DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

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1 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva. La derivada también es positiva en,, 0 Di otro punto en el que la derivada es cero. La derivada también es cero en. Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa. La derivada también es negativa en, 5 Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que si é [a, b ], entonces f'( > 0. Por ejemplo, en el intervalo [ 5, ] se cumple que, si é [ 5, ], entonces f'( > 0.

2 Función derivada Continúa escribiendo las razones por las cuales g ( es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (. En el intervalo (a, b, f ( es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g( en (a, b. y f ( La derivada de f en b es 0: f'(b 0. Y también es g(b 0. a b En general: g( f'( 0 donde f ( tiene tangente horizontal. g( f'( > 0 donde f ( es creciente. g( f'( < 0 donde f ( es decreciente. a b y g( f'( Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba,, y, pero en otro orden. Eplica razonadamente cuál es la de cada una. B A C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece. A B C

3 UNIDAD Página 6. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a f ( b f ( + + tg c f ( ln d f ( + + tg tg e f ( f f ( ln + tg + g f ( h f ( log (sen cos i f ( sen + cos + j f ( sen + cos k f ( arc sen l f ( sen ( 5 + m f ( sen + + n f ( cos + ( a f'( ( + ( + ( + ( + b Utilizamos el resultado obtenido en a: f'( ( + ( ( + + c Utilizamos el resultado obtenido en a: f'( ( + ( + ( ( + + De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f ( ln ( ln ( +. Derivamos: f'( + + d f'( ( + tg ( + tg ( tg ( + tg ( + tg ( + tg [ tg + tg ] ( + tg e tg ( + tg ( + tg ( + De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a: f'( D [tg ] ( + tg ( + tg ( + tg ( + tg ( + tg

4 e Teniendo en cuenta lo obtenido en d: f'( ( + tg ( + tg ( + tg ( tg ( + tg tg + tg También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b. f f ( ln ln e (tg / f'( e tg + tg tg + g f ( ( + / f'( ( + / ln ln + h f ( log (sen cos [log (sen + log (cos ] cos sen f'( [ + ] cos sen cos ln 0 sen cos ln 0 sen De otra forma: ln 0 sen cos f ( log (sen cos sen log ( f'( cos ln 0 sen i f ( sen + cos + + f'( ln 0 ln 0 ln 0 tg cos sen sen cos ln 0 tg cos + cos j f'( + + sen + ( sen cos + cos + sen + sen k f'( l f'( cos ( 5 + ( 5 + m f'( (cos + sen + + cos + sen + +

5 UNIDAD + ( ( n f'( cos + ( [ sen + ( ] ( + ( cos +( sen +( ( 5 + ( (5 sen ( + ( ( + (. Halla las derivadas. a,. a y. a de las siguientes funciones: a y 5 b y cos c y sen + cos + a y 5 y' 5 ; y'' 0 ; y''' 60 b y cos y' cos sen y'' sen sen cos sen cos y''' cos cos + sen cos + sen c y sen + cos + + y' ; y'' 0; y''' 0. Calcula f'( siendo: f ( e 5 f ( e / / / e /5 e /0 e /0 5 /5 /5 5 e f'( 7/0 0 5 e Por tanto: f'( 5 e 60. Calcula f'(π/6 siendo: f ( (cos sen sen 6 f ( (cos sen sen 6 cos 6 sen 6 f'( cos Por tanto: π f'( 6 6cos 6 cos π 6 cos(π sen 5

6 5. Calcula f'(0 siendo: + f ( ln + + arc tg + f ( ln arc tg ln ( arc tg + f'( + / ( Por tanto: f'( Página 6. Estudia la derivabilidad en 0 de la función:, Ì f (, > Continuidad en 0 : f ( ( 0 f ( f ( f ( ( 0 Por tanto, f ( es continua en 0. 8 Derivabilidad en 0 : f'( ( f'( 8 f'( ( f'( Las derivadas laterales eisten y coinciden. Por tanto, f ( es derivable en 0. Además, f'(. 6

7 UNIDAD. Calcula m y n para que f ( sea derivable en Á: m + 5, Ì 0 f ( + n, > 0 Si? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en 0: f ( ( m f ( ( + n n f (0 5 Derivabilidad en 0: Para que f ( sea continua en 0, ha de ser: n f'( ( m m f'(0 8 0 f'( ( 0 f'( Para que sea derivable en 0, ha de ser: m 0 8 m 0 Por tanto, f ( es derivable en Á para m 0 y n 5. Página 6. Sabemos que la derivada de la función f ( es f'(. Teniendo en cuenta este resultado, halla la derivada de su función inversa: f (. (f ' ( Página 6. Comprueba que sen ( y y π + π pasa por el punto, y halla 6 la ecuación de la recta tangente en ese punto. Sustituimos, y π en la epresión: π sen ( π Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto π (,. π π 6 ( 7

