Teorema de máximos y mínimos para funciones continuas:

Transcripción

1 Matemática II 7 Modulo 4 Estudio de funciones. Valores etremos de funciones En muchos casos las funciones que se presentan no pueden graficarse hallando unos pocos puntos, a que no es fácil deducir el comportamiento de la función entre ellos. Por eso analizaremos criterios para encontrar puntos claves o representativos que nos permitan esquematizar el comportamiento de una función cualquiera. Definiciones: Sea f() definida en un dominio D: f() alcanza en = a, a D un máimo absoluto en D f ( a) f ( ) D f() alcanza en = a, a D un mínimo absoluto en D f ( a) f ( ) D f() alcanza en = a, a I, I D un máimo local en I f ( a) f ( ) I f() alcanza en = a, a I, I D un mínimo local en I f ( a) f ( ) I Teorema de máimos mínimos para funciones continuas: Si f es continua en todo punto de un intervalo cerrado I, entonces f alcanza un máimo absoluto M un mínimo absoluto m en puntos de I. Es decir que eisten puntos en el intervalo I, tales que f ( ) = m f ( ) = M m f ( ) M, I Ejemplos: -4 4 =-4 =4

2 Matemática II = -4 =4 En el primer segundo ejemplos vemos funciones continuas con máimo mínimo en el intervalo [-4,4], en el primer caso en puntos interiores al intervalo en el segundo en puntos etremos. En el tercer cuarto ejemplos vemos funciones discontinuas, en el tercero sin máimo ni mínimo en el cuarto con máimo mínimo. Es decir que para funciones no continuas no podemos saber si habrá o no máimos o mínimos. Veremos entonces estrategias para localizar máimos mínimos de funciones de manera de empezar a conocer su comportamiento. Teorema de la primera derivada para valores etremos locales: Sea f una función derivable en (a,b). Si f tiene un máimo o un mínimo local en un punto c del intervalo, entonces : '( ) f c = Demostración: Como f es derivable en todos los puntos del intervalo (a,b), veremos que si f tiene un máimo o un mínimo local en c (a,b), entonces f (c) no puede ser negativa ni positiva ( por lo tanto f (c) deberá ser ). Supongamos que f tiene un máimo local en =c, c (a,b), por lo tanto f() f ( c) para todos los valores de que estén cercanos a c, o dicho de otro modo, para algún entorno del punto c. Entonces f ( ) f ( c) en ese entorno. Además f '( c) = lim c f ( ) f ( c) c a que c es un punto interior de (a,b), entonces: f f ( ) f ( c) '( c) = lim c+ c a que f ( ) f ( c) - c >

3 Matemática II 7 Análogamente f f ( ) f ( c) '( c) = lim c c a que f ( ) f ( c) - c < Por lo tanto la única posibilidad es f (c)=. Puntos críticos: Llamaremos puntos críticos de f a los puntos interiores del dominio de f donde la derivada sea cero o no esté definida. Por lo tanto, si una función f está definida en el intervalo cerrado [a,b], los únicos puntos donde f puede tener sus etremos locales o globales son: puntos críticos en el interior del intervalo los etremos del intervalo, esto es: en a o en b La maor parte de las búsquedas de valores etremos requieren hallar valores etremos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrados. El primer teorema nos asegura que tales valores eisten, el segundo nos dice que sólo pueden estar en los puntos críticos o en los etremos del intervalo. Esos puntos suelen ser tan pocos que podemos enumerarlos calcular los valores correspondientes de la función para ver cuáles son el maor el menor. Ejemplo: Hallar máimo mínimo absolutos de f en el intervalo ( ) =, [,] La función es derivable en todo su dominio, así que el único punto crítico es donde f (c)==. El punto crítico es =. Por lo tanto los valores a analizar son el los etremos del intervalo, es decir =- =. f(-)=4 f()= f()= Por lo tanto la función tiene máimo en =- mínimo en =. Teorema de Rolle: Supongamos que la función = f () es continua en todo punto del intervalo cerrado [a,b] derivable en todo punto del intevalo (a, b). Si f(a)= f(b)= entonces eiste al menos un punto c (a,b) tal que f (c)= Demostración: Como f es continua, toma valores máimo mínimo en [a,b]. Estos valores los toma en puntos críticos o etremos.

