Definición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se han obtenido de Selectividad.

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1 Definición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se an obtenido de Selectividad Halla, utilizando la definición, la derivada de la función f ( ) en el punto = Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto f ( ) f () La derivada pedida vale: f () lím 0 f ( ) ; f ( ) ( ) 0 ( 4 ) f ( ) f () = ( ) ( 4 ) 0 Por tanto: f ( ) f () f () lím 0 lím lím Derivando utilizando las reglas se tiene: f ( ) ( ) ( ) Si =, f ( ) ( ) Efectivamente, coinciden Aplicando la definición demuestra que la función f ( ) no es derivable en = Da también un razonamiento gráfico, Como se sabe: f ( ) =, Haciendo las derivadas laterales en = se tiene: f ( ) f () Por la izquierda: f ( ) lím lím lím f ( ) f () Por la dereca: f ( ) lím lím lím Como no coinciden, la función no es derivable en = En la representación gráfica puede observarse que la función tiene un pico en =

2 Aplicando la definición, determina los valores de a y b para que la función si 0 f ( ) sea derivable en el punto = 0 a b si 0 Representa gráficamente la función allada Continuidad: Si 0, Si 0 +, f ( ) 0 f ( ) a b b b = 0 Derivabilidad: Por la izquierda: f ( ) f (0) f (0 ) lím lím 0 0 Por la dereca: f ( ) f (0) a b a f ( 0 ) lím lím lím a a = Por tanto, la función pedida es f ( ) si si 0 0 Su gráfica, que se obtiene dando valores es la siguiente

3 4 Una persona camina a la velocidad constante de m/s alejándose orizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 0 m de altura Sabiendo que la persona mide,70 m, calcular: a) La longitud de la sombra cuando la persona está a m de la base del farol b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar La situación puede esquematizarse en el siguiente dibujo a) Si s es la longitud de la sombra cuando está a m, por el teorema de Tales se tiene: 0 s 0s 8,, 7s,7 s 8, s, 04 m 8, b) A los t segundos de empezar a caminar la persona está a t m del farol Si la longitud de la sombra en ese instante mide m, se cumple: 0 t, t 0, t, 7 m,7 8, La variación de la sombra (velocidad de crecimiento) en el instante t viene dada por la d, derivada de con respecto a t, m/s dt 8, Un incendio se etiende en forma circular uniformemente El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de,8 m/min a) Obtener el área quemada en función del tiempo t transcurrido desde el comienzo del incendio b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance 4 m El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de,8 m/min significa que dr,8 dr, 8dt r, 8t dt Con esto: a) El área quemada en función de t será S r,8 t,4t ds b) La velocidad de crecimiento del área viene dada por 6, 48t dt El radio alcanza los 4 m cuando 4 =,8t t = minutos ds() Por tanto, la velocidad de crecimiento en el instante t = será 6,48 6 dt

4 4 Práctica de derivadas 6 Halla la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( ) 4 c) f ( ) 4 d) 4 f ( ) e) y 4 f) y g) y ) y ( ) 4 a) f ( ) ( 8) b) f ( ) ( 4) ( )( 4) ( 8 ) c) f ( ) = ( 4) ( 4) 6 0 d) f ( ) 4 6 ( ) ( )( ) e) y ( ) ( ) (6 ) 0 f) y ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 6 g) y ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) y = 6 ( ) ( ) ) 0 7 ( ) = 6 7 Para las funciones dadas en el problema anterior, alla el valor de f (0) en el caso en que esté definida Si no está definida, indica el motivo En principio, basta con sustituir a) f (0) = 0 b) f (0) = c), d) y f) No eiste La función no está definida en ese punto g) f (0) = 6 ) f (0) =

5 8 Deriva y simplifica: a) y ( ) b) y ( ) ( ) ( ) ( )( ) a) y ( ) ( ) b) y ( ) = ( y = / ) ( ) / (0 ) (0 ) 9 Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0 a) ( ) 0 =, = / o = 0 En los tres puntos allados ay dificultades En = / la función no está definida Por tanto, en ese punto no es derivable En = ay problemas, pues la función sólo está definida por la izquierda Por tanto, en ese punto la función no es derivable El razonamiento es análogo para = 0, donde sólo esta definida por la dereca En consecuencia, la derivada no se anula nunca (0 ) b) 0 = / 0 Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): 7 a) y log(4 ) b) y log( ) c) f ( ) log d) f ( ) log 8 a) y log e 4 7 b) y log( ) 7 log( ) y 7 c) f ( ) log f ( ) log log f ( ) log e d) f ( ) loge