8 Necesitamos obtener el valor de f'(, Derivamos sen ( y y + : 6 cos ( y (y + y' y y' + 0. Hallamos previamente f'(, y: y cos ( y + y' cos ( y yy' + 0 y'( cos ( y y y cos ( y π π Por tanto: f' (, y y cos ( y cos ( y y f'(, π π cos π + π + π cos π π/ π/ 8 π π 8 + π La ecuación de la recta tangente es: y π + π ( 8 + π. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a f ( (sen b g ( sen a f ( (sen 8 ln f ( ln (sen f'( f ( cos ln (sen + 8 f'( (sen [ ] ln (sen + cos sen sen b g( sen 8 ln g( sen ln g' ( g( cos ln + sen g'( sen [ ] cos ln + sen Página 70. Calcula Dy, dy, Dy dy: a y para 0, d 0 0,0 b y para 0, d 0 0, c y para 0 5, d 0 a Dy y (,0 y ( 6, ,050 dy y' d ( d, que evaluado en 0 y d 0 0,0 es: 5 0,0 0,05 Dy dy 0,000 8

9 UNIDAD b Dy y (, y (,866,7 0,5 dy y' d 0, 0,55 Dy dy 0,00 d, que evaluado en 0 y d 0 0, es: c Dy y (6 y (5 5,00 5 0,00 dy y' d d, que evaluado en 0 5 y d 0 es: 0,0 75 Dy dy 0,0000. A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un baño de plata de 0, mm de grosor. Calcula la cantidad de plata empleada (aproimadamente, a partir de la diferencial. V πr dv πr h π 7 0,0,088 Se emplean, aproimadamente,, cm de plata.. Calcula una aproimación de 6 dando los siguientes pasos: Llama f(. Obtén df para 0 5 y d 0. Obtén f(6 f(5 + df(5 para d 0. f ( df f'( d d Evaluando en 0 5 y d 0 : df (5 0,0 75 Así: f(6 f (5 + df ( ,0 5,0

10 . Procediendo como en el ejercicio anterior, halla, aproimadamente: a,0 b 5,8 c 66 a f ( ; 0 ; d 0 0,0 df f'( d d 0,0 0,0 f (,0 f( + df( + 0,0,0 b f( ; 0 6; d 0 0, df f'( d d ( 0, 0,05 6 f(5,8 f(6 + df(6 6 0,05,75 c f( ; 0 6; d 0 df f'( d d 0,07 6 f(66 f(6 + df(6 + 0,07,07 0

11 UNIDAD Página 75 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Reglas de derivación Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a y b y + a y' ( + ( ( + ( + b y' a y ( + / + b y + ( + ( ( ( + a y' ( / ( / ( + ( / ( + 5/ ( ( + 5 b y' ( + + ln a y b y 7e a y' (/ ln ln b y 7e e + e a y b y sen cos e e a y' (e e (e + e e + e e e (e e (e e b y' cos cos + ( sen sen cos sen cos (e e

12 5 a y b y ln ( + sen a y' cos b y' sen 6 a y arc tg b y cos ( π a y' / + (/ + / + + b y' cos ( π ( sen ( π cos ( π sen ( π cos ( π 7 a y sen b y tg a y' sen cos sen b y' ( + tg tg + tg tg 8 a y sen b y arc tg ( + a y' cos cos b y' + ( a y ( 7 b y log a y' 7( 6 ( 6 b y' ln 0 a y sen b y arc tg a y' sen cos sen cos sen ( + (/ / + / b y' ( 7 ln + a y cos 5 (7 b y + a y' 5cos (7 ( sen (7 70 cos (7 sen (7 b y' ln

13 UNIDAD a y (5 b y arc sen a y' (5 / 5 b y' / a y ln ( b y tg a y' ( 0 5 b y' ( + tg + tg a y ln ( b y arc cos a y' b y' ( 5 a y ln b y (arc tg a y ln ln ( / ln ( y' ( b y' (arc tg + arc tg + 6 a y log (7 + b y ln tg 7 a y' ln (7 + tg / b y' ( + tg ( ( + tg / tg / ( a y' e b y' ( 7 a y e b y ln ln 7 (7 + ln ln / / ln(/

14 8 a y b y arc sen a y' ln b y' ( ( + ( ( ( + ( + ( /( ( ( + ( + ( + a y 5 tg ( + b y + a y' 5 tg ( + [ + tg ( + ] 6 0 [tg ( + + tg ( + ] b y' ( a y tg b y + a y' ( + tg tg ( + tg tg + ( b y' ( / + ( + ( + ( + ( + / ( ( + ( ( + ( ( + / ( + ( + ( Otras técnicas de derivación Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos: a y ln b y ln ( tg + ( c y ln d y ln ( sen

15 UNIDAD a y ln [ln ( ln ( + ] + [ ] + y' + [ ] b y ln ( tg [ln + ln (tg ] + tg y' tg + cotg + tg tg tg [ ( c y ln ln ln ln ( ln y' ( ( d y ln ( sen ln + ln sen ln + ln sen cos y' ln + ln + sen ] [ tg ] Calcula la derivada de estas funciones implícitas: a + y b + y 6y y ( (y + c + d 6 8 e + y y f y + y a + y y' 0 y' y y b + yy' 6y' 0 y'(y 6 y' y 6 y yy' c yy' + 0 yy' 8 yy' 8 y' 8 8 6y 5

16 ( (y + y' d 0 8 (y +y' 0 7 y' 7( (y + e + y y' + y + y' 0 y' (y + y y' y y + f y + y y + yy' + y' yy' y' y y'(y y y' y y Aplica la derivación logarítmica para derivar: a y b y + c y e d y (ln + sen e y f y tg ( a Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y 8 ln y ln Derivamos como función implícita: y' ln + ln + y Despejamos y': y' (ln + b Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y + 8 ln y ( + ln Derivamos como función implícita: y' y ln +( + ln + + 6