4 Matemática II 7 Como f es derivable en (a,b), los puntos críticos son sólo los puntos donde la derivada es, a que la derivada eiste en todos los puntos de (a,b). Caso ) Si el máimo o mínimo se da en un punto c del interior, entonces por el teorema anterior la derivada se anula en ese punto, f (c)= por lo tanto se cumple el teorema. Caso ) Si ni el máimo ni el mínimo se dan en el interior, quiere decir que ambos se dan en los etremos, por lo tanto f es una función constante en consecuencia f () = en todos los puntos del intervalo podemos tomar a c como cualquier punto del intervalo, por lo tanto se cumple el teorema también en este caso. Ejemplo: La función polinomial f ( ) = es continua en todos los puntos del intervalo [-,] derivable en (-,). 7 7 Veamos que f ( ) = ( ) = f () = () = Por lo tanto en virtud del Teorema de Rolle debe eistir un punto interior de derivada nula. Efectivamente f '( ) = f '( ) = = ± En este caso eisten dos puntos donde la derivada se anula - Teorema del valor medio: Supongamos que = f () es continua en un intervalo cerrado [a,b] derivable en (a,b). Entonces eiste al menos un punto c en (a,b) tal que: f '( c) = f ( b) f ( a) b a 4

5 Matemática II 7 Demostración: Graficamos f como una curva en el plano trazamos una recta que pasa por los puntos de coordinas (a,f(a)) (b,f(b)). a b Esta recta tiene ecuación: f ( b) f ( a) g( ) = f ( a) + ( a) b a La diferencia entre las gráficas de f g podemos epresarla como una función h()=f()-g() La función h es continua en [a,b] derivable en (a,b), por ser suma de continuas derivables además como f ( b) f ( a) h( ) = f ( ) f ( a) ( a) b a f ( b) f ( a) h( a) = f ( a) f ( a) ( a a) = b a f ( b) f ( a) h( b) = f ( b) f ( a) ( b a) = b a Por lo tanto h cumple las hipótesis del teorema de Rolle, entonces eiste un punto intermedio c donde la derivada de h es cero : h '( ) = f '( ) f '( c) = f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) h'( c) = f '( c) = b a Como queríamos demostrar. Ejemplo: Si tomamos nuevamente la función f ( ) =, en el intervalo [,], sabemos que es continua en [,] derivable en (,). Además f()= f()=4 por lo tanto en virtud del Teorema del Valor Medio debe eistir un punto c en (,) en el que f '( c) = f ( b) f ( a) b a, como f '( ) = f '( c) = c 5

6 Matemática II 7 Por lo tanto c debe cumplir que 4 c = = c = 4 Corolario : Las funciones con derivada cero son constantes Si una función f definida en un intervalo I es tal que f ()= en todo punto de I entonces f() = c para todo en I, donde c es una constante. La demostración se deja como ejercicio. La idea es tomar dos puntos cualesquiera en I, utilizando el teorema del valor medio, mostrar que la función toma el mismo valor en ambos puntos por lo tanto en todos. Corolario : Las funciones con derivadas iguales difieren en una constante Si f ()=g () en todo punto de un intervalo I, entonces eiste una constante c tal que f()=g()+c para todo en I. La demostración se deja como ejercicio. La idea es construir una función h, como diferencia de f de g en consecuencia de derivada nula. Luego aplicar el corolario. Ejemplo: Hallar una función f() cua derivada sea sen cua gráfica pase por el punto (,). Si consideramos g() = - cos, su derivada es sen, luego f tiene la misma derivada que g. Por lo tanto, el corolario asegura que eiste una constante c tal que f() = g() + c, o lo que es lo mismo f() = - cos + c. El valor de c puede encontrarse a partir de la condición f()=: f() = - cos + c =, lo que implica +c =, por lo tanto c =. Así, la función f buscada es: f () = - cos +. 6