6 6 Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): a) y ln 6 6 b) y ln( ) c) f ( ) lncos d) f ( ) lncos 6 6 a) y ln ln( ) y b) y = 6 6 ln( ) 6 6 ( ) ln( ) sen ( f ( ) ln cos f ( ) tag cos sen f ( ) ln cos f ( ) tag cos c) f ) lncos d) Aplicando las fórmulas de derivación y las propiedades de los logaritmos, calcula, simplificando el resultado, las siguientes derivadas: a) y ln b) y ( ) ln( ) c) y ln d) y log a) y ln 6 = ln( 6) / ln( 6) y b) y ( ) ln( ) y ln( ) ( ) ln( ) c) y ln = ln ln( ) y 0 d) y log = 0 log y log e Aplicando logaritmos alla la derivada de: a) f ln e ( ) b) f ( ) e a) Aplicando logaritmos: ln ln f ( ) ln ln ln ln Derivando: f ( ) ln ln f ( ) ln f ( ) b) Aplicando logaritmos: Derivando: f ( ) e f ( ) e ln f ( ) ln e e ln e e e f ( ) e ( e e ) e

7 7 4 Deriva: ln( ) a) f ( ) ln( 4) b) f ( ) ( )ln( ) c) f ( ) a) f ( ) ln( 4) f ( ) ln( 4) = ln( 4) 4 4 b) ( ) ( )ln( f ) f ( ) ln( ) ( ) = ln( ) ( ) ln( ) ln( ) ( ) ( )ln( ) c) f ( ) f ( ) = 6 4 ( ) Deriva: a) d) y b) e y e) y e c) y e f) y e f ( ) ( ) e a) 6 y ln b) c) e) y e e ( ) e ( ) e ( ) ( ) y e e ( ) e d) y y ( e = ) e f) f ( ) e 6 Deriva: cos a) f ( ) e b) f ( ) cos e c) f d) f ( ) sen ( ) e) f ( ) sen ( ) f) f ( ) cos sen g) f ( ) ) f ( ) sen a) f ( ) cos e b) c) d) cos cos sen e = e sen f ( ) ) cose ( sen e e = f ( ) f cos ( sen ) = ( ) ( )( ) cos( e sen e cose 6 sen cos e) ( ) sen( ) cos( ) ( ) ) ( ) ( ) e ( ) cos f = 6( -)sen( ) cos( ) f) f ( ) ( ) sen sen g) sen cos ( ) sen ) f ( ) sen cos ( ) sen f

8 8 7 Deriva: a) y tag ( ) b) d) ( ) tag( ) f f) y tag ( ) c) y tag ( ) f ( ) tag a) y ( tag ( )) cos ( ) b) y ( ) ( tag ( ) ) 4 c) y tag ( )( tag ( )) = tag ( ) tag ( )) d) f ( ) tag( ) ( tag ( )) f) f ( ) tag tag = 4tag tag 8 A partir de la derivada de la tangente alla la de f ( ) cotag Halla también la derivada de y cotag ( ) cos Por definición de cosecante: f ( ) cotag = sen sen sen cos cos Derivando: f ( ) (sen ) sen cosec Para y cotag ( ) y (6 ) cosec ( ) 9 Deriva: a) y arcsen b) y arcsen (cos) c) y arccos(cos ) d) y arccos( ) e) y arctag f) y arctag( e ) a) y 6 sen sen b) y (cos ) sen Nota: Por definición y arcsen (cos) sen y = cos y = / o y = / Por tanto, y = ± sen sen c) y (cos ) sen Nota: Por definición y arcsen (cos) sen y = cos y = / o y = / Por tanto, y = ± d) y e) y ( ) ( ) f) e y e

9 9 0 Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: a) y ln sin b) y ln a) y ln sin y ln ln b) Aplicando logaritmos: y y ln Derivando: y ln ln y y y y / ln(sin ) ln sin y sin ln y ln ln ln cos cotag ln ln Calcula, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función: cos f ( ) ln cos ln Por las propiedades de los logaritmos: cos f ( ) ln f ( ) ln( cos ) ln( cos ) cos Derivando: sen sen ( cos )sen ( cos )sen f ( ) cos cos cos sen sen sen Halla, simplificando el resultado, la función derivada de 0 f ( ) arctag cos cos, para f ( ) Recordamos que si y arctag f ( ) y ( f ( )) Por tanto, sen( cos ) ( cos )( sen) f ( ) cos cos ( cos ) = cos cos cos sen cos sen = = = cos ( cos ) 4 cos cos cos sen sen sen = 4 cos cos cos sen cos De otro modo Una de las fórmulas de trigonometría es: tag cos cos En consecuencia, f ( ) arctag arctag tag f ( ) cos