17 UNIDAD Despejamos y': y' + ln + + c Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y e 8 ln y e ln Derivamos como función implícita: y' e ln + e e ln + y Despejamos y': y' e e ln + d Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y (ln + 8 ln y ( + ln (ln Derivamos como función implícita: y' ln (ln + ( + ln (ln + y ln Despejamos y': y' (ln + ln (ln + e Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln y que el logaritmo de un cociente es a ln ln a ln b: b y Derivamos como función implícita: y' y sen 8 ln y ln (ln (sen ln cos sen cos ln (sen ln + ln + sen sen Despejamos y': y' ( ( ( sen sen ( ( [ sen cos ln + sen f Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln n n ln : y tg 8 ln y tg ln [ ( ( ( + ln ( ] ] ( + ln 7

18 Derivamos como función implícita: y' y ( + tg ln + (tg Despejamos y': y' tg ( + tg ln + Obtén la derivada de las siguientes funciones de dos maneras y comprueba, operando, que llegas al mismo resultado: I Utilizando las reglas de derivación que conoces. IIAplicando la derivación logarítmica. a y b y ( c y sen cos + + [ tg ] d y + a I y' ( ( II ln y (ln ( + ln y' y + + ( + ( ( ( + ( ( ( + + ( ( + y' ( ( + ( b I y' + + ( + ( + ( II ln y [ln ( + ln ( ] y' y ( + ( [ ] [ ] ( + ( + y' ( + ( ( + ( 8

19 UNIDAD c I y' sen cos cos + sen cos ( sen sen cos cos sen II ln y ln (sen + ln (cos y' y cos sen + sen cos cos sen sen cos y' sen cos cos sen sen cos (cos sen sen cos sen cos cos sen d I y' ( II ln y ln ( + + ln y' y + + ( ( + y' ( Calcula el valor de la derivada de cada una de las siguientes funciones en 0: a g( e sen f( si f(0 0 y f'(0 b h( [sen f(] π si f(0 y f'(0 c j( ln f( si f(0 e y f'(0 a Aplicamos la regla de la cadena: g'( D [sen f(] e sen f ( f'( cos f( e sen f( g'(0 f'(0 cos f(0 e sen f (0 cos 0 e sen 0 b Aplicamos la regla de la cadena: h'( [sen f(] D [sen f(] [sen f(] f'( cos f( h'(0 [sen f(0] f'(0 cos f(0 π [ π sen cos ] (

20 c Aplicamos la regla de la cadena: D[ln f(] f'( j'( ln f( f( ln f( f'(0 j'(0 f(0 ln f(0 e ln e e e 6 Dadas f( y g( +, halla: a (f g' ( b(g f ' ( a (f g' ( f'[g(] g'( Como f( y g( + 8 f'( ; g'( (f g' ( ( + 6 ( También podemos hacer: (f g ( f [g(] f ( + ( + (f g' ( ( b (g f ' ( g'[f(] f'( 6 O bien: (g f ( g[f(] + 8 (g f ' ( 6 Página 76 Derivabilidad y continuidad 7 a Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f'(0, f'( y f'(: si < f ( + si Ó b Cuál es su función derivada? c En qué punto se cumple f'( 5? a Si?, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en : f ( ( 8 8 f ( ( + f ( es continua en f ( 0

21 UNIDAD Derivabilidad en : f'( f'( 8 f'( ( + f'( + 8 Las derivadas laterales eisten y coinciden. Luego, f ( es derivable en. Además, f'(. Así f( es continua y derivable en todo Á. f'(0 f'( + 7 b f ( < + Ó c Si f'( 5, entonces Ó. Es decir: f'( > f'( 5 8 Comprueba que f ( es continua pero no derivable en : ln ( si < f ( 6 si Ó Si?, la función es continua y derivable. Continuidad en : f ( ln ( ln 0 8 f ( ( f es continua en. f ( 0 Derivabilidad en : f'( f'( 8 8 f'( f'( f ( no es derivable en. Las derivadas laterales eisten pero no coinciden.

22 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones: e si Ì 0 a f ( si 0 < < + + si Ó + + si < b f ( + si Ì Ì + 8 si > a Si? 0 y?, la función es continua y derivable. Continuidad en 0: f ( e f ( f ( es continua en f (0 Continuidad en : f ( 8 8 f ( ( f ( Derivabilidad en 0: Los ites por la derecha y por la izquierda no coinciden. La función no es continua en. f'( e f'( f'( 0 0 f'( f ( no es derivable en 0. Las derivadas laterales eisten, pero no coinciden. Derivabilidad en : Como f ( no es continua en, f ( no es derivable en. b Si? y?, f ( es continua y derivable. Continuidad en : f ( ( f ( ( f ( es continua en. f ( 0

23 UNIDAD Continuidad en : f ( ( f ( ( f ( f ( no es continua en. Derivabilidad en : Los ites por la derecha y por la izquierda no coinciden. f'( ( + 0 f'( 8 8 f'( f'( f ( no es derivable en. Las derivadas laterales eisten, pero no coinciden. Derivabilidad en : f ( no es continua en 8 f ( no es derivable en. s0 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones: 0 si < 0 e si Ì 0 a f ( si 0 Ì < b f ( si > 0 si Ó a Continuidad: Si? 0 y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: 8 0 f ( f ( f (0 0 En : 8 0 f ( f (0. Por tanto, la función es continua en 0. 8 f ( 8 f ( f ( 8 f ( f (. Por tanto, la función es continua en. La función es continua en Á.

