] si: m n m n n si 6 si Este caso quedaría: f si > si > Veamos dónde cumple la tesis: f () f (0) ( c) ( c) 6c c ( 0, ) ( si c > ) 0 n

7 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 7 si EJERCICIO 6 : Comprueba que la función: f 5 si > satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]. Dónde cumple la tesis? Continuidad en [0, ]: - Si, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. lím f lím ( ) lím f f - En : lím f lím ( 5) f es continua en. f Por tanto, f () es continua en [0, ]. Derivabilidad en (0, ): si < - Si, la función es derivable, y su derivada es: si > - En, como ( ) ( ), también es derivable; y (). Por tanto, f () es derivable en (0, ). Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ]; por tanto, eiste c (0, ) tal f () f (0) 7 8 que: ( c) Veamos dónde se cumple la tesis: c ( 0, ) a si < EJERCICIO 7 : Calcula los valores de a, b y c para que la función: f b c si cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ]. Qué asegura el teorema en este caso? Continuidad en [, ]: - Si, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. ( lím f lím a) a - En : lím f lím ( b c) b c Para que sea continua en, ha de ser a b c. f b c Derivabilidad en (, ): - Si, la función es derivable, y su derivada es: a b a - En, han de ser iguales las derivadas laterales: b Además, debe ser f () f (); es decir: a b c a b c Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que: a b a b c si si < < < < a b a 9 b c En este caso, el teorema de Rolle asegura que eiste c (, ) tal que (c) 0.

8 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 8 EJERCICIO 8 : Comprueba que la función f () 6 7 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, ]. Dónde cumple la tesis? La función f () 6 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. f () f () Entonces, eiste c (, ) tal que: ( c) Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis:() 6 6 (c) 6c 6 6c c. La tesis se cumple en c (, ) 6 EJERCICIO 9 : La función f: [-,] R definida por f() toma el valor en los etremos del intervalo, f(-) ; f(). Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. Contradice esto el teorema de Rolle? ) f continua en [-,]?: Cierto porque f es continua en todo R ) f derivable en (-,)? : f (). Falsa porque f no se derivable en 0 No es cierta Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. EJERCICIO 0 : Calcula b para que la función f() cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. Dónde se cumple la tesis? ) f continua en [0,b]?: Cierto porque f es continua en todo R. ) f derivable en (0,b)?: f () cierto porque f es derivable en todo R ) f(0) f(b)?: f(0) ; f(b) b b b b 0 b(b ) 0 Cuyas soluciones son b 0; b ; b - : La única solución válida es b. Dónde se cumple la tesis?: f () ; f (c ) c 0 c si -/ < EJERCICIO : Comprueba que la función f() 5-(-) si Rolle. Si las cumple, averiguar dónde cumple la tesis cumple las hipótesis del Teorema de ) f continua en [-/,]? f continua en [-/,] {} por composición de funciones continuas En lím f () lím( ) lim f () lím f () lím 5 ( ) f() 5 - ( ) Por tanto f continua en. Por tanto f continua en [-/,] y se cumple la primera hipótesis

9 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 9 ) f derivable en (-/,)? si < f () si f derivable en (-/,) {} por composición de funciones derivables. En : f f. Las derivadas laterales son iguales, luego es derivable en Por tanto es derivable en (-/,) y se cumple la ª hipótesis. ) f (-/) f()? f ( ) ( ) f (). Como toma el mismo valor en los etremos del intervalo, se cumple la ª hipótesis. Por tanto cumple las hipótesis del Teorema de Rolle. Veamos dónde se verifica la tesis: c (-/,) tal que f (c) 0 si c < f (c) c si c Haciendo f ( c) 0, resulta: 0 que es absurdo. 0 c, es decir, c, porque pertenece a (-/,) La tesis se verifica en c EJERCICIO : Siendo f() ( ) ( ), hallar un número c, en el intervalo (0,) de modo que se verifique el teorema del valor medio. Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo R, luego podemos aplicar el teorema: f (b) f (a) f (c) f () f (0) f (c) b a 0 f() ( ) ( ) 0 f(0) (0 ) (0 ) f () ( )( ). ( ) ( )[( ) ( )] ( ) f (c) (c )c 0 ( c ) c 0 c 6c c 6c 0 6 ± ± 8 6 ± c La solución válida es la ª porque tiene que estar entre 0 y si < EJERCICIO : Prueba que la función f () satisface las hipótesis del teorema del valor si medio en el intervalo [0,] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema. ) f continua en [0,]?

10 Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato 0 f continua en [0,] {} En lim f () lim limf () Por tanto f continua en lim f () lim f () / f continua en [0,] y se cumple la primera hipótesis - si < ) f derivable en (0,)? f () si f derivable en (0,) {} por composición de funciones derivables. En f ( - ) - f ( ) - f derivable en Por tanto derivable en (0,) y se cumplen la segunda hipótesis Satisface las dos hipótesis del teorema del valor medio f () f (0) Tesis: Eiste un c (0,) tal que : f (c) 0 c si c < f() / ; f(0) /, f (c) si c c c si c luego < 0 si c c De la primera ecuación se obtiene: / -c c ½ (0,) Una solución válida c / Y de la segunda ecuación: -/ - /c c c (0,) Otra solución válida c EJERCICIO : Aplica el teorema de Cauchy a las funciones f() ; g() en el intervalo [0,] Las funciones son continuas y derivables por tratarse de funciones polinómica, por tanto, f ; f ( c) c g 6 ; g ( c) 6c Valores de las funciones en los etremos de los intervalos: Entonces, f ( 0) ; f g ( 0) ; g 5 c 5 6c 6 5 c 6 c es decir, c 6c c c (0,) La tesis se verifica en c c 6 c

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