7 Matemática II 7 Actividades: )Hallar los etremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos indicados. Justifique indicando el procedimiento utilizado. Grafique. 5 a f en b f = + + en. ( ) = + [, ]. ( ) [,5] c f en. ( ) = ( ) 4 [,5] d. f ( ) = + en [,] ( ) 4 si 5 e. f ( ) = si >5 en [,6] f. f ( ) = ( ) 4 si 4 ( 6) + 4 si >4 en [,8] ) Se tuerce un trozo de alambre de longitud L, de manera que forme un rectángulo. Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máima? ) Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de cartón de 8 cm de largo por 5 cm de ancho, cortando cuadrados en las esquinas doblando los lados hacia arriba. Se desea conocer la longitud de los cuadrados que se deben cortar en las esquinas para que la caja tenga el maor volumen posible. 4) Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un río se desea delimitarlo de manera que no se utilice cerca de lo largo de la orilla. Si el material para la cerca de los lados cuesta $6 por metro colocado, $54 por metro colocado para el lado paralelo al río, determine las dimensiones del terreno de maor área que pueda limitarse con $54 de cerca. 5) Determine un número en el intervalo [/, ] tal que la suma del número su inverso sea un a) mínimo b) máimo. 6)Determine un número del intervalo [-,] tal qu la diferencia entre el número su cuadrado sea a) mínimo b) máimo 7) La función f ( ) derivada? Justifique = tiene un mínimo en =. Contradice esto el Teorema de la primera 8) Por qué la conclusión del Teorema de la primera derivada podría no cumplirse si c fuera un punto etremo de la función? 9) Hallar los valores máimos mínimos locales en los dominios dados e indicar en qué puntos se alcanzan. Indicar además cuáles de estos valores son máimos o mínimos absolutos. 7

8 Matemática II 7 a f en. ( ) = 4 [,] b f en. ( ) = 4 [, ) c f en. ( ) = 4 [, ) d. f ( ) en = R ) Indicar cuáles de las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del Teorema del Valor Medio cuáles no. Justifica: a. f ( ) = en [,8] b. f ( ) = ( ) en [,) c. f ( ) = sen si π < si = ) La función f ( ) = si < si = Vale en = en =, su derivada nunca es. Contradice el Teorema de Rolle? Justifica. ) a) Hallar los ceros o raíces de los siguientes polinomios los de sus primeras derivadas: i) f ( ) = 4 ii f = + + ) ( ) 8 5 iii f ) ( ) = ( ) ( ) b) Utiliza el Teorema de Rolle para demostrar que entre cualesquiera dos ceros de n n n n + a a + a ha un cero de n + ( n ) a a n n ) Analice si las hipótesis del Teorema de Rolle son satisfechas por la función f en el intervalo indicado. Interprete gráficamente. f ( ) = sen( ) en [, π ] 4) Verifique que se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio para las siguientes funciones encuentre el valor de c correspondiente: a. f ( ) = 4cos en [ π, π ] b. f ( ) = sen en [, π ] 8

9 Matemática II 7 Definiciones:. Funciones crecientes decrecientes Sea f() definida en un intervalo I dos puntos cualesquiera en I: f() es creciente en I si < f() es decreciente en I si < ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f Corolario : Supongamos que f es continua en [a,b] derivable en (a,b) Si f > en cada punto de (a,b) entonces f es creciente en [a,b] Si f < en cada punto de (a,b) entonces f es decreciente en [a,b] Demostración: Sean dos puntos cualesquiera en [a,b], con <, entonces por el Teorema del Valor medio, eiste un punto c en [, ], tal que f ( ) f ( ) f '( c) = ( ) f '( c) = f ( ) f ( ) Si f >, como ( ) >, se tiene que f ( ) f ( ) en consecuencia f es creciente Si f <, como ( ) >, se tiene que f ( ) f ( ) en consecuencia f es decreciente Ejemplo: Sea f ( ) ( ) =, entonces f () = (-) = - Analizamos el signo de la derivada: -< en (-,) -> en (,+ ) Por lo tanto en virtud del corolario la función es decreciente en (-,) creciente en (,+ ). En efecto, la gráfica de f es: 9