24 Derivabilidad: Si? 0 y? 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: 0 si < 0 f'( si 0 < < si > En 0: f'(0 0 f'(0 +. Por tanto, f ( es derivable en 0; y f'(0 0. En : f'(? f'( +. Por tanto, f ( no es derivable en. La función es derivable en Á {}. Su derivada es: 0 si < 0 f'( si 0 < si > b Continuidad: En? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos funciones continuas. En 0: f ( e f ( ( f (0 f ( f (0. Por tanto, la función es 8 0 continua en 0. La función es continua en todo Á. Derivabilidad: Si? 0 8 La función es derivable. Además: f'( e si < 0 si > 0 En 0: f'(0 f'(0 + Por tanto, f ( es derivable en 0 y f'(0. La función es derivable en todo Á. Su derivada sería: e si < 0 f'( si Ó 0

25 UNIDAD Definición de derivada Utiliza la definición de derivada para hallar f'( en los siguientes casos: a f ( + b f( + a f ( 8 f'( + h 8 0 f( + h f( h + h h + f( + h + h + h + f( + h+ h + h h f( + h f( h+ (h + (h + f( + h f( h h : h (h + h f'( (h + h 8 0 b f( + 8 f'( h 8 0 (h + f( + h f( h f( f( + h + h + h+ f( + h f( h + f( + h f( h h + h ( h + h + f'( h 8 0 h h 8 0 ( h + + h h + h 8 0 h ( h + + h 8 0 h + + Aplica la definición de derivada para hallar f'( en cada caso: a f( + b f( + a f( + 8 f'( h 8 0 f( + h f( h 5

26 f( + h +h + 8 f( + h f( + h h +h + h + + h ( + h f( + h f( h b f( + 8 f'( + 8 f'( ( + h ( + h f( + h ( + h + 8 f( + h f( ( + h + + ( + h ( ( +h + ( + f'( + + h h 8 0 +h + h + h 8 0 h 8 0 f( + h f( h h( ( +h h 8 0 h 8 0 [ h( ( +h ] h( + h h h( ( +h PARA RESOLVER Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: a y b y c y + d y + Mira el ejercicio resuelto. a Definimos la función por intervalos: + si < f( si Ó Derivamos: si < f'( si > f'( f'( + f'(? f'( + 8 No eiste f'( La función es derivable en Á {}. 6

27 UNIDAD b Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos en los que y 0: 6 ± si < f( 6 8 si Ì Ì si > Derivamos: + 6 si < f'( 6 si < < + 6 si > 6 ± f'( ( + 6 f'( + ( 6 f'(? f'( + 8 No eiste f'( f'( ( 6 f'( + ( + 6 f'(? f'( + 8 No eiste f'( La función es derivable en Á {, }. c Analizamos el signo de para definir la función por intervalos: + +( + + Así: si < f( si Ó Derivamos: 0 si < f'( si > f'( 0 f'(? f'( + 8 No eiste f'( f'( + La función es derivable en Á {}. si < 0 d Definimos la función por intervalos. Recordamos que. si Ó 0 Así: si < 0 f( + si Ó 0 7

28 Derivamos: si < 0 f'( + si > 0 f'(0 0 f'(0? f'(0 + 8 No eiste f'(0. f'( La función es derivable en Á {0}. Calcula los puntos de derivada nula de las siguientes funciones: 6 a y b y ( + ( + c y + + d y e ( e y e f y sen + cos a y' ( + ( + ( + ( + ( + y' y Se anula en el punto (,. ( + b y 6 8 y' 6( 8 ( y' ( no está en el dominio. 0 (no vale y La derivada se anula en el punto (,. c y' ( ( + + ( + ( + ( ( ( + + y' Se anula en los puntos (, y (,. 8 y 8 y 8

29 UNIDAD d y' e ( + e e ( + e y' y Se anula en el punto (0,. e y' e + e e ( + y' ( + 0 Se anula en los puntos (0, 0 y (, e. 0 8 y 0 8 y e f y' cos sen y' 0 8 cos sen 8 tg π Se anula en los puntos ( + πk, (, 5π + πk, π + πk 8 y 5π + πk 8 y, con k é Z. s5 a Calcula m y n para que f sea derivable en todo Á. 5 + m si Ì f ( + n si > b En qué puntos es f'( 0? a Para que sea derivable, en primer lugar ha de ser continua. Si?, la función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : f ( ( 5 + m + m 8 8 f ( ( + n + n f ( + m Para que sea continua en, ha de ser: + m + n; es decir: m n +. Derivabilidad: Si?, la función es derivable. Además: 5 si < f'( + n si >