10 0 Si ( ) f y g( ) sen alla la derivada de las funciones F( ) f ( g( )) y G( ) g( f ( )), aplicando la regla de la cadena Para F( ) f ( g( )) F ( ) f ( g( )) g ( ) Como f ( ), se tendrá que f ( g( )) g( ) sen Por otra parte g ( ) cos Por tanto, F ( ) f ( g( )) g ( ) = sen cos = 4sen cos Como ( ) cos Por otra parte f ( ) Por tanto, ( ) g ( f ( )) f ( ) g, se tendrá que G = ( ) cos( ) g ( f ( )) f ( )cos f ( ) ( ) cos( ) = 4 ( ) cos( 4 Halla la derivada n-ésima de f ( ) ln 4) De f ( ) ln f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 n ) 4 n) ( ) ( n )! f ( ) f ( ) n ) Nota: Si se escribe f ( ) f ( ) las sucesivas derivadas se obtienen con mayor facilidad, pues: f ( ) ( ) 4) 4 f ( ) ( )( )( )

11 Funciones definidas a trozos a) Calcula los valores de a y b para que la función si 0 f ( ) a cos si 0 a b si sea continua para todo valor de b) Estudia la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior a) Hay dos puntos conflictivos: = 0 y = En ambos casos la función está definida, siendo f(0) = a y f() = a + b Para que sea continua, además, debe tener límite en esos puntos y coincidir con su valor de definición En = 0: Si 0, f ( ) Si 0 +, f ( ) a cos a Ambos límites coinciden cuando a = En = : Si, f ( ) a cos a = Si +, f ( ) a b a + b = + b Ambos límites coinciden cuando b = La función continua es: si 0 f ( ) cos si 0 si b) Salvo en = 0 y =, su derivada es si 0 f ( ) sin si 0 si Para = 0: Si 0, f ( ) Si 0 +, f ( ) sin 0 Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en = 0 Para = : Si, f ( ) sin Si +, f ( ) Como las derivadas laterales coinciden, la función es derivable en = Por tanto, la función obtenida será derivable en R {0}

12 a, si 6 Dada la función f ( ) /( a), si a) Para qué valores del parámetro a es continua? b) Para qué valores de a es derivable? a) El único punto conflictivo es = Para que sea continua en = los límites laterales deben coincidir con su valor de definición Si, f ( ) a a Si +, f ( ) a a Como deben ser iguales: a a a 0 a = o a = a La función es continua cuando a = o a = b) Será derivable en = si las derivadas laterales coinciden: f ( ) = f ( + ) Salvo en = la función derivada es: a, si f ( ) /( a ), si Si, f ( ) a a Si +, f ( ) a a Son iguales cuando a a 0 a = o a = a Por tanto, la función es derivable sólo para a = Observación: Para a = la función es continua pero no derivable Para a = la función no es continua, luego tampoco puede ser derivable

13 sen si 0 7 Dada la función f ( ) a b si 0 a) Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f ()? b) Determina a y b para que f() sea derivable en = 0 a) El único punto conflictivo es = 0 Continuidad en = 0: Si 0, f() Si 0 +, f() b b = sen si 0 Por tanto, para cualquier valor de a, f ( ) es continua a si 0 b) Salvo en = 0, la derivada de la función es: cos si 0 f ( ) a si 0 Derivabilidad en = 0: Si 0, f () Si 0 +, f () a a = sen si 0 La función f ( ) es continua y derivable en todo R si 0 sen( ) si 0 8 Dada la función: f ( ) a si 0 Eisten valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real? En cualquier caso razonar la contestación y si es afirmativa encontrar dicos valores El único punto que presenta dificultades es = 0 En ese punto ay que estudiar, en primer lugar la continuidad, después la derivabilidad Continuidad en = 0: Si 0, f() = sen 0 Si 0 +, f ( ) a 0 Como los límites laterales coinciden, la función es continua para cualquier valor de a Derivabilidad cos si 0 Salvo para = 0, la función derivada es f ( ) a si 0 Si 0, f () = cos Si 0 +, f ( ) a Como las derivadas laterales son iguales, independientemente del valor de a, la función dada es derivable para cualquier valor de a 9 En qué puntos no son derivables las funciones:

14 4 a) f ( ) b) f ( ) cos En cada caso indica el porqué a) La función f ( ) puede definirse a trozos así: f ( ) 0 0 Su derivada, salvo en = y en = 0, es: f ( ) 0 0 En =, f ( ) f ( ) no es derivable en ese punto En = 0, f ( 0 ) f (0 ) no es derivable en = 0 Nota: Si se ace su gráfica puede observarse que en esos puntos la función presenta sendos picos b) f ( ) cos, cuya gráfica es no es derivable en k cos Al mismo resultado se llega si definimos f ( ) cos = cos Naturalmente la función se repite con período / /, / / 0 Se considera la función f() = arctag Demuestra que eiste al menos un número (0, ) tal que f () = f() = arctag f ( ) Consideramos aora la función F( ) f ( ) Esto es, F( ) Esta función cumple las ipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [0, ], pues es continua en él y además, F(0) = y F ( ) En consecuencia, eiste un punto (0, ) tal que F() = 0 Pero F() = 0 F( ) = 0 f () = Como se quería demostrar