10 Matemática II 7 Como se observa en el siguiente gráfico una función puede tener valores etremos locales en algunos puntos críticos en otros no. La clave es el signo de f en un entorno inmediato del punto. Conforme se mueve de izquierda a derecha, los valores de f crecen donde f > decrecen donde f <. En los puntos donde f tiene un valor mínimo, vemos que f < a la izquierda f > a la derecha de un entorno del punto. Esto significa que la curva es decreciente a la izquierda de un valor mínimo creciente a la derecha. Si el punto donde f tiene un valor mínimo es un etremo del intervalo, sólo se considera un entorno a la izquierda o derecha según corresponda. Análogamente en los puntos donde f tiene un valor máimo, vemos que f > a la izquierda f < a la derecha de un entorno del punto. Esto significa que la curva es creciente a la izquierda de un valor máimo decreciente a la derecha. Ma absoluto f no definida Ma local f < f = No es valor etremo, f = No es valor f > Etremo,f = f < f > f < f > Min absoluto Pto etremo Min local f = Min local, pto etremo Estas observaciones conducen a un criterio para hallar etremos locales: Criterio de la primera derivada para etremos locales: Sea f una función continua sea c un punto crítico: Si f > para < c f < para >c, entonces f tiene un máimo local en c. Si f < para < c f > para >c, entonces f tiene un mínimo local en c. Si f no cambia de signo en c entonces f no tiene un valor etremo en c. Sea f una función continua en [a,b], entonces: Si f < para > a entonces f tiene un máimo local en a. Si f > para > a entonces f tiene un mínimo local en a. Si f < para < b entonces f tiene un mínimo local en b. Si f > para < b entonces f tiene un máimo local en b.

11 Matemática II 7 Ejemplo : Hallar los puntos críticos de f ( ) = ( 4). Identificar los intervalos en los cuales f crece o decrece. Hallar los valores etremos absolutos locales de f. La función f está definida para todos los valores reales, es una función continua. Escribimos la función 4 f ( ) = ( 4) = 4 hallamos su derivada: ( ) f '( ) = = ( ) = La derivada es nula en =, no está definida para =. Por lo tanto los puntos críticos son = =. Son los únicos puntos en los que f podría tener un valor etremo absoluto o local. Dividimos entonces el eje en intervalos : (,), (,) (, + ) analizamos el signo de f en esos intervalos, tomando cualquier valor de en cada uno (recordemos que entre dos cero consecutivos, f conserva su signo). Indicaremos en un cuadro el comportamiento de f, indicando con flecha hacia arriba cuando f crece con flecha hacia abajo cuando f decrece. (,) (,) (, + ) Signo de f Comportamiento de f Valores etremos No es valor etremo Min local absoluto

12 Matemática II 7 Ejemplo : Hallar los puntos críticos de f ( ) 5 crece o decrece. Hallar los valores etremos absolutos locales de f. 5 =. Identificar los intervalos en los cuales f La función f está definida para todos los valores reales, es una función continua. Hallamos su derivada: f 4 '( ) = = ( ) La derivada es en =, en =- en =. Por lo tanto los puntos críticos son =, = - =. Son los únicos puntos en los que f podría tener un valor etremo absoluto o local. Dividimos entonces el eje en 4 intervalos: (, ), (, ), (,) (, + ) analizamos el signo de f en esos intervalos. Indicaremos en un cuadro el comportamiento de f, indicando con flecha hacia arriba cuando f crece con flecha hacia abajo cuando f decrece. (, ) (,) (,) (, + ) Signo de f Comportamiento de f Valores etremos - Ma local No es valor Min local etremo,5 - -,5 Notemos que en este caso los etremos son locales, no ha etremos absolutos.