30 En : f'( f'( + + n Para que sea derivable en, ha de ser + n, es decir, n. Por tanto, la función será derivable en todo Á si m y n. En este caso, la derivada sería: f'( 5 si < si Ó b f'( 5 si < ; pero > f'( si Ó 0 8 ; pero < Por tanto, f'( no se anula en ningún punto. s6 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á: a + si Ì f ( b si > Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si? 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios. En debe cumplirse que 8 f( f(: 8 f ( (a + a + 6 f ( ( b b 8 + f ( a Para que sea continua, ha de ser a + 6 b; es decir, a + b o bien b a. Derivabilidad: Si? 8 la función es derivable. Además: f'( a + si < b si > 0

31 UNIDAD En debe cumplirse que f'( f'( + : f'( a + f'( + b Para que sea derivable, ha de ser a + b; es decir, b a +. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b a b a + a a + 8 a 8 a b 7 Por tanto, para que f ( sea derivable en todo Á, ha de ser a y b 7. 7 Esta es la gráfica de una función y f (. Calcula, observándola: f'(, f'( y f'( En qué puntos no es derivable? En, la recta tangente a f es horizontal; su pendiente es 0. Por tanto, f'( 0. En, f es una función constante. Luego f'( 0. En, f es una recta que pasa por los puntos (, y (, 5. Calculamos su pendiente: 5 m. Por tanto, f'(. No es derivable en 0 ni en, porque en ellos observamos que f'(0? f'(0 + y f'(? f'( +. s8 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables. Alguna de ellas es derivable en todo Á? a b c a No es derivable en porque f'(? f'( + (tiene un punto anguloso ni en (no está definida la función. b Es derivable en todo Á. c No es derivable en 0 porque f'(0? f'(0 + (tiene un punto anguloso.

32 Página 77 s Calcula a y b para que f sea continua y derivable. si Ì 0 f ( a + b si > 0 Continuidad: En? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En 0: f ( ( f ( (a + b b Para que sea continua ha de ser b f (0 0 Derivabilidad: Si? 0 8 La función es derivable. Además: f'( si < 0 a si > 0 En 0: f'(0 f'(0 + a Para que sea derivable, ha de ser a. Por tanto, f ( será continua y derivable si a y b 0. 0 Halla el valor de la derivada de la función cos ( + y + sen ( y 0 en el π π punto,. ( Derivamos: sen ( + y ( + y' + cos ( y ( y' 0 sen ( + y y' sen ( + y + cos ( y y' cos ( y 0 sen ( + y + cos ( y y' (sen ( + y + cos ( y sen ( + y + cos ( y y' sen ( + y + cos ( y Calculamos la derivada en el punto (, : π π y' (, 0 π π

33 UNIDAD s Calcula la derivada de orden n de la función f ( e. f'( e f''( e e f'''( 8e e f n ( n e Lo demostramos por inducción: Para n, n y n, vemos que se cumple. Supongamos que es cierto para n ; es decir, que f n ( n e ; entonces, derivando, tenemos que: f n ( n e n e. Por tanto, la epresión obtenida es cierta para todo n. s Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j: f' g' h' j' a Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal? b Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado? c Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? a Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente horizontal en, pues f'( 0. j tiene dos puntos de tangente horizontal en y en, pues j'( j'( 0. g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal. b La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constante. Por tanto, es g'. c La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función polinómica de primer grado. Por tanto, es f'.

34 Cuál de los siguientes apartados representa la gráfica de una función f y la de su derivada f'? Justifica tu respuesta. a b c a La función en rojo es una recta que tiene pendiente. Por tanto, su derivada es y (la recta verde. Luego, estas gráficas sí representan a una función y su derivada. b La función en rojo es un polinomio de. grado, una parábola. Su derivada es una recta. En 0, la función tiene un máimo; la derivada se anula. Para que la recta fuera la derivada, tendría que pasar por (0, 0. No representan, por tanto, a una función y su derivada. c La función tiene que ser un polinomio de. er grado porque tiene dos etremos relativos. Su derivada será un polinomio de. grado, una parábola. En, la función tiene un máimo; la derivada se anula, f'( 0, y tendría que pasar por (, 0. Estas tampoco representan a una función y su derivada. Por tanto, solo la primera es válida. a Representa la función siguiente: f ( + + Observando la gráfica, di en qué puntos no es derivable. b Representa f'(. + si < a f ( + + si Ì Ì + + si > + si < si Ì Ì si > No es derivable en ni en. (Son puntos angulosos. 6 si < b f'( 0 si < < si >

35 UNIDAD s5 Halla los puntos de derivada nula de la función siguiente: f ( ( e f'( ( e +( e ( + e ( + e f'( 0 8 ± ± 5 6 Dada la función f ( e + ln (, comprueba que f'(0 0 y f''(0 0. Será también f'''(0 0? f'( e 8 f'(0 0 f''( e 8 f''(0 0 ( f'''( e 8 f'''(0? 0 ( 7 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función: si 0 ( f ( si? 0,? si si 0 si 0 ( f ( si? 0,? si? 0,? ( ( + + si si El dominio de la función es Á { }. Por tanto, en no es continua (ni derivable, pues no está definida. Continuidad: En? 0, y? : Es continua, pues las funciones que la forman son continuas en este caso. En 0 debe ser 8 0 f( f(0: 8 0 f (0 f ( No es continua en 0 (tiene una discontinuidad evitable. 5

36 En : f ( f ( 8 f ( f(. La función es continua en. En : No es continua, pues no está definida. Por tanto, f ( es continua en Á {, 0}. Derivabilidad: Si? 0,? y? : Es derivable. Además: f'( 6 ( + En 0 y en : No es derivable, pues no es continua. En : Sí es derivable, pues f'( f'( + f'(. 6 Por tanto, f ( es derivable en Á {, 0}. Además: 6 f'( si? 0 y? ( + s8 Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su dominio de definición: ln si 0 < Ì f ( a ( e si < Para que f ( sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si > 0,? : La función es continua, pues está formada por funciones continuas. En : f ( ( ln f ( [a( e ] 0 f( es continua en f ( 0 Derivabilidad Si > 0,? : es derivable. Además: ln + si 0 < < f'( ae si > En : f'( f ( es derivable en si a. f'( + a Luego, para que f sea derivable en todo su dominio de definición, ha de ser a. 6

37 UNIDAD s Estudia la derivabilidad en 0 de la siguiente función: + Ì 0 f ( > 0 Como f ( f ( f (0, la función es continua en Veamos si es derivable: Si? 0, tenemos que: si < 0 f'( si > 0 No eisten las derivadas laterales en 0. Por tanto, f ( no es derivable en 0. s50 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones: a f ( b f ( + a Definimos la función por intervalos: si < 0 f( si Ó 0 + Continuidad: Si? 0: Es continua, pues está formada por dos funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. Si 0: f ( f ( f (0 8 0 f ( f(0. Es continua en 0. Por tanto, es una función continua en Á. 7

38 Derivabilidad: Si? 0: Es derivable. Además: si < 0 ( f'( si >0 ( + En 0: f'(0? f'(0 + No es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. b Definimos la función por intervalos: si < 0 f( si Ó 0 El dominio de la función es Á {, }. Por tanto, en y en la función no es continua (ni derivable. Continuidad: Si? 0,?,? : La función es continua, pues está formada por funciones continuas (en estos puntos. En y en : No es continua, pues no está definida en estos puntos. En 0: f ( f ( f( f ( La función es continua en 0. f(0 0 Por tanto, es una función continua en Á {, }. Derivabilidad: Si? 0,?,? : Es derivable. Además: + si < 0 ( f'( si >0 ( 8

39 UNIDAD En y en : No es derivable, pues no está definida la función. En 0: f'(0? f'(0 +. No es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {, 0, }. e e 5 Prueba la igualdad siguiente: D arc tg e e e + e D [ ] arc tg e e + e + e ( [ (e + e (e + e (e + e + (e + e ] ( e + e e + e e + e 5 cos Demuestra que la derivada de la función y arc tg + cos con 0 Ì Ìπ es una constante. Recuerda la fórmula de tg. Si 0 Ì Ìπ 8 0 Ì Ì π cos 8 tg + cos cos Así: y arc tg arc tg ( tg + cos Por tanto: y' 5 Si f (, halla f', f'' y f'''. si < 0 f ( si Ó 0 Derivando: si < 0 f'( si Ó 0 (En 0, tenemos que f'(0 f'(0 + f'( si < 0 f''( 6 si Ó 0 (En 0, tenemos que f''(0 f''(0 + f''( si < 0 f'''( 6 si > 0 (En 0 no eiste f''', puesto que f'''(0 6? f'''(0 + 6.

40 5 Halla los puntos de derivada nula de la función y cos cos. y' sen ( sen sen + sen sen cos + sen sen ( cos + y' 0 8 sen ( cos + 0 sen k π cos cos π + πk 5π + πk ; con k é Z Página 78 CUESTIONES TEÓRICAS f ( 55 Sabes que 0 + h f ( 0 f'( 0. h 8 0 h A partir de esta epresión, justifica la validez de esta otra: f ( f ( 0 f'( Llamando h 0, tenemos que: Si h 8 0, entonces 8 0. Además, 0 + h f ( Por tanto: f'( h f ( 0 h 8 0 h 8 0 f ( f ( Relaciona los siguientes ites con la derivada de las funciones que aparecen en ellos: g( g(a f(h f(0 a b c a h 8 a g( g(a a g'(a 8 a a f (h f (0 b f'(0 h 8 0 h c f ( + f ( f'( 8 0 h f ( + f ( 0

41 UNIDAD s57 Una función polinómica de tercer grado, cuántos puntos de derivada nula puede tener? Es posible que no tenga ninguno? Es posible que solo tenga uno? La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica de segundo grado. Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto con derivada nula. Por ejemplo: f ( 8 f'( 0 Dos puntos f ( 8 f'( Un punto f ( + 8 f'( +? 0 para todo 8 Ninguno 58 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un punto de tangente horizontal. Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en un punto. 5 Puede haber dos funciones que tengan la misma derivada? Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea f'(. Sí. Por ejemplo, si f'(, podemos considerar: f ( + k, siendo k una constante cualquiera. 60 Demuestra que todas las derivadas de orden par de la función f ( sen se anulan en el origen de coordenadas. f I ( cos f II ( sen sen f III ( 8cos cos f IV ( 6sen sen En general, las derivadas de orden par son de la forma: f (n ( k sen, donde k es constante. Por tanto, se anulan todas en 0, puesto que sen 0 0. Como f (0 0, tenemos que todas las derivadas de orden par de f ( se anulan en el origen de coordenadas.