13 Matemática II 7 Actividades: 5) Hallar los intervalos de crecimiento decrecimiento de las siguientes funciones sus etremos locales, indicando si alguno de ellos es absoluto: a. f ( ) = ( 4) b f. ( ) = + 4 c. f ( ) = d. f ( ) = 4 + e. f ( ) = f. f ( ) = sen π g. f ( ) = cos π 6) Trazar la gráfica de una función que cumpla: a. f()=, f ()=, f ()> para los valores de menores que f ()< para los valores de maores que b. f()=, f ()= f ()< para todo c. tiene un mínimo local en (,) tiene un máimo local en (,) d. tiene máimos locales en (,) en (,) 7) Encontrar los puntos críticos de las funciones cuas derivadas se listan a continuación. Dar intervalos de crecimiento decrecimiento etremos: a. f '( ) = ( ) b f. '( ) = ( ) ( + ) c. f '( ) = ( ). Concavidad Hemos visto la importancia de la primera derivada para localizar etremos de una función, conocer parte de su comportamiento. Una función derivable en un intervalo abierto puede tener valores etremos sólo en los puntos críticos. Sin embargo una función puede tener puntos críticos que no sean etremos. Esta información se recupera de la derivada, como se ve en el ejercicio 7 basta conocer la derivada de una función para conocer valores etremos los intervalos donde la función crece o decrece.

14 Matemática II 7 Veremos ahora cómo determinar la manera en que la gráfica de f() se tuerce. Por ejemplo si observamos la gráfica de =, vemos que antes del después del la gráfica se tuerce en forma diferente. Es decir que cuando nos acercamos al cero por la izquierda las tangentes a la curva quedan siempre por encima de la curva, es decir que las pendientes de las tangentes decrecen, cuando nos movemos del origen hacia la derecha, las tangentes a la curva quedan siempre por debajo de la curva, es decir que las pendientes de las tangentes crecen. Estamos analizando entonces el crecimiento o decrecimiento de la derivada de f por lo tanto necesitaremos encontrar también intervalos de crecimiento decrecimiento de f. Definición: La gráfica de una función derivable = f () es cóncava hacia arriba en todo intervalo donde f es creciente, es cóncava hacia abajo en todo intervalo donde f es decreciente. Para analizar el crecimiento decrecimiento de f, usaremos el corolario del Teorema del Valor Medio para funciones dos veces derivables, es decir que sabemos que: f crece si f > f decrece si f <. Criterio de la segunda derivada para concavidad: Sea f una función dos veces derivable en un intervalo I: Si f > en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba. Si f < en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo. 4

15 Matemática II 7 Observación: Si analizamos ahora el comportamiento de f, para una función dos veces derivable, podemos aplicar el Criterio de la Primera derivada para f, diremos entonces que si f tiene un etremo en = c entonces f (c) =. Es decir que f cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente en el punto = c. Por el criterio de la segunda derivada, esto nos dice que f cambia de concavidad en = c. Definición: Un punto donde la gráfica de una función tiene una recta tangente la concavidad cambia se llama punto de infleión. Si c es un punto de infleión, entonces f (c) =, o bien, f (c) no está definida. Ejemplo : 4 Hallar los puntos críticos de f ( ) = 4 +. Identificar los intervalos en los cuales f crece o decrece. Hallar los valores etremos absolutos locales de f. Hallar posibles puntos de infleión los intervalos de concavidad. La función f está definida para todos los valores reales de es continua derivable Hallamos su derivada: f '( ) = 4 = 4 ( ) La derivada es en = en =. Por lo tanto los puntos críticos son = =. Hallamos la segunda derivada: f ''( ) = 4 = ( ) La derivada segunda se anula en = en =. Por lo tanto esos son los posibles puntos de infleión. Dividimos entonces el eje, teniendo en cuenta los puntos críticos los posibles puntos de infleión en 4 intervalos : (,), (,), (,) (, + ) analizamos el signo de f el de f en esos intervalos. Tomamos todos los puntos para hacer una sola tabla, sólo por una cuestión práctica, aunque a sabemos que en = no cambiará el crecimiento de f, también sabemos que en = no cambiará la concavidad. Indicaremos la concavidad de f con, cuando es cóncava hacia abajo con cuando es cóncava hacia arriba. 5