42 6 La función y, tiene algún punto de derivada nula? Y la función y? y 8 Dominio 0] «[, +@ y' 0 8 Pero no pertenece al dominio de definición de la función. Por tanto, no tiene ningún punto de derivada nula. Para la otra función: y 8 Dominio [0, ] y' 0 8 (Sí pertenece al dominio La derivada se anula en. 6 Sean f y g dos funciones derivables en Á, tales que: f (0 5; f'(0 6; f'( g (0 ; g' (0 ; g' (5 Prueba que f g y g f tienen la misma derivada en 0. Aplicamos la regla de la cadena: ( f g' (0 f'(g(0 g'(0 f'( g'(0 ( g f ' (0 g' ( f (0 f'(0 g'(5 f'(0 6 PARA PROFUNDIZAR 6 π Dada y sen, halla un punto en el intervalo 0, en el que la tangente π sea paralela a la cuerda que pasa por (0, 0 y,. La cuerda que pasa por (0, 0 y π (, Tenemos que hallar un punto del intervalo ( 0, función sea igual a : π ( tiene pendiente: m. π/ π π ( en el que la derivada de la y' cos é ( 0, π π 8 0,88

43 UNIDAD 6 Prueba, utilizando la definición de derivada, que la función: f ( ( es derivable en y no lo es en. f( +h f( f'( h h 8 0 ( ( + h 0 f'( h 8 0 h ( + h ( h 8 0 h ( f( + h ( h ( + h f( 0 f( + h f( f'( h h 8 0 ( h h ( h ( h ( h h 8 0 h h 8 0 h 8 no eiste f'( 0 ( h h h 0 h ( h 8 0 ( f( + h ( + + h ( + h ( + h h h f( ( + ( 0 sen + si? 0 s65 f ( k si 0 Hay algún valor de k para el cual f ( sea continua en 0? Continuidad: Debe cumplirse que f ( f ( f ( sen ( f (0 k La función será continua en 0 si k. 66 Halla la derivada n-ésima de las funciones siguientes: a y e a b y c y ln ( + a y' a e a ; y'' a e a ; y''' a e a ; y n a n e a Lo demostramos por inducción: (para n,, se cumple.

44 Si y n a n e a, derivando obtenemos: y n a a n e a a n e a, como queríamos demostrar. b y' ; y'' ; y''' 6 ; y n Lo demostramos por inducción: (para n,, se cumple. Si y n, derivando obtenemos: y n ( n (n! ( n ( n n!, como queríamos demostrar. n + c y' ; y'' ; y''' ; y n + ( + ( + ( n (n! n ( n n! n + n + Lo probamos por inducción: (para n,, se cumple. ( n (n! ( + n Si y n ( n (n! ( + n, derivando, obtenemos: y n ( n (n! ( (n ( n (n!, como queríamos ( + n ( + n demostrar. 67 Considera la función: n sen (/ si? 0 f ( 0 si 0 siendo n un número natural. a Demuestra que f es derivable en 0 para n. b Demuestra que f no es derivable en 0 para n. f(0 + h f(0 h sen (/h 0 a f'(0 h sen (* 0 h h h h 8 0 (* Tenemos en cuenta que Ì sen Ì. h Por tanto, f es derivable en 0 para n. f(0 + h f(0 h sen (/h 0 b f'(0 sen h h h 8 0 h 8 0 h 8 0 Este ite no eiste (el valor de sen va oscilando entre y. h Por tanto, f no es derivable en 0 para n. ( ( h 8 0 h 8 0 ( ( h

45 UNIDAD 68 Prueba que eiste un punto de la curva: f ( e + arc tg cuya tangente (en ese punto es paralela a la recta y +. Aplica el teorema de Bolzano a la función g( f' (. La pendiente de la recta y + es m. Tenemos que probar que eiste un punto de la curva f ( tal que f'(. f'( e + + Consideramos la función g( f'( ; es decir: g( e + + g(0 < 0 5 Tenemos que: g( e 0, > 0 g( es una función continua en [0, ] Aplicando el teorema de Bolzano, sabemos que eiste un punto c é (0, tal que g(c 0. Es decir, f'(c 0; o bien f'(c, como queríamos probar. Página 7 6 Comprueba en cada caso que f ( verifica la ecuación indicada: a f ( e sen b f ( ln f''( f'( + f ( 0 f' ( + e f ( a f'( e sen + e cos f''( e sen + e cos + e cos e sen e cos f''( f'( + f ( e cos e sen e cos + e sen 0 Por tanto: f''( f'( + f ( 0 De otra forma: f'( e sen + e cos f ( + e cos f''( f'( + e cos e sen f'( + e cos e sen + e sen e sen f'( + (e sen + e cos e sen f'( + f'( f ( f'( f ( Por tanto: f''( f'( + f ( 0 + 5