16 Matemática II 7 (,) (, ) (,) (, + ) Signo de f Comportamiento de f (crecimiento) Signo de f Concavidad de f Valores etremos No es valor etremo Es punto de Es punto de Puntos de infleión infleión infleión Min local 4 4. Estudio gráfico de funciones: Para graficar funciones debe hacerse un estudio general que involucra todos los aspectos estudiados hasta ahora. En los ejemplos previos las funciones tomadas han sido elegidas para que puedan ser graficadas con el estudio de la primera segunda derivada, pero veremos otros casos en los que hace falta analizar más elementos. Para el estudio general incluiremos los siguientes pasos Estudio determinación del dominio Estudio de la continuidad: puntos de discontinuidad eistencia de asíntotas verticales. Comportamiento en el infinito eistencia de asíntotas horizontales. Cálculo de la primera derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos críticos puntos etremos si los hubiera. 6

17 Matemática II 7 Cálculo de la segunda derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos de derivada segunda nula o donde esta no eiste. Determinación de los intervalos de crecimiento decrecimiento. Clasificación de los puntos críticos (máimos mínimos locales /o absolutos) Determinación de los intervalos de concavidad puntos de infleión. Intersecciones con los ejes coordenados. Con esta información realizamos la gráfica de la función, señalando las características escenciales que surgen del estudio. Ejemplo : Estudiar la función f ( ) = + + Estudio determinación del dominio: graficarla. La función no está definida en los puntos que anulan el denominador, por lo tanto hallamos las raíces de +, que son = =, por lo tanto Dom(f)= R -{,} Estudio de la continuidad: puntos de discontinuidad eistencia de asíntotas verticales: Podemos llevar la función a su forma estandar, a que es una función racional, escribiendo: f ( ) = + = + ( )( ) podemos simplificar a que = no pertenece al dominio. Analizamos entonces el comportamiento en = en = lim f ( ) = + =, lim f ( ) = + = ( ) ( ) + Entonces lim f ( ) =, por lo tanto f presenta una discontinuidad evitable en =. ( ) + lim f ( ) = + = = + ( ) a que el numerador tiende a el + numerador tiende a cero con valores positivos. ( ) + lim f ( ) = + = = denominador tiende a cero con valores negativos. a que el numerador tiende a el Por lo tanto no eiste el lim f ( ), presentando una discontinuidad inevitable en =. Decimos que en = ha una asíntota vertical. 7

18 Matemática II 7 Comportamiento en el infinito eistencia de asíntotas horizontales: ( 4 + ) lim f ( ) = lim + = lim = ( ) ( ) ( 4 + ) lim f ( ) = lim + = lim = ( ) + ( ) Por lo tanto f no presenta asíntotas horizontales, recordemos que para que esto ocurra los límites tendiendo a infinito deben ser números reales. Cálculo de la primera derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos críticos puntos etremos si los hubiera. f '( ) = ( ) por lo tanto el dominio de f es el mismo que el de f 8 7 ( ) f '( ) = = = ( ) ( ) + = las raíces de ese polinomio son : = + = Por lo tanto los puntos críticos son = + = Cálculo de la segunda derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos de derivada segunda nula o donde esta no eiste. f ( ) ''( ) = = ( ) ( ) 4 nuevamente tiene el mismo dominio que f Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de infleión: f ''( ) = ( ) = la segunda derivada no se anula para ningún punto del dominio, está definida para todos los puntos del dominio, por lo tanto no ha puntos de infleión. Determinación de los intervalos de crecimiento decrecimiento. Clasificación de los puntos críticos (máimos mínimos locales /o absolutos) Determinación de los intervalos de concavidad puntos de infleión. Estos puntos los analizamos juntos, dividiendo la recta real en los intervalos que quedan determinados con los puntos críticos, puntos de discontinuidad con los posibles puntos de infleión si los hubiera, en este caso tomamos sólo los puntos críticos los de discontinuidad: 8

19 Matemática II 7 (,) (, ) (, ) (, + ) ( +, + ) Signo de f Comportam. de f (crecimiento) Signo de f Concavidad de f Valores etremos Puntos de infleión Ma local No posee + Min local Concluimos que: la función es creciente en (,), (, ) en ( +, + ) la función es decreciente en (,) en (, + ) presenta un máimo local en (,4 ) presenta un mínimo local en ( +, 4 + ) la función es cóncava hacia arriba en (, ) la función es cóncava hacia abajo en (, ) la función no presenta puntos de infleión Intersecciones con los ejes coordenados: Eje : (). f = + = la curva pasa por el punto (,-/) Eje : 4 + f ( ) = + = = = +, = La curva pasa por los puntos ( +,) (,) Con esta información realizamos la gráfica de la función, señalando las características esenciales que surgen del estudio. 9

20 Matemática II 7 Ejemplo : Estudiar la función f ( ) = sen graficarla. Estudio determinación del dominio: La función está definida para todos los números reales por lo tanto Dom(f)= R Notemos que la función es impar a que sen = sen( ) Estudio de la continuidad: puntos de discontinuidad eistencia de asíntotas verticales: La función es continua en todo su dominio, a que: Por lo tanto no presenta asíntotas verticales. lim sen = sen Comportamiento en el infinito eistencia de asíntotas horizontales: La función es periódica por lo tanto oscila cuando tiende a infinito en consecuencia lim sen ± Por lo tanto f no presenta asíntotas horizontales. Cálculo de la primera derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos críticos puntos etremos si los hubiera. f '( ) = cos por lo tanto el dominio de f es el mismo que el de f Por ser una función periódica de período π, podemos tomar para el análisis el intervalo π [,π ]. Por lo tanto los puntos críticos son = = π

21 Matemática II 7 Cálculo de la segunda derivada determinación de su dominio. Determinación de puntos de derivada segunda nula o donde esta no eiste. f ''( ) = sen nuevamente tiene el mismo dominio que f Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de infleión, obtenemos: = = π Determinación de los intervalos de crecimiento decrecimiento. Clasificación de los puntos críticos (máimos mínimos locales /o absolutos) Determinación de los intervalos de concavidad puntos de infleión. π π (, ) (, π ) ( π, π ) ( π, π ) Signo de f Comportam. de f (crecimiento) Signo de f Concavidad de f Valores etremos π Ma local π π Min local Puntos de infleión punto de infleión Concluimos que: π la función es creciente en (, ) en ( π, π ) π la función es decreciente en (, π ) π presenta un máimo local en (,) presenta un mínimo local en (, ) π la función es cóncava hacia arriba en ( π, π ) la función es cóncava hacia abajo en (, π ) la función presenta un punto de infleión en =π Eje : Intersecciones con los ejes coordenados: f () = sen = la curva pasa por el punto (,)

22 Matemática II 7 Eje : f ( ) = sen = =, = π, = π La curva pasa por los puntos (,), (π,) (π,) Con esta información realizamos la gráfica de la función, señalando las características esenciales que surgen del estudio. - π π π π Como sabemos que la función es periódica de período π, podemos etender nuestro gráfico a todo el dominio: -

23 Matemática II 7 Actividades: 8) Realizar el estudio de las siguientes funciones siguiendo los pasos analizados en los ejemplos graficar: a. f ( ) = ( 4) b f = +. ( ) 4 c. f ( ) = d. f ( ) = 4 + e. f ( ) = f. f ( ) = cos g. f ( ) = sen π h. f ( ) = cos π i. f ( ) = tg ln j. f ( ) = k f =. ( ) ln( ) l. f ( ) = e m. f ( ) = e 5. Aproimación de funciones Aproimación constante: Sea f una función continua definida en un intervalo abierto I que contiene al punto, queremos estimar el valor de f() con en I sólo conocemos f( ). Una primera aproimación para valores de cercanos a consiste en decir que f ( ) f ( ). Evidentemente con esta aproimación cometemos un error que está dado por R ( ) = f ( ) f ( ) Y dado que f es continua en I se tiene: lim R ( ) = lim[ f ( ) f ( )] = lim f ( ) f ( ) = Por lo tanto cuando es cercano a el error es pequeño. Ejemplo: Supongamos que queremos aproimar el valor de 46. Definimos la función f ( ) = conocemos f (44) = 44 =. Decimos entonces que el valor aproimado es, es decir que f (46) f (44) =