46 b f ( ln ln ( + ln( + f'( + + f'( + + e ln ( e f ( Por tanto: f'( + e f ( s70 Una persona camina, a la velocidad constante de m/s, alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 0 m de altura. Sabiendo que la persona mide,70 m, calcula: a La longitud de la sombra cuando la persona está a 5 m de la base del farol. b La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar. a 0 m 5 m,70 m s Sea s la longitud de la sombra. Por semejanza de triángulos: 0,7 8 0s,7(5 + s 8 0s 8,5 +,7s s s 8 8,s 8,5 8 s,0 m La sombra mide,0 metros. b El espacio recorrido a los t segundos es t. Veamos cómo varía la sombra: 0,7 5,t 8 0s 5,t +,7s 8 8,s 5,t 8 s t + s s 8, Esta es la función que nos da la longitud de la sombra según el tiempo trans currido desde que se empieza a caminar. La velocidad de crecimiento de la sombra será la derivada de s respecto de t: 5, s' 0,6 m/s 8, 6

47 UNIDAD 7 Un avión vuela horizontalmente a 6 km de altura. La ruta del avión pasa por la vertical de un punto P y se sabe que, en el instante en que la distancia del avión a P es 0 km, dicha distancia aumenta a razón de 6 km/minuto. Halla la velocidad del avión, que supondremos constante. Pasos: a Epresa d en función de : d 6 P b Obtén la epresión de la velocidad de alejamiento de P, d'(t, en función de y de '(t. c Despeja '(t 0 siendo t 0 el instante al que se refiere el enunciado y, por tanto, para el que conocemos algunos datos numéricos. '(t 0 es la velocidad del avión en ese instante y, por tanto, su velocidad constante. v constante 0 km 6 km d(t 6 km P 8 km (t a d + 6 b d(t ((t + 6 La velocidad es la derivada de d(t: d'(t (t '(t ((t + 6 (t '(t ((t + 6 c Como d (no vale En t t 0, d(t 0 0 km, d'(t 0 6 km/min y (t 0 8 km d'(t 6 8 '(t 0 0 ((t ,5 km/min (t El avión va a 7,5 km/min; es decir, a 50 km/h. 7

48 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla la función derivada de las siguientes funciones: + a y ( + b y arc tg c y ln (ln d y e y (tg f + y y 0 + a y' + ( ( 6 b y' + ( +( ( ( D ( c Aplicando las propiedades de los logaritmos: y ln (ln D (ln / ln (ln 8 y' ln ln d Epresando la raíz como potencia: ln y 8 y' D ( ln e Aplicamos la derivación logarítmica: y' D (tg ln y ( ln (tg 8 ln (tg + ( 8 y tg f Derivamos implícitamente: y' + tg 8 ln (tg + ( 8 y tg ( ( + tg 8 y' ln (tg + (tg tg (tg ln (tg + ( ( tg (tg + y y yy' y y' 0 8 (y y' y 8 y' y y [ ( + + ln ] 8

49 UNIDAD. Aplica la definición de derivada para hallar f'( siendo f(. f( ( +h f( + h f( ( +h ( +h f( + h f( h h f'( h ( + h h h 8 0 h 8 0 h h ( + h. Dada la función f(, defínela por intervalos y halla: a f'( bf''( Representa f'( y f''(. f( si < 0 si Ó 0 si < 0 a f'( si > 0 Como f'(0 f'(0 + 0, la función es derivable en 0. si < 0 b f''( si > 0 No eiste f''(0, ya que f''(0? f''(0 + f' f''. Estudia la derivabilidad de la función f ( y calcula f'(. f'( f ( es una función continua en Á. f ( es derivable en Á {0} (en 0 no eiste la derivada. f'(

50 5. Estudia la continuidad y la derivabilidad de: + si Ì f ( + si > Eiste algún punto en el que f'( 0? Represéntala gráficamente. Continuidad: En? : La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : f ( ( f ( f (. 8 f ( ( Por tanto, la función es continua en. f ( La función es continua en todo Á. Derivabilidad: Si? : La función es derivable. Además: + si < f'( si > En : f'( f'( + La función no es derivable en. Por tanto, la función es derivable en Á {}. Puntos en los que f'( 0: f'( + si < f'( si > 8 f'(? 0 si > Por tanto, la derivada se anula en. Gráfica de f (: 50

51 UNIDAD 6. Halla a y b para que f ( sea continua: + a si < f ( a + b si Ì < 0 + si 0 Ì Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f. Si? y? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios. En : f ( f ( f ( a + b En 0: 8 8 ( + a + a (a + b a + b Para que sea continua, ha de ser + a a + b; es decir: b a f (0 f ( 8 0 (a + b b f ( ( Para que sea continua, ha de ser b. Por tanto, f ( será continua si a y b. Para estos valores, queda: + si < f ( + si Ì < 0 ; es decir: f ( + si 0 Ì + si < 0 + si Ì 0 Derivabilidad: Si? 0: Es derivable. Además: f'( si < 0 6 si > 0 En 0: f'(0? f'(0 + 0 La función no es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 5

52 7. Observando la gráfica de esta función f, estudia su derivabilidad. Halla si eisten f'(, f'(0, f'(. f es discontinua en. Por tanto, no es derivable en. En observamos que f'(? f'( + : tampoco es derivable. Luego f es derivable en Á {, } f'( 0 porque en ese punto la función es constante. f'(0 0 porque en 0 la tangente es horizontal. f'( porque es la pendiente de la recta que pasa por (, y (, 0: 0 m 5