24 Matemática II 7 Si lo comparamos con el valor dado por la calculadora observamos que R(46)=.8 Aproimación lineal: Sea f una función continua derivable en un intervalo abierto I que contiene al punto. Queremos estimar el valor de f(), con en I, conocemos los valores f( ) f ( ). De todas las funciones lineales que pasan por el punto (, f ( )) queremos obtener la que mejor aproime la función para valores de cercanos a. Geométricamente podemos ver que la recta que mejor aproima la función es la recta tangente a la curva en. f() L() Luego, la función dada por: L( ) = f ( ) + f '( )( ) es la llamada linealización de f(), siendo la gráfica de L() la recta tangente a la gráfica de f en =. La aproimación lineal establece que f ( ) L( ), siendo f ( ) = L( ) + R ( ) Entonces: R ( ) f ( ) L( ) lim = lim = f ( ) f ( ) f '( )( ) = = lim[ ] f ( ) f ( ) = f = lim[ '( )] f ( ) f ( ) = f = lim[ '( )] f ( ) f ( ) = f = lim[ ] '( ) = f '( ) f '( ) = Por lo tanto para valores de cercanos a, el error será pequeño. 4

25 Matemática II 7 Ejemplo: Hallar un valor aproimado de 46. Definimos la función f ( ) = conocemos f (44) = 44 =. Como f '( ) =, '(44), (44) f = 4 f = Usamos la aproimación lineal: f ( ) + ( 44) 4 46 = f (46) + (46 44) =.8... Tenemos entonces que 4 Comparando con el valor dado por la calculadora observamos que R(46)=.8, lo cual mejora la aproimación constante. Definición: Se llama diferencial de una función f() a la parte principal de su incremento lineal con respecto al incremento = d de la variable independiente. La diferencial de f se denota con df está dada por: df = f ()d La diferencial de f puede ser interpretada geométricamente como el incremento de la linealización de f en el punto (, f() ). El incremento de f entre ( + ) está dado por f = f ( + ) f ( ) El diferencial de f entre ( + ) está dado por : df = L( + ) f ( ) = f ( ) + f '( ) f ( ) = f '( ) = f '( ) d f(+ ) L(+ ) L()=f() f df + 5

26 Matemática II 7 Ejemplo: Hallar el incremento la diferencial de la función f ( ) = er procedimiento: f = f ( + ) f ( ) = ( ) ( ) ( ) = + + = 6 = = = (6 ) + Como hemos definido el diferencial de una función como la parte principal de su incremento lineal con respecto al incremento = d de la variable independiente, tenemos: df = (6 ) = (6 ) d do procedimiento: Como f '( ) = 6 df = f '( ) d = (6 ) d Aplicación de la diferencial para cálculos aproimados: Cuando iguales: es pequeño, la diferencial df de la función el incremento f son aproimadamente f df o f f '( ) Ejemplo: En cuánto aumentará aproimadamente el lado de un cuadrado, si su área aumenta de 9 9, m? m a Llamaremos al área del cuadrado, a que sobre esa variable conocemos el incremento. Definimos entonces : f ( ) = como el lado del cuadrado dependiendo del área. Tenemos los datos : = 9 =, Calculamos aproimadamente el incremento f f '(9) =, =, 6 9 f del lado del cuadrado: Concluímos que el lado del cuadrado aumentará en,6 m 6

27 Matemática II 7 Actividades: 9) Determine la linealización de las siguientes funciones: a f en. ( ) = = b. f ( ) = en = + ) Compruebe las siguientes aproimaciones lineales en = a. + + b. 8 4 ( + ) ) Hallar el incremento f la diferencial df de la función f para ( ) = 5 + = =, ) En cuánto aumenta aproimadamente el volumen de una esfera, si su radio de 5 cm se alarga en mm? 7